第1章 §1 1.2 集合的基本关系（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §1　集　合 1.2　集合的基本关系 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义． 2．能用符号和Venn图表示两个集合间的基本关系． 3．能识别给定集合的子集，理解空集与子集、真子集之间的关系(重点). 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 任何一个 A⊆B B⊇A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A⊆B A≠B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 √ √ × 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 ACD 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 4 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（3） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 集合间的关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的____________元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 记法 记作_______(或_______) 读法 读作“A包含于B”(或“B包含A”) Venn图 结论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A. (3)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2．真子集 定义 对于两个集合A与B，如果_______，且_______，那么称集合A是集合B的真子集 记法 记作AB(或BA) 读法 读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) Venn图 结论 若AB，BC，则AC “A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. 3．集合相等 文字语言 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等 符号语言 A⊆B，且B⊆A⇔A＝B 图形语言 “集合相等”的含义：两集合元素完全相同，两集合互相包含、互为子集． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)任何一个集合都有子集． (　 　) (2)若A＝B，则A⊆B且B⊆A. (　 　) (3)空集是任何集合的真子集． (　 　) 2．(多选)下列关系中正确的是 (　 　) A．1∈{0，1，2} B．{1}∈{0，1，2} C．{0，1，2}⊆{0，1，2} D．{0，1，2}＝{2，0，1} 选项B应该改为{1}⊆{0，1，2}才正确． 3．[教材P7练习题1(2)改编]设A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，则下列关系中正确的是 (　　) A．E⊆D⊆C⊆A　　 B．D⊆E⊆C⊆A C．D⊆B⊆A D．E⊆D⊆C⊆B⊆A 4．集合A＝{0，1，2}的真子集个数是___________________． 答案：7　 集合A＝{0，1，2}的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，共7个． 探究一　集合间关系的判断 [例1] 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}． (1)方法一　集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故B⊆A. 方法二　利用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知B⊆A. (2)∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集， ∴B⊆A. 1．含有n个元素的集合，有2n个子集，2n－1个真子集． 2．判断集合间关系的常用方法 [练1] (1)已知M为非空数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少有一个元素是奇数，则这样的集合M共有 (　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 (2)已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B⊆A，则实数m＝________． (1)集合{1，2，3}的子集共有23＝8(个)，集合{2}的子集共有2个，所以满足要求的集合M共有8－2＝6(个).故选A. (2)∵B⊆A，∴元素3，4必为A中元素，∴m＝4. 探究二　集合的相等及运用 [例2] (1)指出下列各组集合之间的关系． ①A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}； ②A＝{(x，y)|xy＞0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0}． (2)设集合A＝{x，x2，xy}，B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值． (1)①A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}． 在集合B中，当n为奇数时，x＝＝0， 当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}， ∴A＝B. ②方法一　由xy＞0得x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0；由x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0得xy＞0，从而A＝B. 方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B. (2)由题意，得　①或　② 解①，得或 经检验，不合题意，舍去，则 解②，得经检验，不合题意，舍去． 综上所述， 1．两集合相等即两集合是同一个集合． 2．集合相等的解题策略 (1)利用集合相等的概念建立方程组； (2)列方程组时，针对不同的情况常常进行分类讨论. [练2] (1)下列各组表示A和B两个集合相等的是 (　　) A．A＝{π}，B＝{3.141 59} B．A＝{2，3}，B＝{(2，3)} C．A＝{1，，π}，B＝{π，1，|－|} D．A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1} (2)若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则 (　　) A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2 C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3 (1)集合相等，即两集合中的元素完全相同． 选项A，∵π≠3.141 59，∴A≠B； 选项B，∵2，3表示两个实数，而(2，3)表示一个点，∴A≠B； 选项C，∵|－|＝，∴A＝B； 选项D，∵A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}≠B＝{1}，∴A≠B.故选C. (2)由题意可知，1，2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根， ∴解得 探究三　集合间关系的应用 [例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． [思路导引] ⇒ 答案：{m|1<m≤4}　 由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4， 又m>1，所以1<m≤4. [变式探究1] 本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？ 若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A. 若m>1，则由例题解析可知1<m≤4. 则m的取值范围为{m|m≤4}． [变式探究2] 本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|2m－1<x<m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 因为B⊆A， ①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时，有解得－1≤m<2. 则m的取值范围为{m|m≥－1}． 1．集合{x|m<x<n}在n≤m时表示∅. 2．由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． [提醒](1)不能忽视集合为∅的情形； (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． [练3] (1)已知集合A＝{x|x≥4，或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B⊆A，则a的取值范围为________． 答案：{a|a＜－8，或a≥3}　 利用数轴法表示B⊆A，如图所示， 则a＋3＜－5，或a＋1≥4，解得a＜－8，或a≥3. (2)已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或 解得a＜－4，或2＜a≤3. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a＜－4，或a＞2}． 特别提醒：当B⊆A时，易忽略B可以为空集． 1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则 (　　) A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P 因为集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，所以集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P.故选C. 2．下列Venn图正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的是 (　　) 由N＝{1，0}，知NM.故选B. 3．下列选项正确的是 (　　) A．空集没有子集 B．任何集合至少有两个子集 C．空集是任何集合的真子集 D．若∅A，则A≠∅ 因为空集是它本身的子集，所以选项A错误；因为空集只有一个子集，所以选项B错误；因为空集不是空集的真子集，所以选项C错误；因为∅不是其自身的真子集，所以选项D正确．故选D. 4．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________． 答案：－1　 因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1. $$