5.3 二元一次方程组的应用（3）之方案选择，方案设计与最值问题 课时作业 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.3 二元一次方程组的应用（3） 课时作业 一、方案选择问题 1．（2025春•余姚市期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（1）为大棚，设计方案如图（2），要求两个大棚之间有间隔4m的路，已知每个大棚的周长为44m． （1）求每个大棚的长和宽各是多少？ （2）当面积超过100平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米60元，总价优惠500元；方案二：每平方米70元，总价优惠20%，试问选择哪种方案更优惠？说明理由． 2．（2025春•宝山区校级期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为40cm×35cm，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为40cm×10cm． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板 　　 块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板 　　 块和座板 　　 块． 方案二：裁切靠背板 　　 块和座板 　　 块． 方案三：裁切靠背板 　 块和座板 　　 块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 3．（2025春•晋江市期中）福清市龙翔教育基地是一所国防教育示范基地，被福建省科学技术协会、福建省委宣传部联合授予“福建省科普教育基地”称号．某中学七年级打算在五一期间前往该基地参加社会实践活动，组织部学生在老师的带领下，到某出租车公司商谈租车事宜．在商谈过程中，他们获得以下两个信息： 租车价格信息 出租车公司有A、B两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 记录单 A型车/辆 B型车/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 800 记录单2 3 2 1900 车型座位信息 已知A型客车每辆24个座位，B型客车每辆42个座位．经过调查研究，确定两种租车方案，方案一：全部租用A型客车，则全体人员刚好坐满；方案二：全部租用B型客车，则可以少租（比全部租用A型车）9辆，且剩余18个座位． 根据以上信息，完成下列任务． 任务： （1）根据“租车价格信息”，计算A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． （2）请根据“车型座位信息”，填写以下表格中的空格内容． 设方案二全部租用B型客车m辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用A型客车 24 0 全部租用B型客车 m 42 18 依上表，可列方程 　　 ，解得m＝ 　　 ，则七年级总人数为 　　 ． （3）根据以上信息，在上面两个方案中，确定费用最低的具体租车方案． 4．（2025春•槐荫区期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元． 素材2 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售． 问题解决 任务1 求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ 任务2 某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 5．（2024秋•太湖县期末）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； （2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？ 6．（2025春•江门期末）背景：随着全球气候变暖问题日益严重，低碳生活已经成为我们每个人的责任．碳足迹是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算碳足迹，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，并采取行动减少碳排放． 任务一：了解家庭“碳足迹”并计算下面出现的x和y的值． （1）家庭用电情况：记录家庭一个月的用电量，假设每消耗1千瓦时电产生0.6千克二氧化碳． （2）家庭用水情况：记录家庭一个月的用水量，假设每使用1立方米水产生x千克二氧化碳． （3）家庭用气情况：记录家庭一个月的用气量，假设每使用1立方米天然气产生2千克二氧化碳． （4）家庭出行情况：记录家庭一个月内乘坐汽车的里程数，假设每行驶1千米汽车产生y千克二氧化碳． 小强家今年4月份和5月份家庭活动及总碳足迹情况如表： 活动 时间 用电 （千瓦时） 用水 （立方米） 用气 （立方米） 出行 （千米） 总碳足迹 （千克） 4月份 90 30 7 200 145 5月份 120 30 10 500 244 （提示：总碳足迹＝用电碳足迹+用水碳足迹+用气碳足迹+出行碳足迹） 任务二：设计低碳生活行动方案 在任务一的条件下，通过计算，分析小强家庭4月份哪部分活动（用电、用水、用气、出行）的碳足迹最高？假设你是小强，你认为怎么做可以减少家庭的碳排量？ 二、方案设计问题 7．（2025春•秦皇岛期中）某商店卖甲种笔记本和乙种笔记本，若买1个甲种笔记本和2个乙种笔记本需要11元，买2个甲种笔记本和3个乙种笔记本需要18元． （1）求甲种笔记本和乙种笔记本的单价． （2）淇淇用35元买笔记本，两种笔记本都要买，钱正好用完，共有哪几种购买方案？ 