第1章 微专题2 一元二次不等式中的恒成立、能成立问题&教考衔接3 高考中的不等式问题（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[对应学生用书P46] 在一元二次不等式恒成立问题中，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题． 一、在R上的恒成立问题 [例1] (2025·贵阳高一月考)设y＝mx2＋(1－m)x＋m－2，若不等式y≥－2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 解：由y＝mx2＋(1－m)x＋m－2≥－2对一切实数x恒成立， 即mx2＋(1－m)x＋m≥0对一切实数x恒成立， 当m＝0时，x≥0，不满足题意； 当m≠0时，则满足解得m≥， 综上所述，实数m的取值范围为. 拓展·提升 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 [练1](2025·广州高一检测)不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是 (　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－2<a<1} D．{a|－1＜a<2} B　解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式－12<0恒成立，满足题意； 当a－2≠0时，由不等式解集为R得， 解得－1<a<2. 综上所述，实数a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 二、在给定区间上的恒成立问题 [例2] 已知函数y＝mx2－mx－1，若对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为 (　　) A．{m|m≤0} B．{m|0≤m<} C．{m|m<0，或0<m<} D．{m|m<} D　解析：由y<－m＋4，得m(x2－x＋1)<5， ∵1≤x≤3，∴1≤x2－x＋1≤7， ∴m(x2－x＋1)<5转化为m<， 又当x＝3时，取得最小值， ∴m<， ∴实数m的取值范围是{m|m＜}，故选D. 拓展·提升 在给定区间上的恒成立问题的求解方法 若ax2＋bx＋c>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式ax2＋bx＋c>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). [练2](2025·绵阳高一检测)若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1，2)恒成立，则实数t的取值范围为 (　　) A．{t|t<2} B．{t|t>} C．{t|t≥1} D．{t|t≥} D　解析：因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1，2)恒成立， 所以t>＝x＋在区间(1，2)上恒成立， 由对勾函数的性质可知函数y＝x＋ 在区间(1，2)上单调递增， 且当x＝2时，y＝2＋＝，所以x＋<， 故实数t的取值范围是{t|t≥}． 三、不等式能成立或有解问题 [例3] 若存在实数2≤x≤4，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为 (　　) A．{m|m＞13} B．{m|m＞5} C．{m|m＞4} D．{m|m＜13} B　解析：原式可化为m>x2－2x＋5，设y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，2≤x≤4，当x＝2时，ymin＝5，若∃2≤x≤4，使x2－2x＋5－m<0成立，即m>ymin，∴m>5.故选B. 拓展·提升 解不等式能成立问题的策略 解不等式能成立问题一般是转化为代数式的最值，即m＞ax2＋bx＋c能成立⇒m＞(ax2＋bx＋c)min；m≤ax2＋bx＋c能成立⇒m≤(ax2＋bx＋c)max. [练3] 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 解：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴m的取值范围为{m|m≥－2}． [对应学生用书P47] 不等式问题是高考重要内容，考题多与教材例题或习题有联系，主要考查不等式的性质、基本不等式、不等式的解法等． 母题展示与分析 展示：(教材P35“一元二次不等式的求解方法”) 以不等式x2－2x－3＜0为例，画出一元二次函数y＝x2－2x－3的图象(如图)并观察，可知它与x轴交点的横坐标分别是－1和3，即当x1＝－1，x2＝3时，x2－2x－3＝0，进而，当－1＜x＜3时，一元二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴的下方，满足y＜0.也就是说，一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集是{x|－1＜x＜3}． 分析：教材以一元二次不等式为例，结合一元二次函数的图象、一元二次方程的解，利用数形结合的方法，探讨得到了一元二次不等式的解；若条件不变，如何判断全称量词命题与其否定的真假或改变条件从而解决新的问题等等，是教材问题与高考试题链接的主要方式． 母题变式与创新 变式：若将题目呈现形式适当变化 1．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为________． 答案：(－1，3)　解析：由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，得－1<x<3. 创新：若将条件适当改变：引入字母参数，则构成一个新的问题 2．(多选)(2025·杭州高一检测)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是 (　　) A．b>0 B．c>0 C．a＋b＋c>0 D．a－b＋c>0 ABC　解析：由题意可知，方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－，x2＝2，且a<0， 则－＝x1＋x2＝，＝x1x2＝－1，解得b＝－a，c＝－a. 令f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax－a(a<0). 对于A，b＝－a>0，故A正确； 对于B，c＝－a>0，故B正确； 对于C，a＋b＋c＝f(1)＝a－a－a＝－a>0，故C正确； 对于D，a－b＋c＝f(－1)＝a＋a－a＝a<0，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$