第1章 §1 1.1 第2课时 集合的表示（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　集合的表示 [对应学生用书P4] 学习目标 1.针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言(列举法、描述法)刻画集合(重点). 2．感受集合语言的意义和作用． 一、列举法 1．定义：把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法． 2．一般形式：{a，b，c，…}． 3．关注点：元素排列的顺序可以不同． (1)“列举法”表示集合时，元素写在花括号内，元素之间用逗号隔开． (2)“一一列举”指全部列举，不遗漏． (3)“{}”具有“所有”“全体”的含义． 二、描述法 1．定义：通过描述元素满足的条件表示集合的方法． 2．一般形式：{x及x的范围|x满足的条件}． 3．写法：在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征． “元素的一般符号”即集合中的代表元素，如{(x，y)|y＝x2＋2}，{x|y＝x2＋2}与{y|y＝x2＋2}三个集合中的代表元素是不一样的． 三、集合的分类及区间 1．集合的分类 (1)有限集：含有有限个元素的集合叫作有限集． (2)无限集：含有无限个元素的集合叫作无限集． (3)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作∅. 2．区间 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a，b] {x|a＜x＜b} (a，b) {x|a≤x＜b} [a，b) {x|a＜x≤b} (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x＞a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x＜b} (－∞，b) (1)实数a，b称为区间的端点．[a，b]称为闭区间，(a，b)称为开区间，[a，b)，(a，b]称为半开半闭区间． (2)在数轴上表示区间时，用实心点表示属于区间的端点，用空心点表示不属于区间的端点． (3)符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为(－∞，＋∞)． (1){0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，表示不含有任何元素，故{0}与∅不相同． (2)区间表示实数集的三个原则：①连续的数集；②左端点值必须小于右端点值；③开区间或闭区间不能混淆. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为{1，1}． (　×　) (2){0，1}与{(0，1)}是相同的集合． (　×　) (3){x|x>3}与{y|y>3}是同一个集合． (　√　) (4)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合． (　√　) 2．集合A＝{x∈Z|－2＜x＜3}的元素个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 3．(教材P5练习T3改编)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为 (　　) A．{0，1} B．{(0，1)} C． D． 答案：B 4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________． 答案：{－1，4}　解析：由于4∈A，故4为方程x2－3x＋a＝0的一个根，有42－3×4＋a＝0，解得a＝－4，由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，∴A＝{－1，4}． 探究一　用列举法表示集合 [例1] 用列举法表示下列集合： (1)方程x2－1＝0的解组成的集合； (2)单词“see ”中的字母组成的集合； (3)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合． 解：(1)方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}． (2)单词“see ”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}． (3)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1，1)}． 拓展·提升 1．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，并不是所有集合都可以用列举法． 2．列举法表示集合的步骤 (1)分清元素：列举法表示集合，要分清是数集还是点集． (2)书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏． [提醒]二元方程组的解集，函数图象的点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2，3)，(5，－1)}． [练1] (1)不等式x－3<2且x∈N＋的解集用列举法可表示为________________． 答案：{1，2，3，4}　解析：因为x－3<2， 所以x<5.又x∈N＋， 所以x＝1，2，3，4.所以集合为{1，2，3，4}． (2)设方程kx2－8x＋16＝0的解组成的集合为A，且该方程只有一个根，求出k的值；并用列举法表示集合A. 解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，若关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0只有一个根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 探究二　用描述法表示集合 [例2] (1)用描述法表示不等式4x－5＜7的解集为________． (2)设集合A＝{x∈Z|∈N}，则用列举法表示集合A为____________． 答案：(1){x|x＜3}　(2){－1，0，1，4}　解析：(1)用描述法可表示为{x|x＜3}． (2)要使∈N，则x＋2可取1，2，3，6.又x∈Z，则x可取－1，0，1，4，故A＝{－1，0，1，4}． 拓展·提升 1．描述法可分为“公式描述法”即共同特征可用式子表示与“语言描述法”即共同特征只能用文字语言描述． 2．用描述法表示集合的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如满足的方程、不等式、函数或几何图形或文字语言等； (3)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确； (4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N，但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}． [练2] 用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－x的图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； (3)不等式x－2＜3的解组成的集合． 解：(1){(x，y)|y＝－x}． (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|＞3}． (3)解不等式x－2＜3，得x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x|x＜5}． 探究三　用区间表示集合 [例3] (1)用区间表示下列集合： ①{x|x＞－1}＝________； ②{x|2＜x≤5}＝________； ③{x|x≤－3}＝________； ④{x|2≤x≤4}＝________． (2)下列集合中，________是有限集，________是无限集．(填序号) ①由小于8的正奇数组成的集合； ②由大于5且小于20的实数组成的集合； ③由小于1的自然数组成的集合． 答案：(1)①(－1，＋∞)　②(2，5]　③(－∞，－3] ④[2，4]　(2)①③　②　　解析：(1)①集合{x|x＞－1}可用开区间表示为(－1，＋∞)；②集合{x|2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为(2，5]；③集合{x|x≤－3}可用半开半闭区间表示为(－∞，－3]；④集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4]. (2)①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集；②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集；③因为小于1的自然数为0，所以其组成的集合是有限集． 拓展·提升 1．区间是连续实数集的一种直观简捷的表示方法． 2．用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． [练3] (1)区间(－3，2]可表示为 (　　) A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3＜x＜2} C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2} (2)已知区间(4p－1，2p＋1)为一确定区间，则p的取值范围为________． (3)下列集合中，是空集的为________．(填序号) ①{0}；②{x|x>8，且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}； ④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}． (1)C　(2)(－∞，1)　(3)②③　解析：(1)区间(－3，2]可表示为{x|－3＜x≤2}．故选C. (2)由题意，得4p－1<2p＋1，所以p<1. (3)因为{0}含有一个元素0，所以{0}不是空集；因为大于8且小于5的实数不存在，所以{x|x>8，且x<5}为空集；x2＋1＝0没有实数解，所以{x∈N|x2＋1＝0}是空集；因为大于4的实数有无数个，所以{x|x>4}不是空集；因为满足x2＝－y2的一个点为(0，0)，所以{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}不是空集． 特别提醒： (1)描述法表示集合易忽略代表元素的范围； (2){0}，∅，{∅}三者易混． 1．集合{x∈N＋|x＜6}的另一种表示方法是 (　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} D　解析：易知集合可表示为{1，2，3，4，5}．故选D. 2．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为 (　　) A．{1，3} B．{(1，3)} C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3} A　解析：解方程x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，用列举法表示为{1，3}．故选A. 3．用适当的方法表示下列集合： (1)方程(x＋1)(x2－2)＝0的解组成的集合； (2)平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合． 解：(1)解方程(x＋1)(x2－2)＝0，得x＝－1或x＝±， 故其解组成的集合用列举法表示为{－1，－，}． (2)代表元素是有序实数对(x，y)，用描述法表示集合为{(x，y)|x＜0，且y＞0}． 学科网（北京）股份有限公司 $$