第3章 §3 3.2 第2课时 指数函数的性质和应用（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　指数函数的性质和应用 [对应学生用书P86] 学习目标 1.探索并理解指数函数的单调性(重点). 2．能利用图象理解指数函数的函数值随自变量变化而变化的情况． 指数函数的性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1 当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于＋∞；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于＋∞ a＞b＞1 0＜a＜b＜1 当x＝0时，ax＝bx＝1 当x＞0时，ax＞bx＞1 当x＞0时，0＜ax＜bx＜1 当x＜0时，0＜ax＜bx＜1 当x＜0时，ax＞bx＞1 1．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则 (　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1，0<b<1 C　解析：函数y＝ax的图象是下降的，所以0<a<1；函数y＝bx的图象是上升的，所以b>1. 2．函数y＝a－|x|(0<a<1)的图象是 (　　) A　解析：y＝a－|x|＝()|x|，易知函数为偶函数， ∵0＜a＜1，∴＞1，故当x＞0时，函数为增函数，当x＜0时，函数为减函数，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 3．已知函数y＝()x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________． 答案：12　解析：因为y＝()x在[－2，－1]上为减函数，所以m＝()-1＝3，n＝()-2＝9，所以m＋n＝12. 4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．(用“<”连接) 答案：m＜n　解析：因为a＝，即0＜a＜1，所以f(x)＝ax在R上为减函数，又f(m)＞f(n)，所以m＜n. 5．已知a＝23.5，b＝22.5，c＝33.5，请将a，b，c按从小到大的顺序排列为______________． 答案：b＜a＜c　解析：由指数函数y＝2x知，因为2.5<3.5，所以22.5<23.5，即b＜a，又c＝33.5>a＝23.5，故b＜a＜c. 探究一　比较指数幂的大小 [例1] 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.31.2与0.09-1； (3)1.50.3和0.81.2. 解：(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2， ∴1.52.5<1.53.2. (2)∵0.09-1＝0.3-2，函数y＝0.3x在R上是减函数，1.2>－2，∴0.31.2<0.3-2，即0.31.2<0.09-1. (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2. 拓展·提升 1．多个指数式比较大小，可先考虑它们与0或1的关系． 2．比较指数式大小的三种类型及处理方法 [练1] 比较下列各组数的大小： (1)0.8-0.1，1.250.2； (2)1.70.3，0.93.1； (3)a0.5与a0.6(a>0，且a≠1). 解：(1)∵y＝0.8x在R上是减函数，1.250.2＝0.8-0.2，－0.2<－0.1， ∴0.8-0.2>0.8-0.1，即0.8-0.1<1.250.2. (2)∵1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1. (3)a0.5与a0.6可看作指数函数y＝ax的两个函数值． 当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数． ∵0.5<0.6，∴a0.5>a0.6. 当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a0.5<a0.6. 综上所述，当0<a<1时，a0.5>a0.6；当a>1时，a0.5<a0.6. 探究二　解指数方程或不等式 [例2] 已知3x≥()-0.5，求实数x的取值范围． 解：因为()-0.5＝30.5，所以由3x≥()-0.5可得3x≥30.5.因为y＝3x在R上为增函数，所以x≥0.5，所以x的取值范围是[0.5，＋∞). 拓展·提升 指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法： 当a>1时，f(x)>g(x)； 当0<a<1时，f(x)<g(x). (2)不等式的形式不是同底指数式的形式时，要进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝()x. [练2] (1)(2025·三亚高一期末)若()4a+2<()8-3a，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，) B．(－∞，) C．(，＋∞) D．(，＋∞) D　解析：因为函数y＝()x是减函数，且()4a+2<()8-3a， 所以4a＋2>8－3a，解得a>，即实数a的取值范围是(，＋∞). (2)若a-5x>ax+7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 解：①当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数，则由a-5x>ax+7可得－5x<x＋7， 解得x>－. ②当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数，则由a-5x>ax+7可得－5x>x＋7，解得x<－. 综上，当0<a<1时，x的取值范围是{x|x>－}；当a>1时，x的取值范围是{x|x<－}． 探究三　求指数型复合函数的单调性 [例3] (2025·长春高一期末)已知函数f(x)＝为R上的奇函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在R上的单调性并加以证明； (3)解关于x的不等式f(x)<－. 解：(1)因为函数f(x)＝为R上的奇函数， 所以f(0)＝＝0，即a＝1. 故f(x)＝. (2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下： 由(1)知，f(x)＝＝(－1＋). 任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(－1＋)－(－1＋)＝·. 因为x1，x2∈R，且x1<x2， 所以3x2－3x1>0，3x1＋1>0，3x2＋1>0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 因此函数f(x)在R上单调递减． (3)由(2)知f(x)＝＝(－1＋)， 由f(x)<－，即(－1＋)<－， 即－1＋＜－，即<， 即3x＋1>4，即3x>3， 所以x>1， 所以不等式f(x)<－的解集为(1，＋∞). [变式探究] 在本例中f(x)＝能为偶函数吗？ 解：f(x)可以为偶函数， ∵f(x)＝， ∴f(－x)＝ ＝ ＝. 令f(－x)＝f(x)得－3x＋a＝－1＋a·3x， 即(a＋1)3x＝a＋1对∀x∈R成立，∴a＝－1. ∴当a＝－1时，f(x)＝为偶函数． 拓展·提升 求指数型复合函数单调性的步骤 (1)找出该复合函数是由哪两个函数复合而成的：y＝u(t)，t＝g(x). (2)分别判断y＝u(t)，t＝g(x)的单调性． (3)得出结论：两个函数的单调性相同，则复合函数在该区间单调递增；否则，单调递减． [练3] 求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间． 解：函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞). y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞). ∵y＝(t－1)2＋4在区间[1，＋∞)上单调递增， 当t≥1时，2x≥1，x≥0； 当0<t<1时，0<2x<1，x<0. ∴函数y＝4x－2×2x＋5的单调递增区间为[0，＋∞).同理可得单调递减区间为(－∞，0]. 特别提醒：求解复合函数的单调性易忽略函数的定义域． 1．函数f(x)＝的定义域是 (　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) C　解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.故选C. 2．函数f(x)＝()|x|－1的值域是 (　　) A．[1，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0] D．(－1，0] D　解析：将函数转化为分段函数，则f(x)＝图象如图所示： 所以函数的值域为(－1，0].故选D. 3．函数f(x)＝()1-x的单调递增区间为________． 答案：(－∞，＋∞)　解析：由已知得，f(x)的定义域为R. 设u＝1－x，则y＝()u. 因为u＝1－x在R上为减函数，f(x)＝()u在区间(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(x)＝()1-x在区间(－∞，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)＝()1-x的单调递增区间为(－∞，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$