第1章 §1 1.1 第2课时 集合的表示（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 §1　集　合 1．1　集合的概念与表示 第2课时　集合的表示 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 学习目标 1.针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言(列举法、描述法)刻画集合(重点). 2．感受集合语言的意义和作用． 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 一一列举 顺序 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 条件 {x及x的范围|x满足的条件} 一般符号 范围 共同特征 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 有限个 无限个 任何 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 [a，b] (a，b) [a，b) 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 (a，b] [a，＋∞) (a，＋∞) 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 (－∞，b] (－∞，b) 闭区间 开区间 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 实心点 空心点 (－∞，＋∞) 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 × × √ √ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 C (－∞，1) 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 ②③ 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 A 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 水平达标 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 课时梯级训练（2） 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 一、列举法 1．定义：把集合中的元素____________出来写在花括号“{}”内表示集合的方法． 2．一般形式：{a，b，c，…}． 3．关注点：元素排列的______可以不同． (1)“列举法”表示集合时，元素写在花括号内，元素之间用逗号隔开． (2)“一一列举”指全部列举，不遗漏． (3)“{}”具有“所有”“全体”的含义． 二、描述法 1．定义：通过描述元素满足的______表示集合的方法． 2．一般形式：___________________________． 3．写法：在花括号内先写出集合中元素的____________及______，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的____________． “元素的一般符号”即集合中的代表元素，如{(x，y)|y＝x2＋2}，{x|y＝x2＋2}与{y|y＝x2＋2}三个集合中的代表元素是不一样的． 三、集合的分类及区间 1．集合的分类 (1)有限集：含有_________元素的集合叫作有限集． (2)无限集：含有_________元素的集合叫作无限集． (3)空集：不含______元素的集合叫作空集，记作∅. 2．区间 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} _____________ {x|a＜x＜b} _____________ {x|a≤x＜b} _____________ 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|a＜x≤b} _____________ {x|x≥a} _________________ {x|x＞a} _________________ 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|x≤b} _________________ {x|x＜b} _________________ (1)实数a，b称为区间的端点．[a，b]称为_________，(a，b)称为_________，[a，b)，(a，b]称为半开半闭区间． (2)在数轴上表示区间时，用_________表示属于区间的端点，用_________表示不属于区间的端点． (3)符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为________________． (1){0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，表示不含有任何元素，故{0}与∅不相同． (2)区间表示实数集的三个原则：①连续的数集；②左端点值必须小于右端点值；③开区间或闭区间不能混淆. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为{1，1}． (　 　) (2){0，1}与{(0，1)}是相同的集合． (　 　) (3){x|x>3}与{y|y>3}是同一个集合． (　 　) (4)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合． (　 　) 2．集合A＝{x∈Z|－2＜x＜3}的元素个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(教材P5练习T3改编)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为 (　　) A．{0，1} B．{(0，1)} C． D． 4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________． 答案：{－1，4}　 由于4∈A，故4为方程x2－3x＋a＝0的一个根，有42－3×4＋a＝0，解得a＝－4，由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，∴A＝{－1，4}． 探究一　用列举法表示集合 [例1] 用列举法表示下列集合： (1)方程x2－1＝0的解组成的集合； (2)单词“see ”中的字母组成的集合； (3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合． (1)方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}． (2)单词“see ”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}． (3)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1，1)}． 1．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，并不是所有集合都可以用列举法． 2．列举法表示集合的步骤 (1)分清元素：列举法表示集合，要分清是数集还是点集． (2)书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏． [提醒]二元方程组的解集，函数图象的点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2，3)，(5，－1)}． [练1] (1)不等式x－3<2且x∈N＋的解集用列举法可表示为________________． 答案：{1，2，3，4}　 因为x－3<2， 所以x<5.又x∈N＋， 所以x＝1，2，3，4.所以集合为{1，2，3，4}． (2)设方程kx2－8x＋16＝0的解组成的集合为A，且该方程只有一个根，求出k的值；并用列举法表示集合A. 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，若关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0只有一个根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 探究二　用描述法表示集合 [例2] (1)用描述法表示不等式4x－5＜7的解集为________． (2)设集合A＝{x∈Z|∈N}，则用列举法表示集合A为________． 答案：(1){x|x＜3}　(2){－1，0，1，4}　 (1)用描述法可表示为{x|x＜3}． (2)要使∈N，则x＋2可取1，2，3，6.又x∈Z，则x可取－1，0，1，4，故A＝{－1，0，1，4}． 1．描述法可分为“公式描述法”即共同特征可用式子表示与“语言描述法”即共同特征只能用文字语言描述． 2．用描述法表示集合的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如满足的方程、不等式、函数或几何图形或文字语言等； (3)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确； (4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N，但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}． [练2] 用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－x的图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； (3)不等式x－2＜3的解组成的集合． (1){(x，y)|y＝－x}． (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|＞3}． (3)解不等式x－2＜3，得x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x|x＜5}． 探究三　用区间表示集合 [例3] (1)用区间表示下列集合： ①{x|x＞－1}＝________； ②{x|2＜x≤5}＝________； ③{x|x≤－3}＝________； ④{x|2≤x≤4}＝________． (2)下列集合中，________是有限集，________是无限集．(填序号) ①由小于8的正奇数组成的集合； ②由大于5且小于20的实数组成的集合； ③由小于1的自然数组成的集合． 答案：(1)①(－1，＋∞)　②(2，5]　③(－∞，－3] ④[2，4]　(2)①③　②　　 (1)①集合{x|x＞－1}可用开区间表示为(－1，＋∞)；②集合{x|2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为(2，5]；③集合{x|x≤－3}可用半开半闭区间表示为(－∞，－3]；④集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4]. (2)①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集；②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集；③因为小于1的自然数为0，所以其组成的集合是有限集． 1．区间是连续实数集的一种直观简捷的表示方法． 2．用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． [练3] (1)区间(－3，2]可表示为 (　　) A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3＜x＜2} C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2} (2)已知区间(4p－1，2p＋1)为一确定区间，则p的取值范围为____________． (3)下列集合中，是空集的为________．(填序号) ①{0}；②{x|x>8，且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}； ④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}． (1)区间(－3，2]可表示为{x|－3＜x≤2}．故选C. (2)由题意，得4p－1<2p＋1，所以p<1. (3)因为{0}含有一个元素0，所以{0}不是空集；因为大于8且小于5的实数不存在，所以{x|x>8，且x<5}为空集；x2＋1＝0没有实数解，所以{x∈N|x2＋1＝0}是空集；因为大于4的实数有无数个，所以{x|x>4}不是空集；因为满足x2＝－y2的一个点为(0，0)，所以{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}不是空集． 特别提醒： (1)描述法表示集合易忽略代表元素的范围； (2){0}，∅，{∅}三者易混． 1．集合{x∈N＋|x＜6}的另一种表示方法是 (　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} 易知集合可表示为{1，2，3，4，5}．故选D. 2．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为 (　　) A．{1，3} B．{(1，3)} C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3} 解方程x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，用列举法表示为{1，3}．故选A. 3．用适当的方法表示下列集合： (1)方程(x＋1)(x2－2)＝0的解组成的集合； (2)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合． (1)解方程(x＋1)(x2－2)＝0，得x＝－1或x＝±， 故其解组成的集合用列举法表示为{－1，－，}． (2)代表元素是有序实数对(x，y)，用描述法表示集合为{(x，y)|x＜0，且y＞0}． $$