8．（2025春•桐柏县期中）某经销商购进A，B两种农产品若干次，若每次进价不变，第一次购进A种农产品6件和B种农产品3件，购买总费用为780元；第二次购进A种农产品5件和B种农产品6件，购买总费用为1000元． （1）求A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ （2）若该经销商第三次购进A，B两种农产品，购买总费用为1600元，且A，B两种农产品都购买，只能购进整数件，请问这次购买有哪几种方案？说明理由． 9．（2024秋•兴庆区校级期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 （1）求商品A、B的标价； （2）若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 10．（2025春•温岭市期中）今年1月，商务部等5部门发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴实施方案》，个人消费者购买手机、平板、智能手表（手环）这3类数码产品，按产品销售价格的15%给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元，补贴会在支付金额里直接扣除． （1）购买原价4000元的某款手机，享受补贴后需支付 　　 元． （2）①小李在电商平台购买了甲款手机和乙款平板（手机原价比平板原价贵），享受补贴后共支付了4800元，若这两种产品原价之和为5600元，则它们的原价各是多少元？ ②该电商平台某旗舰店在3月13日当天销售上述甲款手机和乙款平板时（手机和平板都有售出），共补贴3300元，试求这两款产品当天的销量情况． 11．（2025春•北京期中）某中学为了贯彻落实北京市委办公厅《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的行动方案》，切实加强和改进新时代学校体育工作，决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元？ （2）学校计划采购一批篮球和足球（两种球都要买），恰好花费1600元，请问有哪几种购买方案？ 12．（2025春•九龙坡区期中）列方程解应用题． 今年春节期间，坐落于彩云湖畔的“彩云灯会”盛况空前，景区购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼销售，其进价如下： 类型 进价（元/个） 富贵牡丹 25 龙腾虎跃 35 （1）灯会第一天，景区共购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼共80个，进货款恰好为2300元．求这两种灯笼各购进多少个？ （2）为提升人气，第二天景区决定增加购入进价15元/个的吉祥如意灯笼，并推出促销方案：“买4个富贵牡丹灯笼送1个吉祥如意灯笼，买5个龙腾虎跃灯笼送2个吉祥如意灯笼．若进货款比第一天多了490元，第二天购进数量恰好满足促销方案，求三种灯笼各购进多少个？ 13．（2025春•江阴市期中）张老师在某文体店购买若干次商品A、B，其中第一、二次购买时，均按标价购买、两次购买商品A，B的数量和费用如表所示． 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 5 3 370 第二次购物 4 6 440 （1）求每件商品A，B的标价； （2）若张老师第三次购物时、商品A、B同时打6折出售，这次购买（A，B两种商品都购买）总费用为480元，求张老师有几种购买方案？ 14．（2025春•新华区校级期中）根据如表素材，探索完成任务． 背景 萧红中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决： （1）A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ （2）在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ （3）根据素材2，小明恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？ 15．（2025春•永康市期中）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 16．（2025春•海门区校级月考）某校九年级开展了主题为“科技改变生活”的科技知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A、B、C、D四种奖品，购买奖品的收据如表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖品 单价（元/件） 数量（件） 金额（元） A 50 4 200 B 25 C 18 D 8 12 合计 28 568 （1）购买D种奖品的金额为 　　 元； （2）求购买的B、C两种奖品的数量； （3）为在该校八年级同步推广此项活动，决定以上面的价格再购进B、C、D三种奖品各若干件，共计20件，总花费400元，请确定购买方案． 17．（2025•开福区校级二模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． （1）每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 18．（2025春•松江区期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售A、B两款足球．该商场3月份购进20个A款足球和40个B款足球共需4400元；4月份购进10个A款足球和30个B款足球共需花费3000元． 