第1章 §3 3.1 不等式的性质（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 [对应学生用书P29] 学习 目标 1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质(重点). 2．能利用不等式的性质比较大小或证明不等式(重点). 一、不等式的基本事实 a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b. 从基本事实可知：比较两个实数或代数式的大小，只需比较它们的差与0的大小即可． 二、不等式的性质 性质1(传递性)：如果a>b，且b>c，那么a＞c. 性质2(可加性)：如果a>b，那么a＋c＞b＋c. 性质3(可乘性)：(1)如果a>b，c＞0，那么ac＞bc； (2)如果a>b，c＜0，那么ac＜bc. 性质4(同向可加性)：如果a>b，c＞d，那么a＋c＞b＋d. 性质5(同向同正可乘性，可乘方性)：(1)如果a>b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； (2)如果a>b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd. 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. 性质6(可开方性)：当a>b＞0时，＞，其中n∈N＋，n≥2. “不等式的性质”一定要注意成立的前提条件；另外要关注“箭头”是单向还是双向． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若a＞b，则ac＞bc一定成立． (　×　) (2)a＞b⇔a＋c＞b＋c. (　√　) (3)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d. (　×　) (4)a>b⇔a2>b2. (　×　) 2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使货车总质量T不超过40吨，用不等式表示为 (　　) A．T<40　　　　　 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 C　解析：限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40. 3．(教材P26练习6改编)已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列判断中正确的是 (　　) A.a－c＜b－d B．ac＞bd C．＜ D．ad＞bc 答案：B 4．已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则 (　　) A．ad＞bc B．ac＞bc C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 答案：D 5．若a＞b＞0，n∈N＋，n≥2，则________.(填“＞”“＜”或“＝”) 答案：＜ 探究一　作差法比较大小 [例1] 比较下列各式的大小． (1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小． (2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． 解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). 因为x≤1，所以x－1≤0，3x2＋1＞0， 所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1. (2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， 所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝，z＝1时，等号成立． 拓展·提升 1．若a，b都是正数，则可用作商法比较大小，即>1⇔a>b，＝1⇔a＝b，<1⇔a<b. 2．作差法比较两个实数大小的基本步骤 [练1] (2025·临沂高一期中)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果 (　　) A．变坏了 B．变好了 C．不变 D．无法判断 B　解析：设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积(面积单位都相同)， 由题意得0<a<b，m>0，则－＝＝， 因为b>0，m>0，所以b(b＋m)>0，又a<b，则b－a>0， 所以－>0，即>， 所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了． 探究二　利用不等式性质判断 [例2] (1)(2025·宝鸡高一期末检测)若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式中一定成立的是 (　　) A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2 (2)下列命题中，正确的是 (　　) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＜b C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D．若＜，则a＜b (1)A　(2)D　解析：(1)因为a>b>c，且a＋b＋c＝0， 所以a>0，c<0，所以ab>ac，故A正确； B选项，ac－bc＝c(a－b)<0，即ac<bc，故B错误； C选项，当b＝0时，a|b|＝c|b|，故C错误； D选项，当a＝1，b＝0，c＝－1时，a2＝c2>b2，故D错误．故选A. (2)选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确．选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推出a＜b；当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确．选项C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确．选项D中，式子＜成立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质，显然有a＜b成立，故D正确．故选D. 拓展·提升 1．不等式性质的推论(正数开方性)：a>b>0⇒>(n∈N＋，n≥2). 2．利用不等式判断正误的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则，一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． [练2] (1)若a>b，则一定有 (　　) A．ac>bc B．a2>b2 C．< D．a＋c>b＋c (2)若a，b，c∈R且a>b>c，则下列不等式一定成立的是 (　　) A．a－b>b－c B．a＋b>2c C．ac>bc D．a2>b2>c2 (1)D　(2)B　解析：(1)A选项，ac－bc＝c(a－b)，仅当c>0时，ac－bc>0，即ac>bc，错误； B选项，a2－b2＝(a＋b)(a－b)，仅当a＋b>0时，a2－b2>0，即a2>b2，错误； C选项，－＝，仅当ab>0时，－<0， 即<，错误； D选项，(a＋c)－(b＋c)＝a－b>0，故a＋c>b＋c，正确．故选D. (2)对于A，令a＝1，b＝0，c＝－1，所以a－b＝1，b－c＝1，所以A错误； 对于B，因为a>b>c，所以a>c，b>c，所以由不等式的同向可加性知，a＋b>2c，所以B正确； 对于C，令a＝2，b＝1，c＝0，所以ac＝bc＝0，所以C错误； 对于D，令a＝1，b＝0，c＝－1，所以a2＝1，b2＝0，c2＝1，所以D错误．故选B. 探究三　利用不等式的性质证明不等式 [例3] 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0. 求证：＞. 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘，得＜. 又e＜0，∴＞. [变式探究] 本例条件不变，求证：＞. 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. ∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜， 又e＜0，∴＞. 拓展·提升 1．ab>0，a>b⇒<(同号的两个实数，取倒数原来大的反而小)；ab<0，a>b⇒>(异号的两个实数，取倒数原来大的仍大). 2．利用性质证明不等式的注意点 应严格利用题中条件与性质定理、推论进行证明，不能随便引用一些简易结论作为论证依据，否则会造成论证不严谨． 探究四　用不等式的性质求代数式的取值范围 [例4] 已知实数x，y满足关系： －1<x＋y<4，2<x－y<3. (1)分别求实数x，y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 解：(1)－1<x＋y<4　①，2<x－y<3　②， ①＋②得，1<2x<7，解得<x<， 由②得－3<－x＋y<－2　③， ①＋③得，－4<2y<2，解得－2<y<1， 故x的取值范围是{x|＜x＜}， y的取值范围是{y|－2＜y＜1}． (2)设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则 解得m＝，n＝， 由(x＋y)＋(x－y)得－<3x＋2y<， 所以3x＋2y的取值范围为. 拓展·提升 1．a1>b1，a2>b2，…，an>bn⇒a1＋a2＋…＋an>b1＋b2＋…＋bn；a1>b1>0，a2>b2>0，…，an>bn>0⇒a1a2…an>b1b2…bn. 2．求含有字母的数(或式)的取值范围时的注意事项 (1)要注意题设中的条件． (2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除． [练3] 若－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围． 解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b， 则解得 因为－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1， 所以－＜(a＋b)－(a－b)＜， 即－＜2a＋3b＜， 所以2a＋3b的取值范围是(－，). 特别提醒：不要忽略不等式性质成立的条件． 1．若x∈R，y∈R，则 (　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 A　解析：因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.故选A. 2．若a＞b>0，c＞d>0，则一定有 (　　) A．> B．< C．> D．< C　解析：不妨令a＝3，b＝1，c＝1，d＝， 则＝3，＝3，∴A，B不正确； ＝9，＝1，∴D不正确．故选C. 3．设x，y∈R，则“x<3，y<3”是“x＋y<6”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由x<3，y<3，可得x＋y<6， 当x＝5，y＝－1时，满足x＋y<6，但不满足x<3，y<3，则“x<3，y<3”是“x＋y<6”的充分不必要条件，故选A. 4．已知1<a<3，－2<b<1，则a＋2b的取值范围是________． 答案：(－3，5)　解析：∵－2<b<1，∴－4<2b<2. ∵1<a<3，∴－3<a＋2b<5. 学科网（北京）股份有限公司 $$