第1章 §1 1.1 第1课时 集合的概念（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　集　合 1．1　集合的概念与表示 第1课时　集合的概念 [对应学生用书P1] 学习目标 1.通过实例，了解集合与元素的含义，能够利用集合中元素的三个特性解决一些简单的问题． 2．理解元素与集合的属于关系(重点). 3．识记常见数集的表示符号． 一、集合的概念 1．集合的定义及表示 把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示． 2．元素的定义及表示 集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 3．集合中元素的特性 (1)确定性：集合中的元素是确定的； (2)互异性：一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复． (3)无序性：集合中元素是没有顺序的． (1)“指定对象”可以是人、物、数、符号等任何事物，有广泛性． (2)“全体”为整体、总体、全部等． 二、元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A (1)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． (2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合． 2．常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ “N＋(N*)”是所有正整数组成的集合，N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)如果小明的身高是1.78 m，那么他应该是由高个子学生组成的集合中的一个元素． (　×　) (2)方程x2－2x＋1＝0的解集中含有2个元素. (　×　) (3)0∈N*. (　×　) (4)改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍与原来的集合相等. (　√　) 2．下列给出的对象中，能组成集合的是 (　　) A．与定点A，B等距离的点 B．比较小的数 C．无限接近于0的数 D．非常长的河流 答案：A 3．设集合A只含有一个元素a，则下列表述正确的是 (　　) A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A 答案：C 4．用符号“∈”或“∉”填空． (1)1________N*；(2)－3________N；(3)____________Q； (4)π____________Q；(5)－________R. 答案：(1)∈　(2)∉　(3)∈　(4)∉　(5)∈ 探究一　集合的判断 [例1] (多选)下列各组对象能组成一个集合的是 (　　) A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D．2024年巴黎奥运会金牌获得者 BCD　解析：A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B，C，D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．故选BCD. 拓展·提升 1．集合中的元素是确定的，也是互不相同的． 2．判断一组对象能否组成集合的关键 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的其他性质． [练1] 判断下列每组对象能否组成一个集合： (1)我国的小城市； (2)某校2025年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数； (4)方程x2－9＝0在实数范围内的解． 解：(1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能组成一个集合． (2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是不是“高个子”无法客观地判断，不能组成集合． (3)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能组成集合． (4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3，3，能组成集合． 探究二　元素与集合关系的判断 [例2] (1)下列五个关系中，正确的个数为 (　　) ①∈R；②∉Q；③π∈Q；④|－3|∉N；⑤－∈Z. A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． [思路导引] (1)C　(2)2，1，0　解析：(1)由于∈R，－∈Z，是无理数，故①②⑤正确．因为π是无理数，|－3|＝3是自然数，所以③④错误．故选C. (2)由题意可得x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值可以为0，1，2.因此集合A中的元素为0，1，2. 拓展·提升 1．集合中的元素也可以是集合，如：“我校所有的班级”中的每个班级既是一个元素又是一个集合． 2．判断元素与集合的关系的方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可； (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. [练2] (1)设x∈N，且∈N，则x的值可能是 (　　) A．0 B．1 C．－1 D．0或1 (2)(多选)下列结论中，正确的是 (　　) A．若a∈N，则∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R (1)B　(2)BCD　解析：(1)∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A，D.故选B. (2)A不正确，反例：a＝1∈N，＝1∈N.故选BCD. 探究三　集合中元素特性的运用 [例3] (1)由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，含有元素的个数最多为 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 A　解析：∵＝|x|，－＝－|x|，∴当x＝0时，这几个实数均为0；当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A. (2)已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求实数a的值． 解：因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，所以舍去a＝－1； 当a＝－时，经检验，符合题意．故a＝－. [变式探究] 若将本例(2)中“－3∈A”改为0∈A，求实数a的值． 解：由0∈A得a－2＝0或2a2＋5a＝0，解得a＝2或a＝0或a＝－. 若a＝2，则A中有三个元素0，18，12，符合题意； 若a＝0，则A中有三个元素－2，0，12，符合题意； 若a＝－，则A中有三个元素－，0，12，符合题意，故a的值为2，0或－. 拓展·提升 根据集合中元素的特性求参数的步骤 [练3] 设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1). 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 证明：(1)若a∈A，则∈A. 又2∈A，所以＝－1∈A. 因为－1∈A，所以＝∈A. 因为∈A，所以＝2∈A. 根据集合中元素的互异性可知，A中必还有另外两个元素为－1，，结论得证． (2)若A为单元素集，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠，所以集合A不可能是单元素集． 特别提醒：与集合有关的问题求参数时，一定要注意元素的互异性，否则易出现错误． 1．下列各项中，不能组成集合的是 (　　) A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 C　解析：由集合元素的特性知C不能组成集合．故选C. 2．用“book”中的字母组成的集合中元素的个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 3个元素．故选C. 3．已知集合A由小于1的数组成，则有 (　　) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A C　解析：因为集合A由小于1的数组成，所以3∉A，1∉A，0∈A，－1∈A.故选C. 4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0的所有解组成的集合中共有________个元素． 答案：2　解析：由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$