素材2 该商场决定5月份再购进一批A、B款足球（A、B两款足球都需要购买），另购进C款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个C款足球，买3个B款足球送2个C款足球． 问题解决 任务1 求该商场购进A款、B款足球的单价分别为多少元？ 任务2 如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进A、B、C款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 19．（2024秋•舒城县期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%． 购进的台数 购进所需要 的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 20．（2025春•扬州期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200mL的甲品牌消毒液和规格500mL的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． （1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； （2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000mL，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 三、最值问题 21．（2025春•博山区期末）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 （1）甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ （2）该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ （3）在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 22．（2024秋•尤溪县期末）“我在闽江源头有棵树”，某市黄花梨果大皮薄、果肉洁白、质地细腻、汁多味甜、富含维生素C，现欲将一批黄花梨运往外地销售，若用1辆A型车和2辆B型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆A型车和1辆B型车载满黄花梨一次可运走13吨．现有黄花梨32吨，计划同时租用A型、B型车，一次运完，且恰好每辆车都载满黄花梨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车载满黄花梨一次可分别运送多少吨？ （2）若1辆A型车的租金为200元/次，1辆B型车的租金为150元/次，请问有几种租车方案？选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费． 23．（2024秋•仁怀市期末）为加强学生的爱国主义教育，某校组织七年级（1）班和七年级（2）班的学生到娄山关景区进行红色研学．两个班级的师生共62人，其中七年级（1）班师生人数多于七年级（2）班师生人数，且七年级（1）班师生人数不足40人．据了解，娄山关景区针对师生的门票价格如下表所示： 门票/张 1～30 31～60 61张及以上 单价/元 20 18 16 已知若两班分别单独购买门票，则一共应付1170元． （1）七年级（1）班、（2）班各有多少名师生参加红色研学活动？ （2）在临近出发时，七年级（1）班有3名学生因故不能参加此次活动，那么他们有哪几种购票方案？哪种方案最省钱？ 参考答案 一、方案选择问题 1．（2025春•余姚市期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（1）为大棚，设计方案如图（2），要求两个大棚之间有间隔4m的路，已知每个大棚的周长为44m． （1）求每个大棚的长和宽各是多少？ （2）当面积超过100平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米60元，总价优惠500元；方案二：每平方米70元，总价优惠20%，试问选择哪种方案更优惠？说明理由． 解：（1）设每个大棚的长是a米，宽是b米， 根据题意得：， 解得：． 答：每个大棚的长是14米，宽是8米； （2）选择方案二更优惠，理由如下： 大棚的面积为14×8×2＝224（平方米）． 选择方案一所需费用为60×224﹣500＝12940（元）； 选择方案二所需费用为70×224×（1﹣20%）＝12544（元）． ∵12940＞12544， ∴选择方案二更优惠． 2．（2025春•宝山区校级期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为40cm×35cm，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为40cm×10cm． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板 　　 块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板 　　 块和座板 　　 块． 方案二：裁切靠背板 　　 块和座板 　　 块． 方案三：裁切靠背板 　 块和座板 　　 块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 解：任务一：（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板（50÷10）×（240÷40）＝30块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板m块，座板n块， 根据题意得：10m+35n＝240， ∴， ∵m，n为正整数， ∴.