第2章 §1 生活中的变量关系（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　生活中的变量关系 [对应学生用书P51] 学习目标 1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象． 2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系(重点). 一、依赖关系与函数关系 1．依赖关系 一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． 2．函数关系(初中定义) 一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且y是x的函数． 函数关系一定是依赖关系；依赖关系不一定是函数关系. 二、变量关系的表示 1．相关定义 构成函数关系的两个变量，必须是对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应．其中x是自变量，y是因变量． 2．表示方法 (1)变量关系可以用图表表示，也可以用关系式表示． (2)借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律． 3．分段函数 自变量在不同的取值范围内，有着不同的对应关系的函数． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)正方形面积与边长的关系是函数关系． (　√　) (2)某十字路口，通过行人的数量与时间的关系是依赖关系. (　√　) (3)乘出租车时，车费与行驶里程的关系是函数关系． (　√　) 2．张大爷种植10块同样大小的小麦试验田，每块试验田施肥x kg，小麦总产量为y kg，则 (　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 答案：A 3．俗语“名师出高徒”说明 (　　) A．名师与高徒之间具有依赖关系 B．名师与高徒之间具有函数关系 C．名师是高徒的函数 D．高徒是名师的函数 答案：A 4．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，________随________变化而变化，其中自变量是________，因变量是________． 答案：气温　时间　时间　气温　解析：“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间变化而变化，其中自变量是时间，因变量是气温． 5．已知正方形的边长是2 cm，当它的边长增加x cm时，正方形的面积增加y cm2，求y与x之间的函数关系式． 解：由题意得y＝(x＋2)2－22＝x2＋4x，所以y与x之间的函数关系式为y＝x2＋4x. 探究一　函数关系的判断 [例1] 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； (2)家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； (3)正三角形的面积和它的边长． 解：(1)中在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系． (2)中家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性． (3)中正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝a2的关系． 综上可知，(1)(2)(3)中两个变量间都存在依赖关系，其中(1)(3)是函数关系． 拓展·提升 1．判断两个变量有无依赖关系的策略 看其中一个变量变化时，另一个变量是否随之变化． 2．判断两个变量是否具有函数关系的策略 看对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应． [练1] 下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； (2)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系． 解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系． (2)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系． 综上可知，(1)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系． 探究二　变量关系的表示法 [例2] 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下表关系(其中0≤x≤20)： 所用时间x/分钟 2 5 7 10 12 接受能力y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 所用时间x/分钟 13 14 17 20 接受能力y 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生对概念的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为提出概念所用的时间为几分钟时，学生对概念的接受能力最强？ (4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生对概念的接受能力逐步降低？ 解：(1)题表中反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量． (2)由表中数据可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生对概念的接受能力是59. (3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生对概念的接受能力最强． (4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生对概念的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生对概念的接受能力逐步降低． 拓展·提升 1．变量关系的表示法：表格、图象、关系式． 2．变量关系的表示策略 变量间的关系有明确具体的等量关系，则可用关系式表示，否则就要用图表直观形象地表示． [练2] 如图是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况示意图． (1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高速度是多少？ (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？速度分别是多少？ (3)出发后8～10 min之间可能发生了什么情况？ 解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了24 min，最高速度为80 km/h. (2)汽车在出发后2 min到6 min内，18 min到22 min内均保持匀速行驶，速度分别为30 km/h和80 km/h. (3)出发后8 min到10 min之间汽车速度为0 km/h，重新出发后，速度很快提高到80 km/h，因此在8 min到10 min这段时间内很可能在堵车． 探究三　函数对应关系的确立 [例3] 一辆汽车在公路上正常行驶，其中有这样一些量：①行驶的速度v；②汽车的质量y；③车上乘坐的人数x；④行驶的时间t.其中有函数对应关系的两个量是 (　　) A．t与v B．x与v C．v与y D．x与t A　解析：由题意，公路上行驶的汽车，每个行驶的时间t，都有唯一的速度v对应，所以两个变量“时间t”与“速度v”之间是函数关系．故选A. [例4] “距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面的高度与温度之间的变化关系： 距离地面的高度/km 0 1 2 3 4 5 温度/℃ 20 14 8 2 －4 －10 (1)上表反映的变化关系中，________是自变量，________是因变量． (2)如果用h表示距离地面高度，用t表示温度，那么用h表示t的关系式是________． 答案：(1)距离地面的高度　温度　(2)t＝－6h＋20 解析：(1)题表中自变量是距离地面的高度，因变量是温度． (2)设t＝kh＋b， 由得 即h与t的关系式是t＝－6h＋20. 拓展·提升 1．函数特征：取值的任意性，对应的唯一性． 2．判断某种关系是不是函数关系的方法 根据函数的定义，判断是不是满足对于每一个x，都有唯一确定的一个y与之对应． [练3] 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系如图所示． (1)试求图中阴影部分的面积，说明面积的实际含义，并分析面积与时间是否构成函数关系； (2)假设汽车里程表在行驶这段路程前的读数为a km，当1<t≤2时，试建立汽车里程表的读数s(单位：km)与时间t(单位：h)的函数关系式． 解：(1)题图中阴影部分的面积S＝50＋80＋90＋70＋60＝350(km)， 题图中阴影部分的面积表示汽车在这5个小时内行驶的总路程为350 km. 由于对于时间t的每一个取值，都有唯一的面积的值与之对应，因此面积与时间构成函数关系． (2)根据题中图象可得，s＝80(t－1)＋a＋50(1<t≤2)(a为常数，指此车以前行驶的总里程). 特别提醒：依赖关系不一定是函数关系． 1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的为 (　　) A．大气层中的臭氧空洞的面积与时间(年份) B．圆的周长与半径 C．正n边形的内角和与边数 D．月份与年份 D　解析：因为月份对应的年份不确定，不符合函数的关系，故月份与年份两个变量之间的关系不是函数关系． 2．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压，使之成为一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为 (　　) 　　 B　解析：圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．故选B. 3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间．下图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示路程) (　　) A　解析：开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图象是线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大．故选A. 4．下列关系不是函数关系的是________(填序号). ①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系； ②某同学学习时间与其学习成绩的关系； ③人的睡眠质量与身体状况的关系． 答案：②③　解析：对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$