5.1.2　利用二分法求方程的近似解课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“利用二分法求方程的近似解”，通过猜商品价格游戏导入，引导学生思考快速猜中策略，进而关联方程近似解的求解思路，搭建从生活情境到数学方法的学习支架，衔接函数零点存在定理等前置知识。 其亮点在于以情境导入激发兴趣，通过“定区间找中点”口诀等直观化表达强化数学抽象，结合函数图象分析和分步计算培养直观想象与数学运算。如例2通过画函数图象确定初始区间，逐步缩小区间求近似解，帮助学生理解原理，教师可利用分层例题和检测提升教学效率。

1.2　利用二分法求方程的近似解 新课程标准解读 核心素养 探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框 图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解， 了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学抽象、 直观想象、数学 运算 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种 商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”.例如 参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”.参赛者又猜50 元，主持人说“低了”.参赛者再猜80元，主持人说“低了”.这样一 直猜下去，直到猜中为止. 【问题】　（1）我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？ 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　二分法 1. 满足精度ε的近似解 设 是方程 f （ x ）＝0的一个解，给定正数ε，若 x0满足｜ x0－ ｜＜ε，就称 x0是满足精度ε的近似解. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 二分法 对于一般的函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[ a ， b ]，若函数 y ＝ f （ x ）的图 象是一条 的曲线， f （ a ）· f （ b ） 0，则每次取区 间的 ，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个 小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 提醒　（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）用二分 法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如 y ＝ x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解. 连续　 ＜　 中点　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　二分法求函数零点近似值口诀 定区间，找中点，中值计算两边看； 同号去，异号算，零点落在异号间； 周而复始怎么办？精确度上来判断. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）所有函数的零点都可以用二分法来求. （　×　） （2）函数 f （ x ）＝｜ x ｜可以用二分法求其零点. （　×　） （3）精确度ε就是近似值. （　×　） × × × 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 用二分法研究函数 f （ x ）＝ x3＋3 x －1的零点时，第一次经计算得 f （0）＜0， f （0.5）＞0，可得其中一个零点 x0∈ ⁠， 第二次应计算 ⁠. 2. 观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（　A　） A （0，0.5）　 f （0.25）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 二分法概念的理解 【例1】　（1）下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是 （　D　） 解析：根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改 变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D. D 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）用二分法求方程2 x ＋3 x －7＝0在区间（1，3）内的根，取区间 的中点为 x0＝2，那么下一个有根的区间是 ⁠. 解析：设 f （ x ）＝2 x ＋3 x －7， f （1）＝2＋3－7＜0， f （3） ＝10＞0， f （2）＝3＞0， f （ x ）零点所在的区间为（1，2）， 所以下一个有根的区间是（1，2）. （1，2）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 二分法的适用条件 　　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近 是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数零点近 似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 在用二分法求函数 f （ x ）零点的近似值时，第一次所取的区间是[－ 2，4]，则第三次所取的区间可能是（　　） A. [1，4] B. [－2，1] C. D. 解析：　∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可 能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为 ， ， ， . 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 用二分法求方程的近似解 【例2】　求方程ln x ＝2－ x 的近似解（精确度为0.1）. 解：分别画出函数 y ＝ln x 和 y ＝2－ x 的图象，如 图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相 等，因此，这个点的横坐标就是方程ln x ＝2－ x 的 解.由函数 y ＝ln x 与 y ＝2－ x 的图象可以发现，方 程ln x ＝2－ x 有唯一解，且这个解在区间（1，2）内. 目录 数学·必修第一册（BSD） 设 f （ x ）＝ln x ＋ x －2，则函数 f （ x ）的零点即方程ln x ＝2－ x 的 解，记为 x0，则有： f （1）＜0， f （2）＞0⇒ x0∈（1，2）； f （1.5）＜0， f （2）＞0⇒ x0∈（1.5，2）； f （1.5）＜0， f （1.75）＞0⇒ x0∈（1.5，1.75）； f （1.5）＜0， f （1.625）＞0⇒ x0∈（1.5，1.625）； f （1.5）＜0， f （1.562 5）＞0⇒ x0∈（1.5，1.562 5）. 因为｜1.562 5－1.5｜＝0.062 5＜0.1，所以方程ln x ＝2－ x 的近似解 可取为1.562 5. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间（ m ， n ）（一般采用估计 值的方法完成）； （2）取区间端点的中点 c ，计算 f （ c ），确定有解区间是（ m ， c ） 还是（ c ， n ），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端 点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 用二分法求2 x ＋ x ＝4在[1，2]内的近似解（精确度为0.2）.参考数据 如下表： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2 x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 解：令 f （ x ）＝2 x ＋ x －4，则 f （1）＝2＋1－4＝－1＜0， f （2）＝ 22＋2－4＝2＞0. 目录 数学·必修第一册（BSD） 区间 精确度 区间中点值 xn f （ xn ）的值及符号 （1，2） ｜2－1｜＝1 x1＝1.5 f （ x1）≈0.33＞ 0 （1，1.5） ｜1.5－1｜＝ 0.5 x2＝1.25 f （ x2）≈－0.37 ＜0 （1.25，1.5） ｜1.5－1.25｜ ＝0.25 x3＝1.375 f （ x3）≈－ 0.035＜0 用二分法逐次计算，列表如下： ∵｜1.375－1.5｜＝0.125＜0.2， ∴2 x ＋ x ＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 下列函数中，必须用二分法求其零点的是（　　） A. y ＝ x ＋7 B. y ＝5 x －1 C. y ＝log3 x D. y ＝ － x 解析：　A、B、C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求 其根，只能用二分法求零点. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 用二分法求函数 f （ x ）＝2 x －3的零点时，初始区间可选为（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3） 解析：　 f （－1）＝－ ＜0， f （0）＝－2＜0， f （1）＝－1＜ 0， f （2）＝1＞0， f （3）＝5＞0，则 f （1） f （2）＜0，即初始 区间可选（1，2）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 用二分法研究方程3 x ＋3 x －8＝0在区间（1，2）内的近似解的过 程中，设 f （ x ）＝3 x ＋3 x －8，并且计算得 f （1）＜0， f （2）＞ 0， f （1.5）＞0，可得零点 x0∈ 　　，第二次应计算 　　.以上横 线上应填的内容分别为（　　） A. （1.5，2）， f （1.625） B. （1，1.5）， f （1.25） C. （1.5，2）， f （1.75） D. （1，1.5）， f （1.125） 解析：　∵ f （1）＜0， f （1.5）＞0，∴ f （1）· f （1.5）＜0， 故 f （ x ）的零点 x0∈（1，1.5），利用二分法，则第二次应计算 f ＝ f （1.25）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 用二分法求函数 f （ x ）＝ x3＋5的零点可以取的初始区间是（　　） A. [－2，－1] B. [－1，0] C. [0，1] D. [1，2] 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $