课时梯级训练(26) 指数函数的性质和应用（Word练习）-【优化指导】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(26)　指数函数的性质和应用 1．函数y＝ax在区间[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在区间[0，1]上的最大值是 (　　) A．6 B．1 C．3 D． C　解析：函数y＝ax在区间[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在区间[0，1]上是增函数，当x＝1时，ymax＝3.故选C. 2．若π2m-1>π3-m，则实数m的取值范围是 (　　) A．(4，＋∞) B．(，＋∞) C．(－∞，4) D．(－∞，) B　解析：∵y＝πx在R上为增函数，且π2m-1>π3-m，∴2m－1>3－m，解得m>.故选B. 3．函数f(x)＝＋的定义域是 (　　) A．[2，4) B．[2，4)∪(4，＋∞) C．(2，4)∪(4，＋∞) D．[2，＋∞) B　解析：依题意有 解得x∈[2，4)∪(4，＋∞).故选B. 4．若函数f(x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，) B．(，＋∞) C．(，1)∪(1，＋∞) D．(，1) A　解析：因为底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a-1)x+3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是(－∞，).故选A. 5．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则 (　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3) AD　解析：由f(2)＝a-2＝4，得a＝，即f(x)＝()－|x|＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以A，D正确．故选AD. 6．(多选)若函数f(x)＝3x＋1，则 (　　) A．f(x)在区间[－1，1]上单调递增 B．y＝3x＋1与y＝()x＋1的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象过点(0，1) D．f(x)的值域为[1，＋∞) AB　解析：f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选AB. 7．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________． 答案：(1，＋∞)　解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a， ∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1. 8．函数f(x)＝2x-3(1<x≤5)的值域是________． 答案：(，4]　解析：因为1<x≤5，所以－2<x－3≤2.因为函数f(x)＝2x-3在其定义域上是增函数，所以<f(x)≤4，即所求函数的值域为(，4]. 9．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值． 解：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2， 所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去).综上所述，a＝或. 10．若函数f(x)＝a|x+1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是 (　　) A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1) C．f(－4)<f(1) D．不能确定 A　解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x+1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1. 由函数f(x)＝a|x+1|在区间(－1，＋∞)上单调递增，且它的图象关于直线x＝－1对称，可得函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减． 再由f(1)＝f(－3)，可得f(－4)>f(1).故选A. 11．y＝的定义域为________，值域为________． 答案：(－∞，0]　[0，1)　解析：要使函数式有意义，需使1－3x≥0，即3x≤1＝30.因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]. 因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1， 所以∈[0，1)，即函数y＝的值域为[0，1). 12．已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数． (1)求a的值； (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)； (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－. (2)由(1)知f(x)＝－＋， 故f(x)在R上为减函数． (3)∵f(x)为奇函数， ∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)<f(k－2t2). 由(2)知f(x)在R上单调递减， ∴t2－2t>k－2t2， 即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立， ∴Δ＝4＋12k<0，得k<－， ∴k的取值范围是(－∞，－). 13．若3m＋2－n≥3n＋2－m，则 (　　) A．m＋n≥0 B．m＋n≤0 C．m－n≥0 D．m－n≤0 C　解析：3m＋2－n≥3n＋2－m⇒3m－2－m≥3n－2－n. 又f(x)＝3x－2－x是增函数，f(m)≥f(n)， 所以m≥n，即m－n≥0.故选C. 14．已知函数f(x)＝bax(其中a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过A(1，6)，B(2，18)两点．若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________． 答案：　解析：由已知可得解得 则不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立． 设g(x)＝()x＋()x－m， 显然函数g(x)＝()x＋()x－m在区间(－∞，1]上单调递减， ∴g(x)≥g(1)＝＋－m＝－m， 故－m≥0，即m≤， ∴实数m的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$