第1章 微专题1 集合中的新定义问题&教考衔接1 高考中的集合问题（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

[对应学生用书P16] 集合的新定义问题，体现了高考命题从能力立意到素养提升的一种命题导向，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．解答这类问题，关键是理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答． 一、新定义集合的概念 [例1] 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝，若M与N“相交”，则a＝________． 答案：1　解析：M＝，由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1.当a＝4时，M＝，此时M⊆N，不符合题意，应舍去；当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意． 二、新定义集合的运算 [例2] 设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，定义A·B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A·B中元素的个数是 (　　) A．7 B．10 C．25 D．52 B　解析：因为A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}．由x∈A∩B，可知x可取0，1；由y∈A∪B，可知y可取－1，0，1，2，3. 元素(x，y)的所有结果如表所示： 　　y x　　 －1 0 1 2 3 0 (0，－1) (0，0) (0，1) (0，2) (0，3) 1 (1，－1) (1，0) (1，1) (1，2) (1，3) 所以A·B中的元素共有10个． 三、新定义集合的性质 [例3] 若集合A具有以下性质： ①0∈A，1∈A；②若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A，则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的个数是 (　　) A.0 B．1 C．2 D．3 C　解析：对于①，当x＝1，y＝－1时，x－y＝2，故集合B不满足第2个条件，集合B不是“好集”；对于②，有理数集Q满足0∈Q，1∈Q，且满足第2个条件，即x∈Q，y∈Q时，x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，故有理数集Q是“好集”；对于③，由“好集”的定义知，x，y∈A，0∈A，∴0－y＝－y∈A，∴x－(－y)＝x＋y∈A，故③正确． [对应学生用书P16] 集合问题是每年高考必考内容，考题多源自教材例题或习题，主要考查集合的包含关系、离散型数集或连续型数集的运算，常与解不等式结合考查． 母题展示与分析 展示：[教材P45T1(2)] 已知全集U＝{x∈N＋ |－2<x<9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是 (　　) A.M∪(∁UP) B．∁U(M∩P) C.(∁UM)∪(∁UP) D．(∁UM)∩(∁UP) D　解析：由已知∁UM ＝{1，2，6，7，8}，∁UP＝{2，4，5，7，8}，故(∁UM)∩(∁UP)＝{2，7，8}． 分析：教材以一次不等式解集为背景，找两个非连续数集与另一个非连续数集的关系，考查集合间的关系与基本运算．将集合的条件作适当变化，如将一次不等式变为二次不等式、三次不等式组或更进一步在已知集合的基础上构造新的集合或集合间的关系，从而解决新的问题等等，是教材问题与高考试题链接的主要方式． 母题变式与创新 变式：将条件升级为二次不等式或进一步升级为三次不等式组 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝ (　　) A.{－1，0} B．{2，3} C.{－3，－1，0} D．{－1，0，2} A　解析：方法一(直接法)　因为A＝{x|－5<x3<5}＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}．故选A. 方法二(验证法)　因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3∉A，2∉A，3∉A，所以A∩B＝{－1，0}．故选A. 创新：在已知集合的基础上，构造新的集合，并完成交集与补集运算． 2．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝ (　　) A.{1，4，9} B．{3，4，9} C.{1，2，3} D．{2，3，5} D　解析：B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$