或或， ∴方案一：裁切靠背板23块和座板2块； 方案二：裁切靠背板16块和座板4块； 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； （3）设用x张板材裁切靠背16块和座板4块，用y张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， ∵34+94＝128张， ∴需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用x张板材裁切靠背23块和座板2块．用y张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， ∵17+111＝128张， ∴需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用x张板材裁切靠背23块和座板2块，用y张板材裁切靠背16块和座板4块，根 据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 3．（2025春•晋江市期中）福清市龙翔教育基地是一所国防教育示范基地，被福建省科学技术协会、福建省委宣传部联合授予“福建省科普教育基地”称号．某中学七年级打算在五一期间前往该基地参加社会实践活动，组织部学生在老师的带领下，到某出租车公司商谈租车事宜．在商谈过程中，他们获得以下两个信息： 租车价格信息 出租车公司有A、B两种车型可供选择，下表为该公司租车记录单的部分信息： 记录单 A型车/辆 B型车/辆 租金总费用/元 记录单1 1 1 800 记录单2 3 2 1900 车型座位信息 已知A型客车每辆24个座位，B型客车每辆42个座位．经过调查研究，确定两种租车方案，方案一：全部租用A型客车，则全体人员刚好坐满；方案二：全部租用B型客车，则可以少租（比全部租用A型车）9辆，且剩余18个座位． 根据以上信息，完成下列任务． 任务： （1）根据“租车价格信息”，计算A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元． （2）请根据“车型座位信息”，填写以下表格中的空格内容． 设方案二全部租用B型客车m辆，则可列表如下： 租用车辆数 每车座位数 剩余座位数 七年级总人数 全部租用A型客车 24 0 全部租用B型客车 m 42 18 依上表，可列方程 　　 ，解得m＝ 　　 ，则七年级总人数为 　　 ． （3）根据以上信息，在上面两个方案中，确定费用最低的具体租车方案． 解：（1）设A型号客车每辆的租金为x元，B型号客车每辆的租金为y元． 依题意，得 解得 答：A型号客车每辆的租金为300元，B型号客车每辆的租金为500元； （2）42m﹣18＝24（m+9）， 解得m＝13， 七年级总人数为24（m+9）＝528， 故答案为：42m﹣18＝24（m+9）；13；528； （3）方案一需要付的租金为300×（13+9）＝6600（元）； 方案二需要付的租金为500×13＝6500（元）． ∵6600＞6500， ∴费用最低的租车方案为全部租用B型客车13辆． 4．（2025春•槐荫区期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元． 素材2 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售． 问题解决 任务1 求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ 任务2 某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 解：（任务1）设3月份该商场购进A款足球x个，B款足球y个， 根据题意得：， 解得：． 答：3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个； （任务2）选择促销方案①所需费用为120×20+90×（10﹣20÷5）＝2940（元）； 选择促销方案②所需费用为（120×20+90×10）×0.9＝2970（元）， ∵2940＜2970， ∴选择促销方案①更合适． 5．（2024秋•太湖县期末）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． （1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； （2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？ 解：（1）解分三种情况计算： ①设购甲种电视机x台，乙种电视机y台． 解得． ②设购甲种电视机x台，丙种电视机z台． 则， 解得：． ③设购乙种电视机y台，丙种电视机z台． 则 解得：（不合题意，舍去）； （2）方案一：25×150+25×200＝8750． 方案二：35×150+15×250＝9000元． 答：购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台． 购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多． 6．（2025春•江门期末）背景：随着全球气候变暖问题日益严重，低碳生活已经成为我们每个人的责任．碳足迹是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算碳足迹，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，并采取行动减少碳排放． 任务一：了解家庭“碳足迹”并计算下面出现的x和y的值． （1）家庭用电情况：记录家庭一个月的用电量，假设每消耗1千瓦时电产生0.6千克二氧化碳． （2）家庭用水情况：记录家庭一个月的用水量，假设每使用1立方米水产生x千克二氧化碳． （3）家庭用气情况：记录家庭一个月的用气量，假设每使用1立方米天然气产生2千克二氧化碳． （4）家庭出行情况：记录家庭一个月内乘坐汽车的里程数，假设每行驶1千米汽车产生y千克二氧化碳． 小强家今年4月份和5月份家庭活动及总碳足迹情况如表： 活动 时间 用电 （千瓦时） 用水 （立方米） 用气 （立方米） 出行 （千米） 总碳足迹 （千克） 4月份 90 30 7 200 145 5月份 120 30 10 500 244 （提示：总碳足迹＝用电碳足迹+用水碳足迹+用气碳足迹+出行碳足迹） 任务二：设计低碳生活行动方案 在任务一的条件下，通过计算，分析小强家庭4月份哪部分活动（用电、用水、用气、出行）的碳足迹最高？假设你是小强，你认为怎么做可以减少家庭的碳排量？ 解：（任务一）根据题意得：， 解得：． 答：x的值为0.9，y的值为0.25； （任务二）小强家庭4月份用电的碳足迹为0.6×90＝54（千克）； 小强家庭4月份用水的碳足迹为0.9×30＝27（千克）； 小强家庭4月份用气的碳足迹为2×7＝14（千克 ）； 小强家庭4月份出行的碳足迹为0.25×200＝50（千克）． ∵54＞50＞27＞14， ∴小强家庭4月份用电的碳足迹最高，节约用电及绿色出行可以减少家庭的碳排量． 二、方案设计问题 7．（2025春•秦皇岛期中）某商店卖甲种笔记本和乙种笔记本，若买1个甲种笔记本和2个乙种笔记本需要11元，买2个甲种笔记本和3个乙种笔记本需要18元． （1）求甲种笔记本和乙种笔记本的单价． （2）淇淇用35元买笔记本，两种笔记本都要买，钱正好用完，共有哪几种购买方案？ 解：（1）设甲种笔记本单价为x元，乙种笔记本的单价为y元， 依题意得：， 解得， 即甲种笔记本单价为3元，乙种笔记本的单价为4元， 答：甲种笔记本单价为3元，乙种笔记本的单价为4元； （2）设购买甲种笔记本a本，乙种笔记本b本， ∴3a+4b＝35， ∵a，b为正整数， ∴分情况讨论： a＝1，b＝8， a＝5，b＝5， a＝9，b＝2， 答：共有3种购买方案：买甲种笔记本1本，乙种笔记本8本，买甲种笔记本5本，乙种笔记本5本，买甲种笔记本9本，乙种笔记本2本． 8．（2025春•桐柏县期中）某经销商购进A，B两种农产品若干次，若每次进价不变，第一次购进A种农产品6件和B种农产品3件，购买总费用为780元；第二次购进A种农产品5件和B种农产品6件，购买总费用为1000元． （1）求A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？ （2）若该经销商第三次购进A，B两种农产品，购买总费用为1600元，且A，B两种农产品都购买，只能购进整数件，请问这次购买有哪几种方案？说明理由． 解：（1）设A，B两种农产品每件的进价分别是x元，y元，根据“第一次购进A种农产品6件和B种农产品3件，购买总费用为780元；第二次购进A种农产品5件和B种农产品6件，购买总费用为1000元可得： ∴， ∴， 答：A，B两种农产品每件的进价分别是80元，100元； （2）设第三次购进A，B两种农产品各m件，n件， ∴80m+100n＝1600， ∴， ∴或或， ∴这次购买有3种方案，分别是：①购进A种农产品15件，B种农产品4件；②购进A种农产品10件，B种农产品8件；③购进A种农产品5件，B种农产品12件． 9．（2024秋•兴庆区校级期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 （1）求商品A、B的标价； （2）若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 解：（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个； （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B， 根据题意得：80×0.6m+100×0.6n＝960， ∴． 当n＝4时，m＝15；当n＝8时，m＝10；当n＝12时，m＝5． 答：张老师共有三种购买方案， 方案一：购买15个商品A，4个商品B； 方案二：购买10个商品A，8个商品B； 方案三：购买5个商品A，12个商品B． 10．（2025春•温岭市期中）今年1月，商务部等5部门发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴实施方案》，个人消费者购买手机、平板、智能手表（手环）这3类数码产品，按产品销售价格的15%给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元，补贴会在支付金额里直接扣除． （1）购买原价4000元的某款手机，享受补贴后需支付 　　 元． （2）①小李在电商平台购买了甲款手机和乙款平板（手机原价比平板原价贵），享受补贴后共支付了4800元，若这两种产品原价之和为5600元，则它们的原价各是多少元？ ②该电商平台某旗舰店在3月13日当天销售上述甲款手机和乙款平板时（手机和平板都有售出），共补贴3300元，试求这两款产品当天的销量情况． 解：（1）由题意可知，4000×15%＝600（元）＞500元，每件产品补贴最高不超过500元， ∴购买原价4000元的某款手机，享受补贴后需支付4000﹣500＝3500（元）， 故答案为：3500； （2）①由题意可知，5600﹣4800＝800（元）， ∴两件产品共补贴了800元，没有达到1000元， ∴甲款手机享受了最高补贴500元，乙款平板打8.5折， 设甲款手机原价x元，乙款平板原价y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲款手机原价3600元，乙款平板原价2000元； ②设这两款产品当天手机销量为m件，平板销量为n件， 由题意得：500m+2000×15%n＝3300， 整理得：n＝11﹣m， ∵m、n均为正整数， ∴或， 答：这两款产品当天甲款手机3件，乙款平板6件或甲款手机6件，乙款平板1件． 