2.2 平方根与立方根 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 第2课 平方根与立方根 第2课时 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.理解平方根的概念，会计算一个数的平方根，并能用符号正确表示一个数的平方根,知道平方根与算术平方根的区别与联系. 2.理解平方根的相关运算性质，能用平方根解决简单的实际问题，体会数学与生活的联系. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题:平方等于9的数有几个？平方等于0的数有几个？存在平方等于-9的数吗？ 同学们，我们知道，所以3是9的算术平方根. 除了3，还有没有其他平方等于9的数呢? 4 问题1：回顾有理数的乘法法则，你能口算下列各式的结果吗？. 问题构建 2×2= (-2)×(-2)= 0×0= 1.5×1.5= (-1.5)×(-1.5)= 追问：观察以上算式的特征和结果，你发现了什么？ 平方结果是同一个正数的数有2个，它们互为相反数； 0的平方等于0； 问题构建 平方根的概念： 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫作的平方根，也叫二次方根. ，所以±2是4的平方根，即 ，所以±5是25的平方根，即 问题构建 问题2：一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，一个是另一个是- 平方根合起来记着± ，读作“正、负根号” 0只有1个平方根，是0本身； 负数没有平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方， 叫做被开方数. 问题构建 问题3：平方根与算术平方根有什么相同点与不同点？ 对比项目 平方根 算术平方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫作的平方根 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根 表示方法 记作± ​（a≥0），读作 “正负根号a” 记作（a≥0），读作 “根号a” 结果个数 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0 一个非负数只有一个算术平方根；0 的算术平方根是 0 结果性质 正数的平方根一正一负，互为相反数；0 的平方根是 0 算术平方根一定是非负数（正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0 取值范围 被开方数a≥0（负数没有平方根） 被开方数a≥0（负数没有算术平方根） 与被开方数关系 正数的两个平方根的平方都等于被开方数（如） 算术平方根的平方等于被开方数（如） 问题构建 例1：求下列各数的平方根 （1）64 ； （2）（3）0.0004；（4）；（5）11 解：（1）因为所以64的平方根是±8，即± (2)因为，所以的平方根是，即 (3)因为所以0.0004的平方根是±0.02，即 (4)因为，所以的平方根是±即 (5)11的算术平方根是 问题构建 问题4：小明同学回忆了目前学习过的相关知识，有些迷糊，你能帮他做一下分析吗？ 平方的算术平方根 算术平方根 算术平方根的平方 算术平方根的相反数的平方 相反数平方的算术平方根 运算顺序不同，读法不同，结果也不到一定相同. 协作破冰 例2：求下列各式的值. (1) (2); (3); 解:(1) = (2)=- (3)= 进行开平方运算时，依据题目特点，对被开方数进行适当变形，有利于快速得出答案. 教师示范 例3：请判断下列各题的对错，并说明理由. × × √ √ （1） （2） （3） （4） 教师示范 例4：半径为1的扇形OAB 的圆弧和以AB为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知OA⊥OB，求阴影部分的面积. 解：= = = = 巩固拓展 例5：一个正方形的面积变为原来的 4 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 9 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 100 倍呢？面积变为原来的 n 倍呢？ 设原正方形的边长为，根据正方形面积公式（S为正方形面积 ），分别分析面积变化后边长的变化情况： 1. 面积变为原来的4倍时 原正方形面积，变化后正方形面积设变化后正方形边长为，由，可得（边长为正数，取算术平方根 ） 则边长变为原来的=2倍 巩固拓展 例5：一个正方形的面积变为原来的 4 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 9 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 100 倍呢？面积变为原来的 n 倍呢？ 设原正方形的边长为a，根据正方形面积公式（S为正方形面积 ），分别分析面积变化后边长的变化情况： 2. 面积变为原来的9倍时 变化后正方形面积设变化后正方形边长为，由，可得=3a（边长为正数，取算术平方根 ） 则边长变为原来的3a÷a=3倍 巩固拓展 例5：一个正方形的面积变为原来的 4 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 9 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 100 倍呢？面积变为原来的 n 倍呢？ 设原正方形的边长为a，根据正方形面积公式（S为正方形面积 ），分别分析面积变化后边长的变化情况： 3. 面积变为原来的100倍时 变化后正方形面积设变化后正方形边长为​，由，可得（边长为正数，取算术平方根 ） 则边长变为原来的=10倍 巩固拓展 例5：一个正方形的面积变为原来的 4 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 9 倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的 100 倍呢？面积变为原来的 n 倍呢？ 设原正方形的边长为a，根据正方形面积公式（S为正方形面积 ），分别分析面积变化后边长的变化情况 4. 面积变为原来的n倍时 变化后正方形面积设变化后正方形边长为，由，可得（边长为正数，取算术平方根 ） 则边长变为原来的倍 当堂检测 1.下列说法正确的是_________ ① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8. ①④⑤ 错因分析：25的平方根应该是±5；-36没有平方根 当堂检测 2.下列说法不正确的是______ A.0的平方根是0 B. 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 B 负数没有平方根 当堂检测 3.求下列各数的平方根： （1）36. 解： . （2）2.25. 解： . （3） . 解： . （4） . 解： . （5）12. 解： . 当堂检测 4.求下列各式的值： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . （3） . 解：原式 . （4） . 解：原式 . 当堂检测 5.求下列各式中 的值： （1） . 解： . . （2） . 解： . . 6.（1）若一个非负数的平方根是 和 ，则这个 非负数是多少？ 解：根据题意，得 ， 解得 . 这个非负数是 . 当堂检测 （2）已知和都是的平方根，求与 的值. 解：分两种情况讨论： ①当与 是同一个平方根时，则 ，解得 . 此时 ； ②当与 是不同的平方根时，则 ，解得 . 此时 . 综上所述，，或， . 当堂检测 反思总结 1.如何定义一个数的平方根？ 2. 平方根与算术平方根有什么区别与联系？ 3.体积为5的正方体的棱长你会算吗？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本P34 第1题，第2题，第3题 二、素养类作业 课本P38 第12题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$