阶段质量检测(1) 第1章 预备知识（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

阶段质量检测(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“∃x>1，x2－x>0”的否定是 (　　) A．∃x≤1，x2－x>0 B．∀x>1，x2－x≤0 C．∃x>1，x2－x≤0 D．∀x≤1，x2－x>0 B　解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“∃”改成量词“∀”，再将结论否定，所以该命题的否定是“∀x>1，x2－x≤0”．故选B. 2．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A满足∁UA＝{2，5}，则 (　　) A．1∈A B．2∈A C．3∉A D．4∉A A　解析：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，∁UA＝{2，5}， ∴A＝{1，3，4}，只有选项A正确．故选A. 3．已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，－3∈A，则a＝ (　　) A．－1 B．－3或1 C．3 D．－3 D　解析：因为－3∈A， 所以－3＝a2＋4a或－3＝a－2. 若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3. 当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当a＝－3时，集合A＝{12，－3，－5}，故a＝－3满足题意． 若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去． 综上所述，a＝－3.故选D. 4．(2025·南昌高一期末检测)不等式(3x＋5)(2x－3)≤0的解集是 (　　) A．{x|－≤x≤} B．{x|x≤－或x≥} C．{x|－≤x≤} D．{x|x≤－或x≥} C　解析：由(3x＋5)(2x－3)≤0，得－≤x≤.故选C. 5．设a，b∈R，则“a<b<0”是“>”的 (　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A　解析：因为－＝， 所以当a<b<0时，ab>0，b－a>0， 所以－＝>0，即>， 当>时，取a＝1，b＝－1，得不到a<b<0， 所以“a<b<0”是“>”的充分不必要条件． 故选A. 6．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为 (　　) A．9 B．18 C．36 D．81 A　解析：因为x>0，y>0，x＋y＝18， 所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时等号成立．即的最大值是9.故选A. 7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 (　　) A．(－3，0) B．(－3，3) C．(0，3) D．(－3，5) B　解析：因为－4＜β＜2，则0≤|β|＜4， 所以－4＜－|β|≤0. 又因为1＜α＜3，所以－3＜α－|β|＜3.故选B. 8．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为 (　　) A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1＜a＜4} C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1} A　解析：由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a，该不等式在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0， ∴－1≤a≤4.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知b＜a＜0，则下列选项正确的是 (　　) A．a2＞b2 B．a＋b＜ab C．|a|＜|b| D．ab＞b2 BC　解析：∵b＜a＜0， ∴b2＞a2，a＋b＜0，ab＞0， ∴a＋b＜ab，A错误，B正确； |a|＜|b|，C正确； 不等式b＜a＜0两边同乘b得ab＜b2，故D错误．故选BC. 10．(2025·南京高一期末检测)下列命题不正确的是 (　　) A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 BC　解析：对于A，a>1⇒<1，而有<1，不一定有a>1，如a＝－1，故“a>1”是“<1”的充分不必要条件，A正确； 对于B，命题“任意x<1，都有x2<1”是全称量词命题，其否定是“存在x<1，使得x2≥1”，B错误； 对于C，因为x≥2且y≥2成立，x2＋y2≥8必成立，即“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分条件，C错误； 对于D，当a≠0时，若b＝0，则有ab＝0，即“a≠0”不能推出“ab≠0”，反之，ab≠0⇒a≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，D正确． 故选BC. 11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是 (　　) A．a>0 B．不等式ax－c<0的解集为{x|x<－4} C．a＋b＋c<0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－或x>} ACD　解析：对于A选项，因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a>0，A正确； 对于B选项，由题意可知，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3，4， 则由根与系数的关系可得可得 所以不等式ax－c<0即为ax＋12a<0，解得x<－12，B错误； 对于C选项，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，C正确； 对于D选项，不等式cx2－bx＋a<0即为－12ax2＋ax＋a<0，即12x2－x－1>0， 解得x<－或x>，D正确．故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．“x－1≤3”是“x≤4或x≥6”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：充分不必要　解析：因为x－1≤3⇒x≤4，而后者为x≤4或x≥6，所以前者能推出后者，但后者无法得到前者的结论，故为充分不必要条件． 13．已知实数x满足0<x<，则y＝8x＋的最大值为________． 答案：0　解析：由0<x<得到－1<2x－1<0，则0<1－2x<1，则y＝8x＋＝4(2x－1)＋＋4＝－[4(1－2x)＋]＋4≤－2＋4＝0， 当且仅当4(1－2x)＝，即x＝时等号成立，故y＝8x＋的最大值为0. 14．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，则当y＝________时，x2＋2y2的最小值为________． 答案：　　解析：由题意知x＝1－y，代入所求代数式可得x2＋2y2＝(1－y)2＋2y2＝3y2－2y＋1＝3(y－)2＋，所以当y＝时，x2＋2y2的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知A＝{x|x2－2x－24<0}，B＝{x|≥0}，C＝{x|a<x<a＋6}． (1)求A∩(∁RB)； (2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围． 解：(1)由x2－2x－24<0，得－4<x<6， ∴A＝{x|－4＜x＜6}， 不等式≥0可化为 解得－3≤x<4，∴B＝{x|－3≤x<4}， ∴∁RB＝{x|x＜－3或x≥4}， ∴A∩(∁RB)＝{x|－4＜x＜－3或4≤x＜6}． (2)∵B∪C＝B，∴C⊆B， ∴解得－3≤a≤－2， ∴当B∪C＝B时，实数a的取值范围为[－3，－2]. 16．(15分)已知集合A＝{2，6}． (1)若集合B＝{a＋1，a2－23}，且A＝B，求a的值； (2)若集合C＝{x|ax2－x＋6＝0}，且A与C有包含关系，求a的取值范围． 解：(1)因为集合A＝{2，6}，集合B＝{a＋1，a2－23}，且A＝B， 所以a＋1＝2或a＋1＝6， 当a＋1＝2，即a＝1时，B＝{－22，2}，此时A≠B； 当a＋1＝6，即a＝5时，B＝{2，6}，此时A＝B. 故a的值为5. (2)若2∈C，则4a＋4＝0，a＝－1.此时C＝{－3，2}，A与C没有包含关系． 因为A与C有包含关系，且ax2－x＋6＝0最多只有2个解，所以只能是C⊆A， 当C≠∅时，6∈C， 则a＝0，此时C＝{6}，满足C⊆A. 当C＝∅时，解得a>. 综上，a的取值范围为{a|a＝0或a>}． 17．(15分)李叔叔计划建造一个室内面积为1 500 m2的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚的前、后、左、右内墙各保留1.5 m宽的通道，两养殖池之间保留2 m宽的通道．设温室的一边长为x m，两个养殖池的总面积为y m2，如图所示． (1)将y表示为x的函数； (2)当x取何值时，y取最大值？最大值是多少？ 解：(1)温室的一边长为x m， 则另外一边长为 m，由题意得y＝(x－1.5×2)·(－1.5×2－2)＝1 515－5x－， x－1.5×2>0且－1.5×2－2>0，解得x∈(3，300).故y＝1 515－5x－，x∈(3，300). (2)y＝1 515－(5x＋)≤ 1 515－2＝1 215， 当且仅当5x＝，即x＝30时等号成立． 故当x＝30时，y取最大值，最大值为1 215. 18．(17分)若关于x的不等式x2－4mx＋m<0的解集为(x1，x2). (1)当m＝1时，求＋的值； (2)若x1>0，x2>0，求＋的值； (3)在(2)的条件下，求x1＋4x2的最小值． 解：(1)由题意知，关于x的方程x2－4x＋1＝0有两个根x1，x2，所以 故＋＝＝＝－4. (2)由题意知，关于x的方程x2－4mx＋m＝0有两个正实数根，由根与系数的关系知解得m＞，所以＋＝＝＝4. (3)由(2)知，＋＝4，且x1>0，x2>0， 所以x1＋4x2＝(x1＋4x2)(＋)＝(1＋4＋＋)，而＞0，>0， 所以＋≥2＝4，当且仅当＝，且x1＋x2＝4x1x2，即x1＝，x2＝时等号成立， 此时实数m＝＞符合条件，故x1＋4x2≥，且当m＝时，x1＋4x2取得最小值. 19．(17分)已知二次函数f(x)＝x2＋2ax＋2. (1)若1≤x≤5，不等式f(x)＞3ax恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式(a＋1)x2＋x＞f(x)(其中a∈R). 解：(1)不等式f(x)＞3ax，即x2－ax＋2＞0， 当1≤x≤5时，可变形为a<＝x＋， 即a<(x＋)min，又x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝∈[1，5]时，等号成立， ∴(x＋)min＝2，即a<2， ∴实数a的取值范围是{a|a<2}． (2)不等式(a＋1)x2＋x>f(x)，即(a＋1)x2＋x>x2＋2ax＋2， 等价于ax2＋(1－2a)x－2>0，即(x－2)(ax＋1)>0. ①当a＝0时，不等式整理为x－2>0，解得x>2； 当a≠0时，方程(x－2)(ax＋1)＝0的两根为x1＝－，x2＝2. ②当a>0时，可得－<0<2， 解不等式(x－2)(ax＋1)>0得x<－或x>2. ③当－<a<0时，因为－>2， 解不等式(x－2)(ax＋1)>0得2<x<－. ④当a＝－时，因为－＝2， 所以不等式(x－2)(ax＋1)>0的解集为∅. ⑤当a<－时，因为－<2， 所以解不等式(x－2)(ax＋1)>0得－<x<2. 综上所述， ①当a＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)； ②当a>0时，不等式的解集为(－∞，－)∪(2，＋∞)； ③当－<a<0时，不等式的解集为(2，－)； ④当a＝－时，不等式的解集为∅； ⑤当a<－时，不等式的解集为(－，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$