5.1.2利用二分法求方程的近似解学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

5.1.2利用二分法求方程的近似解 1、 学习目标 1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解． 2.体会函数在解方程中的作用． 二、学习重难点 重点：利用二分法求方程的近似解． 难点：求方程近似解的精确度的把握． 三、知识梳理 1．二分法的概念：对于一般的函数y＝f (x)，x∈[a，b]，若函数 y＝f (x) 的图象是一条连续的曲线，f (a)·f (b) < 0，则每次取区间的________，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为________． 2．二分法求方程近似解的过程：“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间； 新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号． 在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选得不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小． 若方程f (x)＝0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值． 四、应用举例 例题: 求方程的一个近似解．（精确度为） 解：考察函数，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间． 经试算，，．所以方程在区间内有解． 取区间的中点，， 所以方程在区间内有解． 如此下去，得到方程的解所在的区间，如下表： 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 0 -3 1 2 1 第2次 0.5 -1.25 1 2 0.5 第3次 0.5 -1.25 0.75 0.09375 0.25 第4次 0.625 -0.63671875 0.75 0.09375 0.125 第5次 0.6875 -0.287597656 0.75 0.09375 0.0625 第6次 0.71875 -0.101135254 0.75 0.09375 0.03125 第7次 0.734375 -0.004768372 0.75 0.09375 0.015625 第8次 0.734375 -0.004768372 0.7421875 0.044219017 0.0078125 至此，可以看出，区间的区间长度为，它小于．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，就是方程精确度为的一个近似解． 五、课堂练习 1.用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为0.1）( ) A.1.125 B.1.3125 C.1.4375 D.1.46875 2.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为( ) x 4 4.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 0.625 0.165 A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.418 3.用二分法研究函数的零点时，通过计算得:，，则下一步应计算，则( ) A.0 B. C. D. 4.用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是( ) A.函数在上不一定有零点 B.已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C.没有达到精确度，应该接着计算 D.没有达到精确度，应该接着计算 5.已知用二分法计算函数的零点时，其附近的函数值参考数据如下表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.6875 4.00 0.86 0.18 则方程的近似解可为（精确度为0.1）( ) A.1.50 B.1.66 C.1.70 D.1.75 6.下列图象对应的函数能用二分法求零点的是( ) A. B. C. D. 7.（多选）下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是( ) A. B.C. D. 8.（多选）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是( ) A.函数在上有零点 B.已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C.没有达到精确度，应该接着计算 D.没有达到精确度，应该接着计算 9.用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行__________次二分. 10.用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，，，.下一个求，则_____________. 六、课后练习 1.已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题不正确的是( ) A.函数的两个零点可能分别在区间和内 B.函数的两个零点可能分别在区间和内 C.函数的两个零点可能分别在区间和内 D.函数的两个零点不可能同时在区间内 2.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为( ) x 1 1.5 1.2 A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.4375 3.用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确到0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是( ) A.已经达到精确到0.1的要求，可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确到0.1的要求，可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确到0.1的要求，应该接着计算 D.没有达到精确到0.1的要求，应该接着计算 4.用二分法求方程在内的近似解时，经过两次二分区间后，可确定近似解所在的区间为( ) A.或 B. C. D.不能确定 5.已知函数，用二分法求的零点时，其中一个零点所在的初始区间可以为( ) A. B. C. D. 6.用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 -6 3 -2.625 -1.459 -0.14 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为( ) A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9 7.（多选）若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在区间，，，内，则与符号不同的是( ) A. B. C. D. 8.（多选）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，.下列说法正确的有( ) A.的零点在区间内 B.的零点在区间内 C.精确到0.1的近似值为1.4 D.精确到0.1的近似值为1.5 9.若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数a的值为___________. 10.在用二分法求方程的一个近似解时，将根锁定在区间内，则下一步可以判断该根所在区间为__________. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1. 中点；二分法 2. 中点函数值为0；精确度 五、课堂练习 1.答案：B 解析：因为，所以根据二分法的思想，知函数的零点在区间内，但区间的长度为，因此需要取的中点1.3125，两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度均为，因此1.3125是一个近似解.故选B. 2.答案：D 解析：由表格可知，方程的近似根在，，，，内， 又因为，又， 故方程的一个近似根(精确度0.04)可以为1.418. 故选：D. 3.答案：C 解析：因为，，且函数图象连续不断， 所以函数在区间内有零点， 所以下一步应计算，， 故选:C. 4.答案：D 解析：对于A，因为，且连续，所以根据函数零点存在定理知，在上一定有零点，故A错误； 对于B，C，D，，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故B错误，C错误，D正确.故选D. 5.答案：B 解析：由题表可知函数的零点在区间内，结合选项知方程的近似解可为1.66，故选B. 6.答案：C 解析：在A和D中，函数虽有零点，但这些零点均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点.在B中，函数无零点.在C中，函数图象是一条连续的曲线，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中图象对应的函数能用二分法求零点. 7.答案：AC 解析：由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点. 故选:AC. 8.答案：AD 解析：对于A，，由零点存在定理知，函数在上有零点，故A正确； 对于B，，没有达到精确度，故B错误； 对于C、D，没有达到精确度，，所以应该接着计算，故C错误，D正确.故选AD. 9.答案：11 解析：根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过一次二分法操作，区间长度变为原来的一半， 则经过n次操作后，区间的长度为， 令，又，解得，故最少进行11次. 10.答案： 解析：由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为：. 六、课后练习 1.答案：C 解析：对于A，令，，，则函数的两个零点可能分别在区间和内，故A中命题正确； 对于B，令，，，则函数的两个零点可能分别在区间和内，故B中命题正确； 对于C，已知，若函数的两个零点分别在区间和内，则必有，，，与矛盾，故C中命题错误； 对于D，如果函数的两个零点都在区间内，，那么必有，，进而有，与矛盾，所以函数的两个零点不可能同时在区间内，故D中命题正确.故选C. 2.答案：D 解析：由表格可知，方程的近似根在，，，，内， 又因为，故方程的一个近似根(精确度 0.04)为1.4375. 故选：D. 3.答案：C 解析：由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，，此时1.125，1.25精确到0.1的近似值为1.1，1.3，故没有达到精确到0.1的要求，应该接着计算的值. 4.答案：B 解析：设，则，，第一次取，则，则近似解在内，故第二次取，则，故此时可确定近似解所在的区间为. 5.答案：C 解析：因为，，，，，所以其中一个零点所在的初始区间可以为.故选C. 6.答案：C 解析：根据表中数据可知，，又，所以区间内的任何一个值都可作为方程的近似解.故选C. 7.答案：ABD 解析：由二分法的步骤可知， ①零点在内，则有，不妨设，，取中点2； ②零点在内，则有，则，，取中点1； ③零点在内，则有，则，，取中点； ④零点在内，则有，则，，则取中点； ⑤零点在内，则有，则，， 所以与符号不同的是，，， 8.答案：BC 解析：易知是增函数，因为，， 所以零点在内，所以A错误，B正确， 又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误. 故选：BC 9.答案：2或 解析：由题意，知有两个相等实根，所以，解得或. 10.答案： 解析：设，则，. 取区间的中点值，则， 故下一步可以判断该根所在区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $$