第3章 §3 3.2 第1课时 指数函数的图象（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

3.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数的图象 [对应学生用书P82] 学习目标 1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象． 2．探索并理解与指数函数的图象有关的问题(重点). 一、指数函数的图象 　　 上面图象中的a的范围依次为a>1；0＜a＜1. (1)“指数函数的图象”在x轴上方且只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限． (2)当a＞1时，图象从左到右是斜向上的；当0＜a＜1时，图象从左到右是斜向下的． 二、利用指数函数图象作相关函数图象 (1)函数y＝a|x|的图象关于y轴对称． (2)函数y＝|ax－b|的图象可由函数y＝ax－b的图象保持在x轴上及x轴上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)y＝x2是指数函数． (　×　) (2)函数y＝2－x不是指数函数． (　×　) (3)指数函数y＝ax过定点(0，1). (　√　) (4)指数函数的图象一定在x轴的上方． (　√　) 2．函数y＝3－x的图象是 (　　) B　解析：∵y＝3－x＝()x，∴选项B正确． 3．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为 (　　) A．f(x)＝x3　　　　　　 B．f(x)＝2x C．f(x)＝()x D．f(x)＝x B　解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2.则f(x)＝2x. 4．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax+1－1的图象一定过点 (　　) A．(0，1) B．(0，－1) C．(－1，0) D．(1，0) C　解析：∵f(－1)＝a-1+1－1＝a0－1＝0，∴函数图象必过点(－1，0). 探究一　指数函数的图象特征 [例1] (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 (　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 (2)函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是 (　　) A.，，， B．，，， C．，，， D．，，， (1)D　(2)B　解析：(1)从曲线的变化趋势，可知函数f(x)为减函数，则0<a<1；从曲线位置看，f(x)的图象是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移－b个单位长度得到的，所以－b>0，即b<0.综上可知， 0<a<1，b<0.故选D. (2)直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>.故选B. 拓展·提升 1．函数y＝ax与y＝(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称． 2．由指数函数的图象特征判断其底数的大小的思路 (1)由第一象限内“底大图高”的规律判断． (2)取特殊值x＝1得函数值的大小，即底数的大小，从而进行判断． [练1] (1)若0<a<1，则函数y＝ax与y＝(a－1)x2的图象可能是 (　　) (2)若函数g(x)＝4x＋m的图象不过第二象限，则m的取值范围是 (　　) A．{m|m≤－1} B．{m|m＜－1} C．{m|m≤－4} D．{m|m＜－4} (1)D　(2)A　解析：(1)由0<a<1，知y＝ax是减函数，y＝(a－1)x2的图象开口向下．故选D. (2)y＝4x的图象与y轴交点为(0，1)，且无限接近x轴，要使g(x)＝4x＋m的图象不过第二象限， 则g(0)≤0，即1＋m≤0，所以m≤－1.故选A. 探究二　指数型函数的图象 [例2] (1)函数y＝()|x|的图象是 (　　) (2)若函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________． (1)B　(2)(－∞，－2]　解析：(1)因为y＝()|x|＝故选B. (2)作出函数y＝|3x－2|的图象如图所示． 由图可知，若函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则m≤－2. 拓展·提升 1．指数函数的图象恒过三点，(0，1)(定点)，(1，a). 2．与指数函数相关的图象问题 (1)定点问题：令函数解析式中的指数为0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可． (2)平移问题：对于横坐标x满足“左加右减”． [练2] (1)函数y＝a|x|(a>1)的图象是 (　　) (2)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是 (　　) (1)B　(2)C　解析：(1)该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．故选B. (2)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，故可排除选项A，B，D.故选C. 探究三　与指数函数图象有关的综合问题 [例3] (1)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________． 答案：{m|m≥1，或m＝0}　解析：画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则m≥1或m＝0， 即实数m的取值范围是{m|m≥1，或m＝0}． (2)已知函数f(x)＝ax-1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a＞0，且a≠1. ①求实数a的值； ②求函数y＝f(x)(x≥0)的值域． 解：①函数图象经过点(2，)，所以a2-1＝，则a＝. ②由①知函数为f(x)＝()x-1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜()x-1≤()-1＝2，所以函数的值域为(0，2]. 拓展·提升 处理指数型函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y值，即可得到函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势． [练3] (1)函数f(x)＝的大致图象为 (　　) A　解析：要使函数有意义，需使2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为{x|x≠0}． 由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：f(－x)＝＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 再考虑单调性：f(x)＝＝＝1＋，当x>0时，f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A.故选A. (2)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1). ①若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值； ②若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围； ③在①中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围． 解：①因为f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)， 所以 又a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. ②因为f(x)单调递减，所以0<a<1.又f(0)<0， 所以a0＋b<0，所以b<－1，故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(－∞，－1). ③画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}． 特别提醒：指数函数的值域为(0，＋∞). 1．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx满足不等式1>n>m>0，则它们的图象是 (　　) C　解析：由0<m<n<1可知①，②应为两条单调递减的曲线，故只可能是C或D，不妨选特殊点法，令x＝1，得①，②对应的函数值分别为m和n，由m<n，可知C选项符合题意．故选C. 2．已知函数f(x)＝()x，则函数y＝f(x＋1)的图象大致是 (　　) B　解析：根据题意，可得f(x＋1)＝()x+1＝·()x，函数f(x＋1)单调递减，当x＝0时，f(x＋1)＝f(1)＝＜1，即函数图象与y轴交点在(0，1)之下．A，D选项的图象为增函数，不符合题意；C选项的图象与y轴交点在(0，1)之上，不符合题意；只有B选项的图象符合．故选B. 3．已知函数y＝()x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a＝________． 答案：4　解析：由两函数的图象关于y轴对称， 可知与a互为倒数， 即＝1，解得a＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$