课时梯级训练(14) 一元二次不等式及其解法（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(14)　一元二次不等式及其解法 1．不等式x2<4x的解集为 (　　) A．{x|0<x<4} B．{x|x<4} C．{x|0<x<2} D．{x|x<2} A　解析：不等式x2<4x可化为x2－4x<0，∴x(x－4)<0，解得0<x<4， 即不等式x2<4x的解集为{x|0<x<4}．故选A. 2．不等式(x－1)2＜x＋5的解集为 (　　) A．{x|1＜x＜4} B．{x|－1＜x＜4} C．{x|－4＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3} B　解析：原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)(x－4)＜0，故其解集为{x|－1＜x＜4}．故选B. 3．已知不等式x2＋ax＋b＜0的解集是{x|－2＜x＜4}，则a＋b＝ (　　) A．－10 B．－6 C．0 D．2 A　解析：因为不等式x2＋ax＋b＜0的解集是{x|－2＜x＜4}，所以x2＋ax＋b＝0的两根为－2，4，则即 所以a＋b＝－10.故选A. 4．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为 (　　) A　解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，所以所以 所以y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋ax－2a＝a(x2＋x－2)，且其图象开口向下，两个零点为－2，1.只有选项A中图象符合．故选A. 5．(多选)不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，则下列结论正确的是 (　　) A．a＋b＝0 B．a＋b＋c>0 C．c>0 D．b<0 ABC　解析：因为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}， 所以a<0，且所以 所以a＋b＝0，c>0，b>0， 故AC正确，D错误． 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点为－1，2，且图象开口向下， 所以当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故B正确． 故选ABC. 6．(多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－8x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是 (　　) A．13 B．14 C．15 D．17 ABC　解析：设二次函数y＝x2－8x＋a，图象开口向上，其对称轴为直线x＝4， 因为一元二次不等式x2－8x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以3个整数解必然是3，4，5，所以根据对称性，满足当x＝2时，y＝4－16＋a>0且当x＝3时，y＝9－24＋a≤0， 解得12<a≤15， 所以整数a＝13，14，15.故选ABC. 7．设k为实数，若关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0没有实数根，则k的取值范围是________． 答案：(2－2，2＋2)　解析：∵关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0没有实数根， ∴Δ＝k2－4(k＋1)<0，∴k2－4k－4<0， 解得2－2<k<2＋2. 8．已知4x2－5x－6＜0，化简＋|x＋1|＝________． 答案：4　解析：解不等式4x2－5x－6＜0，得－＜x＜2. ∴＋|x＋1|＝＋|x＋1|＝3－x＋x＋1＝4. 9．解不等式－6<x2－5x<24. 解：原不等式等价于 所以 即或 故原不等式的解集为{x|－3<x<2或3<x<8}． 10．若关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为{x|<x<2}，则m的取值范围是 (　　) A．{m|m>0} B．{m|0<m<2} C．{m|m>} D．{m|m<0} D　解析：因为不等式的解集为{x|<x<2}，所以二次项的系数小于0，即m<0.故选D. 11．已知a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＜0的解集是________．(用区间表示) 答案：(5a，－a)　解析：因为x2－4ax－5a2＜0，所以(x－5a)(x＋a)＜0，又a＜0，所以不等式x2－4ax－5a2＜0的解集为(5a，－a). 12．已知函数f(x)＝x2－(3a＋1)x＋b(a，b∈R). (1)当b＝－5时，关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋b＞0的解集为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，求实数a的值； (2)当b＝2a2＋a时，求关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋b＜0的解集(结果用a表示). 解：(1)当b＝－5时，关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋b＞0的解集为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，所以x2－(3a＋1)x＋b＝0的根为－1和5， 可得解得a＝1. (2)当b＝2a2＋a时，不等式x2－(3a＋1)x＋b＜0可化为不等式x2－(3a＋1)x＋2a2＋a＜0， 即(x－a)[x－(2a＋1)]＜0. ①当a＞－1时，a＜2a＋1，此时不等式的解集为(a，2a＋1)； ②当a＝－1时，a＝2a＋1，此时不等式的解集为∅； ③当a＜－1时，a＞2a＋1，此时不等式的解集为(2a＋1，a). 13．解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R). 解：因为Δ＝4a2－8，当Δ＜0，即－＜a＜时，原不等式对应的方程无实根．又一元二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根． 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}； 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}． 当Δ＞0，即a＞或a＜－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 综上所述，当－＜a＜时，原不等式的解集为∅； 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}； 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当a＞或a＜－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 14．已知a>0，b>0，且满足a2＋4b2＝6ab＋λ. (1)当λ＝－1时，求a＋2b的最小值； (2)若λ>0，求的取值范围． 解：(1)当λ＝－1时，a2＋4b2＝6ab－1， 即(a＋2b)2＝10ab－1， 即(a＋2b)2＋1＝5a·2b≤5()2， 令t＝a＋2b>0，则t2＋1≤5()2， 即t2≥1，所以t≥2. 当且仅当a＝2b＝1，即时，t＝a＋2b取到最小值2. (2)若λ>0，则λ＝a2＋4b2－6ab>0， 即1＋4()2－6()>0. 令μ＝>0，则4μ2－6μ＋1>0， 解得0<μ<或μ>， 即{|0<<或>}． 学科网（北京）股份有限公司 $$