11．（2025春•北京期中）某中学为了贯彻落实北京市委办公厅《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的行动方案》，切实加强和改进新时代学校体育工作，决定购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用430元；购买3个篮球和5个足球共需费用690元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元？ （2）学校计划采购一批篮球和足球（两种球都要买），恰好花费1600元，请问有哪几种购买方案？ 解：（1）设篮球的购买单价为x元，足球的购买单价为y元． 根据题意列方程组得，， 解得 ， 答：篮球的单价为80元，足球的单价为90元； （2）设学校购买了m个篮球，n个足球， 根据题意列方程得，80m+90n＝1600， 整理得，＝20﹣， 因为m，n均为正整数， 所以或， 所以一共有2种购买方案：方案1，购买11个篮球和8个足球；方案2，购买2个篮球和16个足球． 12．（2025春•九龙坡区期中）列方程解应用题． 今年春节期间，坐落于彩云湖畔的“彩云灯会”盛况空前，景区购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼销售，其进价如下： 类型 进价（元/个） 富贵牡丹 25 龙腾虎跃 35 （1）灯会第一天，景区共购进富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼共80个，进货款恰好为2300元．求这两种灯笼各购进多少个？ （2）为提升人气，第二天景区决定增加购入进价15元/个的吉祥如意灯笼，并推出促销方案：“买4个富贵牡丹灯笼送1个吉祥如意灯笼，买5个龙腾虎跃灯笼送2个吉祥如意灯笼．若进货款比第一天多了490元，第二天购进数量恰好满足促销方案，求三种灯笼各购进多少个？ 解：（1）设富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进x个和y个， 依题意得：， 解得：， 答：富贵牡丹、龙腾虎跃两种手工灯笼各购进50个和30个； （2）设富贵牡丹购进4a个，龙腾虎跃购进5b个，则吉祥如意购进（a+2b）个， 由题意得：25×4a+35×5b+15×（a+2b）＝2300+490， 整理得：23a+41b＝558， ∵a，b均为正整数， ∴a＝10，b＝8， ∴4×10＝40（个）；5×8＝40（个）；10+2×8＝26（个）， 答：购进富贵牡丹灯笼40个，龙腾虎跃灯笼40个，吉祥如意灯笼26个． 13．（2025春•江阴市期中）张老师在某文体店购买若干次商品A、B，其中第一、二次购买时，均按标价购买、两次购买商品A，B的数量和费用如表所示． 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 5 3 370 第二次购物 4 6 440 （1）求每件商品A，B的标价； （2）若张老师第三次购物时、商品A、B同时打6折出售，这次购买（A，B两种商品都购买）总费用为480元，求张老师有几种购买方案？ 解：（1）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意可得 ， 解得， 答：每件商品A的标价为50元，每件商品B的标价为40元； （2）设购买商品Am 件，商品Bn 件，根据题意可得：50×0.6m+40×0.6n＝480， 解得：， ∴或或， 即有三种购买方案：①购买商品A12件，商品B5件；②购买商品A8件，商品B10件；③购买商品A4件，商品B15件． 14．（2025春•新华区校级期中）根据如表素材，探索完成任务． 背景 萧红中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决： （1）A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ （2）在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ （3）根据素材2，小明恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中B型加料的奶茶买了多少杯？ 解：任务1：A款奶茶和B款奶茶的销售单价分别为x元、y元， 由题意得：， 解得：， 答：A款奶茶和B款奶茶的销售单价分别为10元，12元； 任务2：设购买A种款式的奶茶与B种款式的奶茶分别为m杯、n杯， 由题意得：10m+12n＝220， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案； 任务3：设A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了（3a﹣a﹣b）杯，即（2a﹣b）杯， 由题意得：10a+12b+（12+2）（3a﹣a﹣b）＝380， 整理得：b＝19a﹣190， ∵a、b、3a﹣a﹣b均为整数， ∴或， ∴2a﹣b＝2×11﹣19＝3或2×10﹣0＝20（杯）， 答：B款加料的奶茶买了3杯或20杯． 15．（2025春•永康市期中）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 解：（1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 依题意，得， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运3t，1辆B型车载满货物一次可运4t； （2）由（1），得3a+4b＝31， ∴． ∵a，b都是正整数， ∴或或 ∴有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车5辆，B型车4辆； 方案三：A型车1辆，B型车7辆． 16．（2025春•海门区校级月考）某校九年级开展了主题为“科技改变生活”的科技知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A、B、C、D四种奖品，购买奖品的收据如表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖品 单价（元/件） 数量（件） 金额（元） A 50 4 200 B 25 C 18 D 8 12 合计 28 568 （1）购买D种奖品的金额为 　　 元； （2）求购买的B、C两种奖品的数量； （3）为在该校八年级同步推广此项活动，决定以上面的价格再购进B、C、D三种奖品各若干件，共计20件，总花费400元，请确定购买方案． 解：（1）12×8＝96（元）． 故答案为：96． （2）购买的B、C两种奖品的数量分别为x件、y件， ， 解得：， 答：购买的B、C两种奖品的数量分别为8件、4件． （3）设购进B奖品m件、C奖品n件、则D种奖品（20﹣n﹣m）件， 25m+18n+8（20﹣m﹣n）＝400， 整理得，17m+10n＝240， 解得：n＝， ∵m、n为正整数， ∴当m＝10时，n＝7，20﹣10﹣7＝3， 答：购进B奖品10件、C奖品7件、D种奖品3件． 17．（2025•开福区校级二模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． （1）每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 解：（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元． 由题意可得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为20万元，每辆B型汽车的进价为45万元． （2）设购进A型汽车m辆，B型汽车n辆． 由题意可得20m+45n＝400， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴m＝11，n＝4或m＝2，n＝8， ∴共两种购买方案，方案如下：方案一：购进A型汽车11辆，B型汽车4辆，方案二：购进A型汽车2辆，B型汽车8辆． 18．（2025春•松江区期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售A、B两款足球．该商场3月份购进20个A款足球和40个B款足球共需4400元；4月份购进10个A款足球和30个B款足球共需花费3000元． 素材2 该商场决定5月份再购进一批A、B款足球（A、B两款足球都需要购买），另购进C款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个C款足球，买3个B款足球送2个C款足球． 问题解决 任务1 求该商场购进A款、B款足球的单价分别为多少元？ 任务2 如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进A、B、C款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 解：任务1：该商场购进A款为x元、B款足球的单价为y元， 根据题意列方程组得，， 解得， 答：该商场购进A款为60元、B款足球的单价为80元； 任务2：设5月该商场购进A款足球3a个、B款足球3b个， 根据促销方案：买3个A款足球送1个C款足球，买3个B款足球送2个C款足球， ∵5月商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案， ∴购进C款足球（a+2b）个． 根据题意列方程得60×3a+80×3b+20×（a+2b）＝4800， 化简得，5a+7b＝120． ∵A、B两款足球都需要购买，a、b均为正整数， 解得，，， 答：方案1该商场购进A款足球为51个、B款足球为15个、C款足球为27个； 方案2该商场购进A款足球为30个、B款足球为30个、C款足球为30个； 方案3该商场购进A款足球为9个、B款足球为45个、C款足球为33个． 19．（2024秋•舒城县期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%． 购进的台数 购进所需要 的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 （1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ （2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 解：（1）设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元； （2）①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得：， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：200（1+30%）＝260（元），B型台灯的价格为：50（1+20%）＝60（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯B台， 由题意得：（340﹣260）a+（120﹣60）b＝1000， 整理得：4a+3b＝50， ∵a、b为自然数， ∴或或或， ∴有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 20．