第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

1．已知命题p∶∀x∈R，x2＝5，则该命题的否定是(　　) A．∀x∉R，x2＝5 B．∀x∈R，x2≠5 C．∃x∈R，x2＝5 D．∃x∈R，x2≠5 答案：D 2．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋＞0，则綈p为(　　) A．∀x∈R，x2－x＋≤0 B．∃x∈R，x2－x＋≤0 C．∃x∈R，x2－x＋＞0 D．∀x∈R，x2－x＋≥0 答案：B 3．设x∈Z, 集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(　　) A．綈p：∀x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉B C．綈p：∃x0∉A,2x∈B D．綈p：∃x0∈A,2x∉B 答案：D 4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为(　　) A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和 D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和 解析：D　[哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”．] 5．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R，x－x0＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x0＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 解析：AC　[命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D为真命题．故排除D.AC正确．] 6．(多选)下列四个命题中，是真命题的有(　　) A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C．1＋1<2 D．至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数 解析：ABD　[A.该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题；B.显然为真命题；C.显然不成立，为假命题；D.取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．] 7．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是　________　. 解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a的取值范围是{a|a≤3}． 答案：{a|a≤3} 8．已知命题p：任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋a2＞0.若命题p是假命题，则实数a的取值集合是　________　. 解析：若命题p为真命题， 则Δ＝a2－4a2＜0， ∴a≠0，所以当p为假命题时，实数a的取值集合为{0}． 答案：{0} 9．已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是　______　，若p(1)是真命题，p(2)是假命题，则实数m的取值范围是　________　. 解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8，故实数m的取值范围是[3,8)；若p(1)是真命题，p(2)是假命题，则 解得∴无解． 答案：[3,8)　∅ 10．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：∀x∈R，x2＋2x＋1≥0； (2)q：所有的正三角形都是等腰三角形； (3)r：∃x∈R，使x2＋1≤0； (4)s：至少有一个实数x∈{x|x＝3k，k∈N}，x为质数． 解：说明一个命题是假命题只需举出一个反例即可． (1)綈p：∃x∈R，x2＋2x＋1＜0，是假命题． ∵∀x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0恒成立， ∴綈p是假命题． (2)綈p：至少存在一个正三角形不是等腰三角形，是假命题． (3)綈r：∀x∈R，x2＋1＞0，是真命题． ∵∀x∈R，x2＋1≥1＞0恒成立， ∴綈r是真命题． (4)綈s：∀x∈{x|x＝3k，k∈N}，x都不是质数． ∵当k＝1时，x＝3，是质数， ∴綈s是假命题． 11．命题p是“对某些实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a、b是常数． (1)写出命题p的否定； (2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？ 解：(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b＞0. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组 的解集不为空集，通过画数轴(图略)可看出，a、b应满足的条件是b＜a. 12．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题p，q都是真命题，求实数a的取值范围． 解：由p为真命题，a≤x2对∀x∈[1,2]恒成立， 得a≤1；① 由q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根， 得Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即a≥1或a≤－2.② 对①②求交集，可得{a|a≤－2，或a＝1}． 综上，所求实数a的取值范围为{a|a≤－2，或a＝1} 13．已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对任意x∈R恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可，故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m＞－4. (2)不等式m－f(x0)＞0可化为m＞f(x0)．若存在一个实数x0，使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x)min，又f(x)＝(x－1)2＋4，则f(x)min＝4，所以m＞4. 所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)． 14．在①p为真命题，且q为假命题；②p为假命题，且q为真命题；③p为假命题，且q为假命题．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题． 已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋a≥0，命题q∶∃x∈R，x2＋x＋2a－1＝0，若　________　，求实数a的取值范围． 解：方案一：选条件①. x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，若p是真命题， 则a－1≥0，即a≥1.若q为假命题， 则Δ＝1－4(2a－1)＝5－8a＜0，即a＞， 综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)． 方案二：选条件②. x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，若p是假命题， 则a－1＜0，即a＜1.若q为真命题， 则Δ＝1－4(2a－1)＝5－8a≥0，即a≤. 综上，实数a的取值范围是. 方案三：选条件③. x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，若p是假命题， 则a－1＜0，即a＜1.若q为假命题， 则Δ＝1－4(2a－1)＝5－8a＜0，即a＞. 综上，实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$