课时梯级训练(7) 充要条件（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(7)　充要条件 1. “两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形三边成比例”，即充分性成立；反之，由“两个三角形三边成比例”可得到“两个三角形相似”，即必要性成立．所以“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的充要条件．故选C. 2．“x<9”是“x<6”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：取x＝8满足x<9，不满足x<6，充分性不成立； 当x<6时，x<9一定成立，必要性成立． 故“x<9”是“x<6”的必要不充分条件．故选B. 3．(2025·衡阳高一期末检测)使不等式x＞1成立的一个充分不必要条件是 (　　) A．2<x<3 B．x>0 C．－2<x<5 D．x>1 A　解析：不等式x＞1成立的一个充分不必要条件是2<x<3； x>0是x>1的必要不充分条件； －2<x<5是x>1的既不充分也不必要条件； x>1是x>1的充要条件．故选A. 4．已知a＞0，设p：－a≤x≤3a，q：－1＜x＜6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 (　　) A．{a|1＜a＜2} B．{a|1≤a≤2} C．{a|0＜a＜1} D．{a|0＜a≤2} C　解析：因为p是q的充分不必要条件， 所以解得0<a<1.故选C. 5．(多选)下列说法正确的有 (　　) A．“ab＝0”是“a2＋＝0”的充要条件 B．“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件 C．“x＝2，或x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的充要条件 D．“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件 BC　解析：对于A，当ab＝0时，a＝0，或b＝0，所以“ab＝0”不能推出“a2＋＝0”，A错误；对于B，“x>1”能推出“x2>1”，若x＝－2，则x2>1，但－2<1，所以“x2>1”不能推出“x>1”，B正确；对于C，x2＋x－6＝0的实数根为x1＝2，x2＝－3，C正确；对于D，当a＝－2，b＝－1时，a2>b2，但a<b，所以“a2>b2”不能推出“a>b”，D错误．故选BC. 6．(多选)下列各项中，p是q的充要条件的是 (　　) A．p：m＜－2，或m＞6，q：方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根 B．p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0 C．p：两个三角形相似，q：两个三角形全等 D．p：A∩B＝A，q：A⊆B AD　解析：A选项，若m＜－2，或m＞6，则方程的判别式Δ＝m2－4m－12＝(m－6)(m＋2)＞0，得方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，则p⇒q；若方程x2＋mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝m2－4m－12＝(m－6)(m＋2)＞0，所以m＜－2，或m＞6，则q⇒p.故p是q的充要条件，故A正确．B选项，若x－3＝0，则x＝3，得(x－2)(x－3)＝0，则p⇒q；若(x－2)(x－3)＝0，则x＝3，或x＝2，则由q不能得到p.故p是q的充分不必要条件，故B错误．C选项，由两个三角形相似不能得到两个三角形全等，而由两个三角形全等可以得到两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件，故C错误．D选项，由A∩B＝A，可得A⊆B，则p⇒q；由A⊆B，可得A∩B＝A，则q⇒p.故p是q的充要条件，故D正确．故选AD. 7．(2025·衡阳高一期末检测)设计如图所示的电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，A是B的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：充分不必要　解析：开关S1闭合灯就会亮；而灯泡L亮时，不一定是S1闭合，也可能是开关S2闭合．所以A是B的充分不必要条件． 8．写出“实数x，y满足条件x＋y≥0”的一个充分不必要条件：____________________． 答案：x＝0，y＝2(答案不唯一)　解析：根据充分不必要条件的定义，只需找出一组满足不等式的值即可，不妨令x＝0，y＝2，而x＋y≥0不能推出该组值，故符合要求． 9．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集． 解：(1)因为p⇔q，所以p是q的充要条件． (2)⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此p q，所以p不是q的充要条件． (3)取A＝{1，2}，B＝{3}，显然，A∩B＝∅，但A与B均不为空集，因此，p q，所以p不是q的充要条件． 10．(2025·滨州高一期末检测)“ab>0”是“a＋b>0”的 (　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 D　解析：因为ab>0，所以a>0，b>0，或a<0，b<0，则a＋b>0，或a＋b<0，故充分性不成立， 若a＝－1，b＝2，满足a＋b>0，但不满足ab>0，必要性不成立． 故“ab>0”是“a＋b>0”的既不充分也不必要条件．故选D. 11．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可以为________． 答案：a≤9　6≤a≤9(答案不唯一)　解析：A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}． 若A＝∅，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6； 若A≠∅，则A⊆B⇔解得6≤a≤9. 综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可以为6≤a≤9. 12．给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要．请从中选择一个补充到下面的横线上并解答． 已知集合P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，是否存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的________条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：若选择①，即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则PS且S≠∅， 所以等号不能同时成立，解得m≥3， 当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4}，PS成立， 因此，实数m的取值范围是{m|m≥3}． 若选择②，即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则SP，当S＝∅时，则1－m＞1＋m，解得m＜0；当S≠∅时， 则等号不能同时成立，解得m＝0. 综上，m的取值范围为{m|m≤0}． 若选择③，即“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，即无解， 故不存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件． 13．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2， 所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0， 即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立． 所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．故选C. 14．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0. ①必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. ②充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$