第5章 §1 1.2 利用二分法求方程的近似解（Word教参）-【优化指导】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

1.2　利用二分法求方程的近似解 [对应学生用书P117] 学习目标 1.探索二分法求方程近似解的思路． 2．掌握二分法的步骤，会利用二分法求方程的近似解(重点). 3．体会二分法中的“逐步逼近”与“程序化”思想． 一、二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． (1)“二分”即通过取区间中点将区间一分为二，二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)并非所有函数的零点都可以用二分法求解．只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点． 二、二分法求函数零点的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量． (2)上述步骤可简记为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间，周而复始怎么办？精确度上来判断． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　×　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． (　×　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． (　×　) (4)只有求函数的零点时才用到二分法． (　×　) 2．用二分法求函数f(x)＝log2x－的零点时，初始区间可选为 (　　) A．(0，1)　　　　　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案：C 3．(多选)下列图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的是 (　　) 　 答案：BCD 4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证得f(2)·f(3)<0，取区间[2，3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)·f(3)>0，此时零点x0所在的区间是____________． 答案：(2，2.5) 探究一　判断函数的零点 [例1] (1)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是 (　　) (2)用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间的中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是 (　　) A．[2，2.5] B．[2.5，3] C．[2，2.25] D．[2.75，3] (1)C　(2)A　解析：(1)根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．故选C. (2)由题意，设f(x)＝x3－2x－5， 其中f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0. 又由f(2.5)＝2.53－5－5＝5.625>0， 则f(2)·f(2.5)<0， 可得下一个有根的区间为[2，2.5].故选A. 拓展·提升 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点两侧函数值异号． 也就是仅对变号零点，对于不变号零点不适用． [练1] (1)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是 (　　) A．[－2，－1] B．[－1，0] C．[0，1] D．[1，2] (2)下列函数中，不能用二分法求零点的是 (　　) A．y＝2x B．y＝(x－2)2 C．y＝x＋－3 D．y＝ln x (1)A　(2)B　解析：(1)由f(－2)＝－3，f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝6，f(2)＝13，且f(x)在R上单调递增， 得区间[－1，0]，[0，1]，[1，2]对应的函数值都为正，只有在区间[－2，－1]中，函数值异号．故选A. (2)对于A，y＝2x有唯一零点x＝0，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，故不可用二分法求零点； 对于C，y＝x＋－3有两个不同零点，x1＝，x2＝，且在每个零点两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，y＝ln x有唯一零点x＝1，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点．故选B. 探究二　求函数零点 [例2] (多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下表： x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度为0.05)为 (　　) A．0.625 B．0.093 75 C．0.125 D．0.096 BCD　解析：已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75，0.125)，所以零点在区间(0.093 75，0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以区间[0.093 75，0.125]内的值都符合题意．故选BCD. 拓展·提升 二分法求函数零点的关注点 (1)验证零点所在的区间是否符合精确度的要求． (2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值． [练2] 某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1. 答案：5　解析：由<0.1(n∈N＋)，得2n>20，n≥5，故至少等分5次． 探究三　用二分法求方程的近似解 [例3] 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度为0.1) 解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0， 所以函数f(x)在区间(0，1)内存在零点． 因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以该零点唯一， 即方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)内有解． 取区间(0，1)的中点0.5，经计算，f(0.5)＜0， 又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在区间(0.5，1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表： 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 0 －3 1 2 1 第2次 0.5 －1.25 1 2 0.5 第3次 0.5 －1.25 0.75 0.093 75 0.25 第4次 0.625 －0.636 7 0.75 0.093 75 0.125 第5次 0.687 5 －0.287 6 0.75 0.093 75 0.062 5 因为|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1， 所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5(答案不唯一). 拓展·提升 应用二分法应注意的问题 (1)精确度：要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束． (2)初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间，在精确度给定的情况下，不同的初始区间结果是相同的． (3)方程根的选取：当区间长度符合“精确度ε”的要求后，正确选取方程的根． [练3] 求方程x2－5＝0的负实数根．(精确度为0.1) 解：令f(x)＝x2－5，则函数f(x)的零点即为方程x2－5＝0的近似解. 因为f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，所以取区间(－3，－2)作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点 中点函数值 (－3，－2) －2.5 1.25 (－2.5，－2) －2.25 0.062 5 (－2.25，－2) －2.125 －0.484 4 (－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8 (－2.25，－2.187 5) －2.218 75 －0.077 1 因为|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以原方程的一个近似负实数根可取为－2.25. 特别提醒：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的． 1．下列函数图象中，不能用二分法求零点的是 (　　) 　　　 B　解析：观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值异号，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．故选B. 2．用二分法求方程log2x＋x＝2的近似解时，可以取的一个区间是 (　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) B　解析：由log2x＋x＝2，得log2x＋x－2＝0，令f(x)＝log2x＋x－2，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，并且f(x)的图象连续，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(1)·f(2)＜0，所以f(x)在区间(1，2)内有零点，所以可以取的一个区间是(1，2).故选B. 3．用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是 (　　) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 B　解析：根据二分法的步骤知，当区间长度|a－b|小于精确度时，便可结束计算．即当|a－b|<0.001时，便可结束计算．故选B. 4．根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是________________． f(1)＝－1 f(2)＝3 f(1.5)＝－0.125 f(1.75)＝1．109 375 f(1.625)＝0．416 015 625 f(1.562 5)＝0．127 197 265 答案：1.5(答案不唯一)　解析：f(1.5)＝－0.125<0，f(1.75)＝1.109 375>0， f(1.625)＝0.416 015 625>0，f(1.562 5)＝0.127 197 265>0.由于f(1.5)·f(1.562 5)<0，故零点的近似值是1.5或1.562 5或区间[1.5，1.562 5]上的任何一个值． 学科网（北京）股份有限公司 $$