第1章 §1 1.2 集合的基本关系（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

1.2　集合的基本关系 [对应学生用书P7] 学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义． 2．能用符号和Venn图表示两个集合间的基本关系． 3．能识别给定集合的子集，理解空集与子集、真子集之间的关系(重点). 集合间的关系 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集 记法 记作A⊆B(或B⊇A) 读法 读作“A包含于B”(或“B包含A”) Venn图 结论 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A. (3)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2．真子集 定义 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集 记法 记作AB(或BA) 读法 读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) Venn图 结论 若AB，BC，则AC “A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. 3．集合相等 文字语言 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等 符号语言 A⊆B，且B⊆A⇔A＝B 图形语言 “集合相等”的含义：两集合元素完全相同，两集合互相包含、互为子集． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)任何一个集合都有子集． (　√　) (2)若A＝B，则A⊆B且B⊆A. (　√　) (3)空集是任何集合的真子集． (　×　) 2．(多选)下列关系中正确的是 (　　) A．1∈{0，1，2} B．{1}∈{0，1，2} C．{0，1，2}⊆{0，1，2} D．{0，1，2}＝{2，0，1} ACD　解析：选项B应该改为{1}⊆{0，1，2}才正确． 3．[教材P7练习题1(2)改编]设A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，则下列关系中正确的是 (　　) A．E⊆D⊆C⊆A　　 B．D⊆E⊆C⊆A C．D⊆B⊆A D．E⊆D⊆C⊆B⊆A 答案：A 4．集合A＝{0，1，2}的真子集个数是___________________． 答案：7　解析：集合A＝{0，1，2}的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，共7个． 探究一　集合间关系的判断 [例1] 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}． 解：(1)方法一　集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故B⊆A. 方法二　利用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知B⊆A. (2)∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集， ∴B⊆A. 拓展·提升 1．含有n个元素的集合，有2n个子集，2n－1个真子集． 2．判断集合间关系的常用方法 [练1] (1)已知M为非空数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少有一个元素是奇数，则这样的集合M共有 (　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 (2)已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B⊆A，则实数m＝________． (1)A　(2)4　解析：(1)集合{1，2，3}的子集共有23＝8(个)，集合{2}的子集共有2个，所以满足要求的集合M共有8－2＝6(个).故选A. (2)∵B⊆A，∴元素3，4必为A中元素，∴m＝4. 探究二　集合的相等及运用 [例2] (1)指出下列各组集合之间的关系． ①A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}； ②A＝{(x，y)|xy＞0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0}． (2)设集合A＝{x，x2，xy}，B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值． 解：(1)①A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}． 在集合B中，当n为奇数时，x＝＝0， 当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}， ∴A＝B. ②方法一　由xy＞0得x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0；由x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0得xy＞0，从而A＝B. 方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B. (2)由题意，得　①或　② 解①，得或 经检验，不合题意，舍去，则 解②，得经检验，不合题意，舍去． 综上所述， 拓展·提升 1．两集合相等即两集合是同一个集合． 2．集合相等的解题策略 (1)利用集合相等的概念建立方程组； (2)列方程组时，针对不同的情况常常进行分类讨论. [练2] (1)下列各组表示A和B两个集合相等的是 (　　) A．A＝{π}，B＝{3.141 59} B．A＝{2，3}，B＝{(2，3)} C．A＝{1，，π}，B＝{π，1，|－|} D．A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1} (2)若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则 (　　) A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2 C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3 (1)C　(2)A　解析：(1)集合相等，即两集合中的元素完全相同． 选项A，∵π≠3.141 59，∴A≠B； 选项B，∵2，3表示两个实数，而(2，3)表示一个点，∴A≠B； 选项C，∵|－|＝，∴A＝B； 选项D，∵A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}≠B＝{1}，∴A≠B.故选C. (2)由题意可知，1，2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根， ∴解得 探究三　集合间关系的应用 [例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． [思路导引] ⇒ 答案：{m|1<m≤4}　解析：由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4， 又m>1，所以1<m≤4. [变式探究1] 本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？ 解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A. 若m>1，则由例题解析可知1<m≤4. 则m的取值范围为{m|m≤4}． [变式探究2] 本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|2m－1<x<m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：因为B⊆A， ①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时，有解得－1≤m<2. 则m的取值范围为{m|m≥－1}． 拓展·提升 1．集合{x|m<x<n}在n≤m时表示∅. 2．由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． [提醒](1)不能忽视集合为∅的情形； (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． [练3] (1)已知集合A＝{x|x≥4，或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B⊆A，则a的取值范围为________． 答案：{a|a＜－8，或a≥3}　解析：利用数轴法表示B⊆A，如图所示， 则a＋3＜－5，或a＋1≥4，解得a＜－8，或a≥3. (2)已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或 解得a＜－4，或2＜a≤3. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a＜－4，或a＞2}． 特别提醒：当B⊆A时，易忽略B可以为空集． 1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则 (　　) A．P∈Q B．P⊆Q C．Q⊆P D．Q∈P C　解析：因为集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，所以集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P.故选C. 2．下列Venn图正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的是 (　　) B　解析：由N＝{1，0}，知NM.故选B. 3．下列选项正确的是 (　　) A．空集没有子集 B．任何集合至少有两个子集 C．空集是任何集合的真子集 D．若∅A，则A≠∅ D　解析：因为空集是它本身的子集，所以选项A错误；因为空集只有一个子集，所以选项B错误；因为空集不是空集的真子集，所以选项C错误；因为∅不是其自身的真子集，所以选项D正确．故选D. 4．设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝________． 答案：－1　解析：因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$