第1章 §3 3.2 第1课时 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [对应学生用书P32] 学习目标 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2．掌握基本不等式，明确等号成立的条件(重点). 3．会用基本不等式证明不等式(难点). 重要不等式与基本不等式 1．重要不等式 对任意实数x和y，(x－y)2≥0总是成立的，即x2－2xy＋y2≥0，所以≥xy，当且仅当x＝y时，等号成立． 2．基本不等式 设a≥0，b≥0，有≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值． 基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． (1)“基本不等式”成立的前提条件：a≥0，b≥0，等号成立的条件：当且仅当a＝b. (2)基本不等式的常见变形： ①a＋b≥2； ②ab≤()2≤.(其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．) 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　×　) (2)≥ . (　√　) (3)若a>0，b>0，则ab≤恒成立． (　×　) 2．下列不等式正确的是 (　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋(－)≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋(－)2≤－2 C　解析：∵a2＞0，∴a2＋≥2，当且仅当a＝±1时等号成立． 3．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是 (　　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab| 答案：A 4．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是 (　　) A．a－b<0 B．0<<1 C．< D．ab>a＋b C　解析：a>b>0，由基本不等式知<一定成立． 探究一　基本不等式成立的条件 [例1] (1)在不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中，等号成立的条件是 (　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 (2)给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2. 其中正确的推导为 (　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ (1)C　(2)B　解析：(1)由均值不等式知，等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去).故选C. (2)①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的． ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．故选B. 拓展·提升 1．基本不等式链 ≥≥≥(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立). 2．对基本不等式准确掌握的两个关键点 (1)定理成立的条件是a，b都是非负数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 3．注意下列两个常见变形中等号成立的条件 (1)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时，等号成立；＋≤－2(a，b异号)，当且仅当a＝－b时，等号成立． (2)a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时，等号成立． [练1] 下列不等式的推导过程中，正确的是________________．(填序号) ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－[(－x)＋(－)]≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 答案：②　解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件． 探究二　应用基本不等式比较大小 [例2] (1)(多选)若实数a>0，b>0，a·b＝1，则下列选项的不等式中，正确的有 (　　) A．a＋b≥2 B．＋≥ C．a2＋b2≥2 D．＋≥2 (2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． (1)ACD　(2)p＞q　解析：(1)由于a>0，b>0，a·b＝1，由基本不等式得a＋b≥2＝2，＋≥2＝2，a2＋b2≥2ab＝2，＋≥2＝2， 上述不等式当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 所以A，C，D三个选项都正确． (2)∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，即p＞q. 拓展·提升 1．常用结论：＋≥2(ab>0)，a＋≥2(a>0). 2．运用基本不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (2)应注意成立的条件． [练2] 如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小关系是 (　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P B　解析：显然＞，又＜(因为a＜＜1，所以＞，所以a＋b＞＞)，所以＞＞.故M＞P＞Q.故选B. 探究三　应用基本不等式证明不等式 [例3] (1)设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b. (2)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥4. [思路导引] ⇒ 证明：(1)∵a>0，b>0，∴＋a≥2b，＋b≥2a， ∴＋≥a＋b. (2)因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1， 所以＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立． 拓展·提升 1．当a>0，b>0，c>0时，≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 2．利用基本不等式证明不等式的策略和注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意适用条件； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用． [提醒]在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性． [练3] 已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7. 证明：由＋＝1，得b＝(a＞1)， 则a＋2b＝a＋＝a＋＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7≥2＋7，当且仅当a－1＝，即a＝1＋时，等号成立． 特别提醒：基本不等式成立的条件． 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是 (　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 B　解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立．故选B. 2．不等式a＋1≥2(a＞0)中等号成立的条件是 (　　) A．a＝0 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2 C　解析：因为a＋1≥2(a＞0)，由基本不等式可知，当且仅当a＝1时，等号成立．故选C. 3．(多选)下列说法中正确的是 (　　) A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D．a＋b≥2成立的条件是ab＞0 BC　解析：根据基本不等式成立的条件可知只有B，C正确．故选BC. 4．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________． 答案：x>2y　解析：因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以x－2y>0，即x>2y. 学科网（北京）股份有限公司 $$