第1章 1.3 第1课时 交集与并集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 知识点一 交集的运算 1．已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，那么A∩B等于(　　) A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5} C．{2,3,4} D．{x∈R|1＜x≤5} 答案　D 解析　∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，∴A∩B＝{x∈R|1＜x≤5}．故选D. 2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x2－4x－14}，则A∩B的元素个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　联立方程得解得 或所以A∩B的元素个数为2. 知识点二 并集的运算 3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝(　　) A．(－1,3) B．(－1,0) C．(0,2) D．(2,3) 答案　A 解析　∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}． 4．已知集合A＝{y|y＝x2－1，x∈R}，B＝{y|x2＝－y＋2，x∈R}，则A∪B等于(　　) A．R B．{y|－2≤y≤2} C．{y|y≤－1，或y≥2} D．以上都不对 答案　A 解析　两集合表示的是y的取值范围，故可转换为A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y＝2－x2，x∈R}＝{y|y≤2}，在数轴上表示，由图知A∪B＝R.故选A. 知识点三 交集与并集运算的应用 5．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C 解析　∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，∴A∪B＝A，即B⊆A，∴x2＝3或x2＝x.当x2＝3时，得x＝±.若x＝，则A＝{1,3，}，B＝{1,3}，符合题意；若x＝－，则A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，符合题意．当x2＝x时，得x＝0或x＝1.若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去．综上可知，x＝±或x＝0.故选C. 6．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值． 解　∵A∩B＝B，∴B⊆A. ∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B＝{－2}． 当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0. 当B＝{－2}时，由－2a＋1＝0，得a＝. 综上可知，a＝0或a＝. 7．已知集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋a2＝0}，B＝{x|x2－x＝0}，是否存在实数a，使A，B同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③∅(A∩B)？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 解　假设存在实数a，使A，B同时满足题设①②③三个条件，易知B＝{0,1}． 因为A∪B＝B，所以A⊆B，即A＝B或AB. 由条件①A≠B，知AB. 又∅(A∩B)，所以A∩B≠∅，所以A＝{0}或{1}． 当A＝{0}时，将x＝0代入方程x2－(a＋3)x＋a2＝0，得a2＝0，解得a＝0. 经检验，当a＝0时，A＝{0,3}，与A＝{0}矛盾，舍去． 当A＝{1}时，将x＝1代入方程x2－(a＋3)x＋a2＝0，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2. 经检验，当a＝－1时，A＝{1}，符合题意；当a＝2时，A＝{1,4}，与A＝{1}矛盾，舍去． 综上所述，存在实数a＝－1，使得A，B满足条件． 8．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}． (1)若A∩B＝∅，求a的取值范围； (2)若A∪B＝R，求a的取值范围． 解　(1)由A∩B＝∅，知集合A分A＝∅和A≠∅两种情况． ①若A＝∅，有2a＞a＋3，所以a＞3； ②若A≠∅，如图， 所以 解得－≤a≤2. 综上所述，a的取值范围是. (2) 由A∪B＝R，如图， 所以 因为该不等式组无解，所以a的取值范围为∅. 易错点 忽略空集致误 9. 集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围是________． [易错分析]　本题由A∩B＝B得B⊆A，则B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}，由于忽视了B＝∅的可能性，从而导致了a的取值范围错误． 答案　{a|a≥2} 正解　由题意得A＝{1,2}， ∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}． 当B＝∅时，Δ＝4－4(a－1)<0，得a>2. 当B＝{1}时，得a＝2. 当B＝{2}时，无解． 当B＝{1,2}时，无解． 综上可知，a的取值范围是{a|a≥2}． 一、选择题 1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案　D 解析　A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，显然解得a＝4. 2．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3} 答案　A 解析　注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}．故选A. 3．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　直接列出满足条件的集合M有{a1，a2}，{a1，a2，a4}．故选B. 4．给出下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　∵A⊆(A∪B)，∴若a∈(A∪B)，则不一定有a∈A，①不正确；又(A∩B)⊆(A∪B)，故②正确；由交集的定义可知③正确；由A∪B＝A可得B⊆A，∴A∩B＝B，故④正确．∴正确的有3个．故选C. 5．[多选]已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，集合B满足A∩B＝A，则B可能为(　　) A．{x|－3＜x≤8} B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－2≤x≤4} D．{x|－3≤x≤3} 答案　ACD 解析　因为集合B满足A∩B＝A，所以A⊆B，结合选项知，B可能为A，C，D中的集合． 二、填空题 6．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝________. 答案　{x|0≤x＜1，或x＞3} 解析　由题意知，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，∴A*B＝{x|0≤x＜1，或x＞3}． 7．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}，且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________. 答案　－1　2 解析　因为B∪C＝{x|－3<x≤4}，所以A(B∪C)，所以A∩(B∪C)＝A，由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，所以a＝－1，b＝2. 8．已知集合P＝{－1，a＋b，ab}，集合Q＝，若P∪Q＝P∩Q，则a－b＝________. 答案　－4 解析　由P∪Q＝P∩Q易知P＝Q，由集合Q可知a和b均不为0，因此ab≠0，于是必须a＋b＝0，所以易得＝－1，因此又必得ab＝a－b，代入b＝－a解得a＝－2，所以b＝2，因此得到a－b＝－4. 三、解答题 9．已知集合A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|1≤x≤6}，C＝{x|m＋1≤x≤2m}． (1)求A∩B； (2)若B∪C＝B，求实数m的取值范围． 解　(1)因为A＝{x|x≤－1，或x≥3}，B＝{x|1≤x≤6}， 所以A∩B＝{x|3≤x≤6}． (2)因为B∪C＝B，所以C⊆B， 当C＝∅时，则有m＋1>2m，即m<1； 当C≠∅时，则有即1≤m≤3. 综上所述，实数m的取值范围是{m|m≤3}． 10．调查50名学生对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的多1，问：对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 解　如图，全体人数为50，所以赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30＋3＝33.设对A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x，所以由题意得(30－x)＋(33－x)＋x＋＋1＝50，即64－＝50，x＝21.所以对A，B都赞成的学生有21人，对A，B都不赞成的学生有8人． 学科网（北京）股份有限公司 $$