第1章 §1 1.3 第2课时 全集与补集（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §1　集　合 1.3　集合的基本运算 第2课时　全集与补集 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.在具体情境中，了解全集的含义． 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集(重点). 3．能使用Venn图表示集合的补集运算，体会图形对理解抽象概念的作用(难点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 所有不属于 x∈U，且x∉A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 U ∅ ∅ A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 × × √ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 {1，3，5} D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（5） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 1．全集的概念 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示． 2．补集的概念 (1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中______________A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA. (2)符号：∁UA＝{x|____________________}． (3)Venn图： 3．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝___； (2)A∩(∁UA)＝____； (3)∁UU＝____，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝___； (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). “补集”是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若在全集U中研究问题，则集合U没有补集. (　 　) (2)集合∁BC与∁AC相等． (　 　) (3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素． (　 　) 2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM等于 (　　) A．U　　　　　　　　　 B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6} ∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}， ∴∁UM＝{3，5，6}． 3．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝ (　　) A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} ∵A＝{1，2}，B＝{2，3}， ∴A∪B＝{1，2，3}．∴∁U(A∪B)＝{4}． 4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2≥4}，则∁UM等于______________． 答案：{x|－2<x<2}　 ∵M＝{x|x≤－2，或x≥2}，∴∁UM＝{x|－2<x<2}． 探究一　求集合的补集 [例1] (1)若全集U＝{x|－2≤x≤2}，则集合A＝{x|－2≤x≤0}的补集∁UA为 (　　) A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2} (2)设全集为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U＝ (　　) A．{0，2，4，6} B．{0，2，4} C．{6} D．∅ (1)借助数轴(如图)易得∁UA＝{x|0＜x≤2}．故选C. (2)因为M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}， 所以U＝M∪(∁UM)＝{0，2，4}∪{6}＝{0，2，4，6}．故选A. 1．∁UA有三个含义： (1)A⊆U； (2)∁UA⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 2．求集合补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解； (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集； (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． [练1] (1)(2024·上海卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则＝___________．(注：＝∁UA) (2)已知全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，则∁AB＝ (　　) A．{x|x≥5} B．{x|x≤1，或x≥5} C.{x|x＝1，或5＜x≤6} D．{x|x＝1，或5≤x≤6} (1)由题设有∁UA＝{1，3，5}． (2)因为全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，所以∁AB＝{x|x＝1，或5≤x≤6}．故选D. 探究二　交集、并集、补集的综合运算 [例2] (1)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪(∁UN)＝ (　　) A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U (2)如图，设全集U＝R，M＝(－∞，1]，N＝(－∞，0]∪(2，＋∞)，则图中阴影部分表示的集合为 (　　) A．[1，2] B．[1，2) C．(1，2] D．(1，2) (1)由题意可得∁UN＝{2，4，8}，则M∪(∁UN)＝{0，2，4，6，8}．故选A. (2)阴影部分表示的集合为∁U(M∪N)， ∵M＝(－∞，1]，N＝(－∞，0]∪(2，＋∞)， ∴M∪N＝(－∞，1]∪(2，＋∞). 又全集U＝R，∴∁U(M∪N)＝(1，2].故选C. 1． 2．求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算问题时，一般先计算括号内的部分，然后再计算其他，如求(∁R A)∩B时，可先求出∁R A，再求交集． [练2] 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}． (1)求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)； (2)求∁U(A∪B)和∁U(A∩B). (1)A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}． (2)∁U(A∪B)＝{x|x＜－3，或3≤x≤4}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2，或2＜x≤4}． 探究三　补集的综合应用 [例3] (2025·内江高一月考)在①A＝；②A＝{x|x2－2x－3＜0}；③A＝{x||x－1|＜2}这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题： 设集合________，B＝{x|(x－2m)(x－m2－1)＜0}(m≠1). (1)当m＝－1时，求A∩B，B∪(∁RA)； (2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围． (1)当m＝－1时，B＝{x|(x＋2)(x－2)＜0}＝{x|－2＜x＜2}． 若选①：＞1⇔－1＞0⇔＞0⇔(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3， 所以A＝{x|－1＜x＜3}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}， ∁RA＝{x|x≤－1，或x≥3}， B∪(∁RA)＝{x|x＜2，或x≥3}． 若选②：x2－2x－3＜0⇔(x－3)(x＋1)＜0， 解得－1＜x＜3，所以A＝{x|－1＜x＜3}． 下同选①. 若选③：由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2， 解得－1＜x＜3，所以A＝{x|－1＜x＜3}， 下同选①. (2)由(1)知A＝{x|－1＜x＜3}， 因为m≠1，所以m2＋1－2m＝(m－1)2＞0， 即m2＋1＞2m，B＝(2m，m2＋1). 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 所以解得－≤m≤. 所以实数m的取值范围为[－，1)∪(1，]. 1．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 2．由集合的补集求解参数的方法 (1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素个数无限时，一般利用数轴分析法求解． [练3] (1)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________． (2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)2　(2){a|a≥2}　 (1)∵A∪(∁UA)＝U，且A∩(∁UA)＝∅，∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2. (2)因为∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，又A＝{x|x＜a}，观察∁RB，A在数轴上所表示的区间，如图所示，可知当a≥2时，A∪(∁RB)＝R. 特别提醒：求补集时一定要注意全集． 1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，则∁UA＝ (　　) A．∅ B．{1，3，5} C．{2，4} D．{0，1，3，5} 因为集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3，5}．故选D. 2．设全集U＝R，M＝{x|x＞2，或x＜－2}，则∁UM＝ (　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2＜x＜2} C．{x|x＜－2，或x＞2} D．{x|x≤－2，或x≥2} 如图，在数轴上表示出集合M， 可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．故选A. 3．(2025·济南高一期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1<x<2}，则图中阴影部分表示的集合为 (　　) A．{x|x<－1} B．{x|x≤－1} C．{x|x≤0} D．{x|0<x<2} A∪B＝{x|x>－1}，题图中阴影部分表示为∁U(A∪B)＝{x|x≤－1}． 4．设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝ (　　) A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5} ∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∩B＝{2，3}．∵U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∩B)＝{1，4，5}．故选B. $$