（2025春•扬州期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格200mL的甲品牌消毒液和规格500mL的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． （1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； （2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共4000mL，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案． 解：（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 由题意可得， ， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，则由题意可得， 200m+500n＝4000， 整理得，， 当n＝2时，， 当n＝4时，， 当n＝6时，， ∴方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液． 三、最值问题 21．（2025春•博山区期末）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量（吨） 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 （1）甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？ （2）该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？ （3）在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？ 解：（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨， 依题意有：， 解得：， 答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨； （2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆， 依题意有：4m+3n＝45， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴或 或， ∴共有3种租车方案， 方案1：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车； 方案3：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车． （3）方案1所需费用：300×9+200×3＝3300（元）； 方案2所需费用：300×6+200×7＝3200（元）； 方案3所需费用：300×3+200×11＝3100（元）． ∵3300＞3200＞3100， ∴方案3所需费用最少，最少费用是3100元． 22．（2024秋•尤溪县期末）“我在闽江源头有棵树”，某市黄花梨果大皮薄、果肉洁白、质地细腻、汁多味甜、富含维生素C，现欲将一批黄花梨运往外地销售，若用1辆A型车和2辆B型车载满黄花梨一次可运走11吨；用2辆A型车和1辆B型车载满黄花梨一次可运走13吨．现有黄花梨32吨，计划同时租用A型、B型车，一次运完，且恰好每辆车都载满黄花梨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车载满黄花梨一次可分别运送多少吨？ （2）若1辆A型车的租金为200元/次，1辆B型车的租金为150元/次，请问有几种租车方案？选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费． 解：（1）设1辆A型车载满黄花梨一次可运送x吨，1辆B型车载满黄花梨一次可运送y吨， ， 解得：， 答：1辆A型车载满黄花梨一次可运送5吨，1辆B型车载满黄花梨一次可运送3吨． （2）设租用A车a辆，B车b辆， 由题意可得，5a+3b＝32， ∵a，b都是正整数， ∴或， ∴一共有2种租车方案， 方案一：租A型车1辆，B型车9辆，租金为：1×200+9×150＝1550（元）， 方案二：租A型车4辆，B型车4辆，租金为：4×200+4×150＝1400（元）． 最省钱的方案是：方案二：租A型车4辆，B型车4辆，最少租车费为1400元． 23．（2024秋•仁怀市期末）为加强学生的爱国主义教育，某校组织七年级（1）班和七年级（2）班的学生到娄山关景区进行红色研学．两个班级的师生共62人，其中七年级（1）班师生人数多于七年级（2）班师生人数，且七年级（1）班师生人数不足40人．据了解，娄山关景区针对师生的门票价格如下表所示： 门票/张 1～30 31～60 61张及以上 单价/元 20 18 16 已知若两班分别单独购买门票，则一共应付1170元． （1）七年级（1）班、（2）班各有多少名师生参加红色研学活动？ （2）在临近出发时，七年级（1）班有3名学生因故不能参加此次活动，那么他们有哪几种购票方案？哪种方案最省钱？ 解：（1）设七年级（1）班有师生x人．根据题意得： 18x+20×（62﹣x）＝1170， ∴x＝35． 62﹣35＝27（人）， 答：七年级（1）班有35人，七年级（2）班有27人； （2）方案一：各自购买门票需32×18+27×20＝1116（元）； 方案二：联合购买59张门票需（32+27）×18＝1062（元）； 方案三：联合购买61张门票需61×16＝976（元）； 故有3中购买方案： 方案一：各自购买门票； 方案二：联合购买59张门票； 方案三：联合购买61张门票； 联合购买61张门票最省钱． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$