1.1.1 集合的概念与表示课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.1.1 集合的概念与表示 1 【学习目标】 1.通过实例了解与集合有关的概念（元素、集合、有限集、无限集、空 集），初步掌握常用数集及集合的表示方法，发展数学抽象素养. 2.通过选用不同的方法表示一个集合，体会元素与集合之间的关系，感受 集合中元素的确定性、互异性、无序性. 3.在学习集合语言的过程中，增强学生通过性质辨别不同事物的能力，并 进行分类表达. 2 知识点一 集合的概念及元素的特征 1.集合与元素的概念：一般地，我们把指定的某些对象的______称为集合，集 合中的每个对象叫作这个集合的______. 全体 元素 2.符号表示：集合通常用大写英文字母，，， 表示，元素通常用小写 英文字母，，， 表示.如果元素在集合中，就说元素属于集合 ，记 作______；如果元素不在集合中，就说元素不属于集合 ，记作______. 课 前 预 习 3 3.常用的数集及其记法: 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 记法 ___ ____或____ ___ ___ ___ ____ 4.集合中元素的三个特性为________、________、无序性. 确定性 互异性 5.空集：我们把不含任何元素的集合叫作空集，记作 . 6.含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集. 课 前 预 习 4 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）中国著名的旅游景区构成一个集合.( ) × [解析] 不满足集合元素的确定性，错误. （2） .( ) × [解析] ,错误. 课 前 预 习 5 （3）若，，则 .( ) √ [解析] 集合中的元素满足互异性，正确. （4）,,和,, 表示同一个集合.( ) √ [解析] 集合中的元素满足无序性，正确. 课 前 预 习 6 知识点二 集合的表示法 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来写在___________内表示集合的方法， 一般可将集合表示为,,,.注意元素间要用“，”隔开，如 ，0，1， 花括号“{}” 2.描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为及 的范围 满足的条件}. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程的实数根组成的集合为, .( ) √ [解析] 方程的根是实数，所以此集合为数集，正确. （2）函数的图象与坐标轴的交点组成的集合为 .( ) × [解析] 函数图象与坐标轴的交点为点，所以此集合为点集，故组成的集合为 ， . 课 前 预 习 8 （3）集合与集合 表示同一个集合. ( ) √ [解析] 集合与集合 表示的是同一个集合， 虽然它们的代表元素符号不一样，一个用了，一个用了 ，但都表示数， 且数的范围相同. 课 前 预 习 9 知识点三 区间及其表示 1.区间的概念,是两个实数,且 定义 符号 名称 数轴表示 ______ 闭区间 ______________________________________________ ______ 开区间 ______________________________________________ ______ 半开半闭区间 _______________________________________________ ______ 半开半闭区间 _______________________________________________ 课 前 预 习 10 2.其他区间的表示 定义 符号 数轴表示 ________ ________________________________________________ ________ _____________________________________________ ________ ________________________________________________ ________ _______________________________________________ 特别地，实数集 可以表示为__________. 课 前 预 习 11 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）“ ”表示的是一个数.( ) × [解析] “ ”是一个符号，不是一个数，以“ ”或“ ”为区间的一端时，这 一端必须用小括号. （2）用区间可表示为 .( ) × [解析] 用区间表示集合时，必须满足 . （3）可表示为 .( ) × [解析] 应表示为 . 课 前 预 习 12 探究点一 集合的概念 例1（1） （多选题）下列对象中能组成集合的是( ) BCD A.著名的科学家 B.中国的直辖市 C.所有的偶数 D.所有的直角三角形 [解析] 选项A中的对象没有一个明确的判定标准, 而选项B,C,D中的对象都有一个明确的判定标准, 所以选项B,C,D中的对象可以组成集合.故选 . 课 中 探 究 13 （2）下列对象中能组成集合的是：①某省所有的好学校；②直角坐标系中横坐 标与纵坐标互为相反数的点； 的近似值；④小于5的自然数.( ) C A.①② B.②③ C.②④ D.③④ [解析] ①某省所有的好学校不具有确定性，不能组成集合； ②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，可以组成集合； 的近似值不具有确定性，不能组成集合； ④小于5的自然数有0，1,2,3,4，能组成集合. ②④符合条件，故选C. 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准,使得对于 任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素. 课 中 探 究 15 探究点二 元素与集合的关系 例2（1） 下列表示正确的是( ) D A. B. C. D. [解析] 对于A，0既不是正数也不是负数， 表示正整数集，故A错误； 对于B，表示整数集，不是整数，故B错误； 对于C，表示有理数集， 是无理数，故C错误； 对于D，表示实数集， 是实数，故D正确.故选D. 课 中 探 究 16 （2）（多选题）下列关系中正确的是( ) AD A.} B. C.， D. [解析] ，故A正确； 空集是不含任何元素的集合，则 ，故B错误； 假设,，则，可得 ，与矛盾， 故假设不成立，, ,故C错误； 中含有,故D正确.故选 . 课 中 探 究 17 变式（1） （多选题）下列结论正确的是( ) ABD A. B. C. D. [解析] 因为 不属于正整数，所以选项C错误，易知其他选项都正确，故选 . （2）已知集合是由形如（其中，）的数组成的，请判断 是否为集合 中的元素. 解：因为，且2,，所以，故为集合 中的元素. 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 判断一个对象是不是某集合中的元素，首先要明确已知集合中的元素具有怎样 的特征，即集合中的元素要符合哪些表达式或满足哪些条件，然后再判断此对 象是否也具有这种特征，从而确定该对象与已知集合的关系. 课 中 探 究 19 探究点三 集合中元素特性的简单应用 例3（1） （多选题）设集合,,，若，则 的值 可能为( ) CD A. B.0 C.1 D.3 [解析] 因为集合,,，， 所以 或. 若，则，此时,4, ，符合题意； 若，则，此时,2,，符合题意. 所以或 ，故选 . 课 中 探 究 20 （2）已知集合,,,，且，，，均为正数，则以， ， ， 为边长构成的四边形可能是( ) D A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 [解析] 根据集合中元素的互异性可知，构成的四边形的四条边的长度互不相等， 其中平行四边形、矩形和菱形对边的长度均相等，不符合要求， 梯形的四条边的长度可能互不相等，故构成的四边形可能为梯形.故选D. 课 中 探 究 21 变式 由实数,,,, 组成的集合最多有( ) B A.3个元素 B.2个元素 C.4个元素 D.5个元素 [解析] 当时， ，组成的集合中只有1个元 素0； 当时，,, ，组成的集合中只有2个元素， 即和； 当时，,, ，组成的集合中只有2个元素， 即和. 所以由实数,,,, 组成的集合最多有2个元素．故选B. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 集合中的元素应具有确定性、互异性和无序性，在解决与参数相关的问题时， 一定要确保参数的值满足集合中元素的互异性，否则应舍去. 课 中 探 究 23 探究点四 集合的表示法 例4 用适当的方法表示下列集合,并指明是无限集、有限集还是空集. （1）满足不等式 的解组成的集合; 解：由,得 ,则该不等式的解有无数个, 所以用描述法可以表示为 ,是无限集. （2）由方程 的实数解组成的集合; 解：因为,所以方程 不存在实数解,即该集合为 空集. 课 中 探 究 24 （3）由一次函数与 的图象的交点组成的集合； 解：由解得所以由一次函数与 的图 象的交点组成的集合为 ,是有限集. （4）不大于10的正偶数组成的集合. 解：不大于10的正偶数有有限个，可用列举法表示为，4，6，8, ，是有限集. 课 中 探 究 25 变式 用适当的方法表示下列集合. （1）大于2且小于6的自然数组成的集合 ； 解:大于2且小于6的自然数有3,4,5，所以集合可以表示为，4， . （2）方程 的所有解组成的集合； 解:方程的解为,，所以方程 的 所有解组成的集合可以表示为， . （3）大于4且不大于5的实数组成的集合. 解:大于4且不大于5的实数组成的集合可以表示为 . 课 中 探 究 26 ［素养小结］ （1）用列举法表示集合应注意： ①弄清集合中的元素是什么,是数还是点，还是其他元素. ②若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. （2）利用描述法表示集合应注意: ①写清楚该集合的代表元素. ②在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写. 课 中 探 究 27 1.集合概念的疑难点 （1）我们一定要从整体的角度去看待集合； （2）构成集合的对象必须是确定的且是不同的； （3）元素与集合的关系是“属于”或“不属于”； （4）不含任何元素的集合叫作空集，它也是一个集合. 2.用描述法表示集合应注意的问题 （1）一定要写清楚集合的代表元素，集合中元素的意义就取决于它的代表元素， 如和 表示不同的集合； （2）所有描述的内容都要写在花括号内，如“， ”不符合要求， 正确的写法应是“ ”. （3）对于连续型数集一般可以用区间来表示. 备 课 素 材 28 1.利用分类讨论的思想解决参数问题 对于求解集合中元素含参数的问题，一定要全面思考，通常需要利用分类讨论 的思想来解决. 例1（1） 已知集合,,，若，则实数 的值 为___． 1 [解析] 若，则，此时 ，不符合题意. 若，则或，当时， ，不符合题意； 当时，，符合题意.综上所述，实数 的值为1. 备 用 习 题 29 （2）已知关于的不等式的解集为，若且 ，则 的取值范围是____________. [解析] 依题意得解得 . 备 用 习 题 30 2.集合的新定义问题 新定义型集合的问题是近几年的热点类型，解决此类问题的方法是化归转化法, 就是在理解新定义的基础上，将陌生的问题熟悉化，然后用已掌握的知识和方 法求解. 备 用 习 题 31 例2 已知元有限集,,, , ，若 ，则称集合为“ 元和谐集”. （1）写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）. 解：不妨令，此时 ，满足要求. 备 用 习 题 32 （2）若正数集,是“二元和谐集”，试证明元素， 中至少有一个大于2. 证明:方法一：假设元素， 均小于或等于2. 因为,，所以可设 ， 由，两边同时除以得 ， 因为，所以，与 矛盾， 假设不成立，故元素， 中至少有一个大于2. 方法二：集合,是“二元和谐集”，设 ， 则,可以看成一元二次方程 的两个正根， 则，解得（舍）或，即 ， 所以, 中至少有一个大于2. 备 用 习 题 33 （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说 明理由. 解：设正整数集,, 为“三元和谐集”，则 . 不妨设，则，解得 ， 因为,，所以只有当, 时，满足要求. 综上所述， 满足要求，其他均不合要求， 故存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，该集合 . 备 用 习 题 34 $$