第3章 §3 第1课时 指数函数的概念　指数函数的图象和性质(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．(多选)若函数f(x)＝·ax(a＞0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　) A．a＝8　　　　　　 B．f(0)＝－3 C．f＝2 D．a＝4 解析　因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f＝8＝2，故B、D错误，A、C正确． 答案　AC 2．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确； f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确； f＝，f(x)－f(y)＝ax－ay≠，故C中的等式错误； f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确． 答案　ABD 3．(多选)若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　∵a>1，且－1<b<0，故其图象如图所示． 答案　ABC 4．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是(　　) A. B． C. D． 解析　易知函数f(x)＝3x－2在[－1,1]上单调递增，所以函数f(x)＝3x－2的值域是.故选C. 答案　C 5．指数函数y＝f(x)的图象过点(2,4)，那么f(2)·f(4)＝________. 解析　设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，又f(2)＝a2＝4，∴f(2)·f(4)＝a2·a4＝4·42＝43＝64. 答案　64 6．函数f(x)＝的值域为________． 解析　∵≠0，∴≠1. 而＞0，故f(x)∈(0,1)∪(1，＋∞)． 答案　(0,1)∪(1，＋∞) 7．(多选)在同一直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－3与y＝ax的图象可能是(　　) 解析　若a＞1，则函数y＝ax是R上的增函数，函数y＝x2＋ax＋a－3的图象的对称轴方程为x＝－＜0，故A可能，B不可能；若0＜a＜1，则函数y＝ax是R上的减函数，a－3＜0，函数y＝x2＋ax＋a－3的图象与y轴的负半轴相交，对称轴为x＝－＜0，故C不可能，D可能． 答案　AD 8．求下列函数的定义域和值域． 解析　(1)要使y＝－1有意义，需x≠0， 则＞0且≠1，故2－1＞－1且－1≠0，故函数y＝－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9，所以函数y＝的值域为(0,9]． [关键能力·综合提升] 9．(多选)(2025·广东韶关检测)已知函数m(x)＝2x，h(x)＝3x，且m(a)＝h(b)，则下列式子可能成立的是(　　) A．a<0，b>0 B．a<b<0 C．a＝b D．0<b<a 解析　若m(a)＝h(b)＝1，则a＝b＝0，故C正确．若m(a)＝h(b)≠1，则作出m(x)＝2x和h(x)＝3x的图象，由图知，若a，b均为负数，则a<b<0(如图1)；若a，b均为正数，则a>b>0(如图2)，故A错误，B，D正确． 答案　BCD 10．专家对某地区某传染病暴发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t(单位：天)与传染病暴发系数f(t)之间满足函数模型：f(t)＝，当f(t)＝0.1时，标志着该传染病将要大面积暴发，则此时t约为(参考数据：e1.1≈3)(　　) A．38 B．40 C．45 D．47 解析　令＝0.1， 即1＋e－0.22(t－50)＝10，得e－0.22(t－50)＝9， 而e－0.22(t－50)＝e1.1×(－0.2)(t－50)＝(e1.1)－0.2(t－50)， 又e1.1≈3，∴3－0.2(t－50)＝9， 即－0.2(t－50)＝2，得t－50＝－10，即t＝40. 故选B. 答案　B 11．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________． 解析　由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0， ∴－x＜0,0＜2－x＜1， ∴－1＜－2－x＜0. ∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)． 答案　(－1,0)∪(0,1) 12．已知函数f(x)＝则f(f(0))＝________；f(x)的最小值为________． 解析　因为函数f(x)＝ 所以f(0)＝1，f(f(0))＝f(1)＝； 当－1≤x≤0时，f(x)＝x2＋x＋1＝2＋∈；当0<x≤1时f(x)＝x∈，f(x)的最小值为. 答案　　 13．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1. (1)求a的值； (2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域． 解析　(1)函数图象经过点， 所以a2－1＝，则a＝. (2)由(1)知函数为f(x)＝x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜x－1≤－1＝2，所以函数的值域为(0,2]． [核心价值·探索创新] 14．(2025·潍坊高一联考)设函数y＝，若函数在(－∞，1] 上有意义，则实数a的取值范围是___________． 解析　设t＝2x，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]， 则原函数在(－∞，1] 上有意义等价于1＋t＋at2≥0 在t∈(0,2] 上恒成立， ∴a≥－. 设f＝－，t∈(0,2]， 则f＝－＝－2＋， ∵t∈(0,2]，∴∈， ∴f≤f＝－， ∴a≥－，即a的取值范围是. 答案　 15．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)． (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围； (2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围． 解析　(1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1)，又f(0)＝1＋b＜0，所以b的取值范围为(－∞，－1)． (2)y＝|f(x)|的图象如下图所示： 由图象可知使|f(x)|＝m有且仅有一解的m的取值范围为{m|m＝0或m≥3}． 学科网（北京）股份有限公司 $$