课时梯级训练(9) 全称量词命题与存在量词命题的否定（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(9)　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．命题“负数的平方是正数”的否定是 (　　) A．负数的平方不是正数 B．有些负数的平方是正数 C．所有负数的平方是正数 D．有些负数的平方不是正数 D　解析：该命题为省略了全称量词的全称量词命题，故其否定为有些负数的平方不是正数．故选D. 2．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则p的否定是 (　　) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 C　解析：命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．故选C. 3．(2025·临沂高一期末检测)命题“∃x∈R，x2＋5x＋2<0”的否定为 (　　) A．∀x∈R，x2＋5x＋2<0 B．∃x∈R，x2＋5x＋2≤0 C．∀x∈R，x2＋5x＋2≥0 D．∃x∈R，x2＋5x＋2≥0 C　解析：由存在量词命题的否定知，原命题的否定为∀x∈R，x2＋5x＋2≥0.故选C. 4．若命题“∃x∈R，x2＋1≤m”是假命题，则实数m的取值范围是 (　　) A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) B　解析：若命题“∃x∈R，x2＋1≤m”是假命题，则“∀x∈R，x2＋1>m”为真命题． 又对于函数y＝x2＋1，当x＝0时，取到最小值1，所以m＜1恒成立， 故实数m的取值范围是(－∞，1).故选B. 5．(多选)已知命题p：∀x∈R，x2－4x＋5＞0，则 (　　) A．p为全称量词命题 B．p为存在量词命题 C．p为真命题 D．p的否定是“∃x∈R，x2－4x＋5≤0” ACD　解析：选项A，命题p含有全称量词“∀”，所以p为全称量词命题，故A正确，B错误； 选项C，∀x∈R，x2－4x＋5＝(x－2)2＋1＞0恒成立，p为真命题，故C正确； 选项D，命题p的否定是存在量词命题，即“∃x∈R，x2－4x＋5≤0”，故D正确． 故选ACD. 6．若集合M＝{－1，1，3，5}，N＝{－3，1，5}，给出下列命题： ①∀x∈N，x∈M；②∃x∈N，x∈M；③M∩N＝{1，5}；④M∪N＝{－3，－1，3}． 其中正确的是________．(填序号) 答案：②③　解析：集合M＝{－1，1，3，5}，N＝{－3，1，5}， N中的－3不是M中的元素，故①不正确； N中的1，5是M中的元素，故②正确； M∩N＝{－1，1，3，5}∩{－3，1，5}＝{1，5}，故③正确； M∪N＝{－1，1，3，5}∪{－3，1，5}＝{－3，－1，1，3，5}，故④不正确． 7．命题“∃x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 答案：[－2，2]　解析：“∃x∈R，2x2－3ax＋9＜0”为假命题， 则其否定“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题， ∴Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0， ∴－2≤a≤2. 8．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)对任意x∈R，x2－x＋≥0； (2)所有的正方形都是矩形； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)存在x∈R，x2－x＋＜0，假命题． (2)至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)对任意x∈R，x3＋1≠0，假命题． 9．已知命题p：∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0，若命题p是假命题，则a的取值范围为 (　　) A．{a|1≤a≤3} B．{a|－1≤a≤3} C．{a|1<a<3} D．{a|0≤a≤2} B　解析：由题意，命题p：∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0是假命题，则其否定：∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0为真命题，即Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.故选B. 10．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2；命题q：∃x∈R，x2＋2ax－(a－2)＝0，若命题p，q恰好一个为真，一个为假，则a的取值范围为___________________________. 答案：{a|－2<a<1或a>1}　解析：当x∈[1，2]时，x2∈[1，4]，若命题p为真，则a≤1， 命题q为真时，Δ＝4a2＋4(a－2)≥0，解得a≤－2，或a≥1， p真q假，则－2<a<1，p假q真，则a>1. 综上，a的取值范围是{a|－2<a<1或a>1}． 11．已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5＞0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 解：因为p的否定为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5＞0为真命题，m＋x2－2x＋5＞0可化为m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m＞－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可，故实数m的取值范围为{m|m＞－4}． 12．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？____________．(填“是”“否”中的一种) 答案：是　解析：∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”． 而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题， 则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题． ∴两位同学题中m的取值范围是一致的． 13．已知命题p：∀x∈R，x2－2mx－3m＞0成立；命题q：∃x∈R，x2＋4mx＋1＜0成立． (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p真q假，求实数m的取值范围． 解：(1)因为命题p：∀x∈R，x2－2mx－3m＞0为真命题， 所以x2－2mx－3m＞0在R上恒成立，则判别式Δ＝(－2m)2－4×(－3m)<0， 即m2＋3m<0⇔m(m＋3)<0，解得－3<m<0. 所以实数m的取值范围为(－3，0). (2)由(1)知命题p为真命题时，m的取值范围为(－3，0). 当命题q：∃x∈R，x2＋4mx＋1＜0为真命题时，不等式x2＋4mx＋1＜0有解． 则判别式Δ＝(4m)2－4×1>0，即4m2－1>0⇔(2m－1)(2m＋1)>0，解得m<－，或m>. 则命题q为假命题时， －≤m≤，即m∈. 故命题p真q假时， m满足(－3，0)∩[－，]＝. 所以实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$