精品解析：湖南省湘西州凤凰县2024-2025学年八年级下学期5月学情诊断数学试题

2025年初中学情诊断 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回． 4．本试卷三大题，20小题，满分100分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3 分，共24 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 如图所示，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，则称y是x的函数，根据函数的定义即可作出判断． 【详解】A、对于x取的每一个值，存在某些x的值，y不止一个值与之对应，则y不是x的函数，故此选项不符合题意； B、对于x取的每一个值，存在某些x的值，y不止一个值与之对应，则y不是x的函数，故此选项不符合题意； C、对于x取的每一个值， y都有唯一的一个值与它对应，则y是x的函数，故此选项符合题意； D、对于x取的每一个值，存在某些x的值，y不止一个值与之对应，则y不是x的函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的定义，深刻理解函数的定义是本题的关键，注意数形结合． 2. 如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于点E，平分，那么下列关系式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】综合运用线段垂直平分线性质，角平分线性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，逐一判断，即得． 【详解】解：A、∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项正确； B、∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴选项正确； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项不正确； D、∵，， ∴， ∴选项正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了含30度的直角三角形．熟练掌握线段垂直平分线性质，角平分线性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 3. 在平行四边形中，的平分线分边为和两部分，则平行四边形周长为（     ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据的两个值分别求出俩个答案．根据平行四边形的性质，的平分线分成和两条线段，设的平分线交于点，有两种可能，或，证明是等腰三角形，即可分别求出周长． 【详解】解：在平行四边形中， 又平分 当，时； ∴平行四边形周长为： 当，时； ∴平行四边形周长为： 故选：D． 4. 如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再算出大正方形的边长，最后通过面积的计算求解，即可解题． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为，， 正方形和正方形的边长分别为，， 重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1， 重叠部分的正方形边长为1， 大的正方形边长为， 空白部分的面积为， 故选：A． 5. 已知，其中，，那么的最小值为(     ) A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，化简绝对值；先化简绝对值，合并同类项后得到一次函数表达式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】已知函数为 ，其中 且 ， ∴，，， ∴ ∵， ∴当，取最大值时，取得最小值： 故选：C． 6. 如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】延长CD到G，使DG=BE，连接AG，易证所以AE=AG， ， 证，所以 GF=EF，设BE=DG=x，则EF=FG=x+2，在中，利用勾股定理得 解得求出x，最后求问题即可求解． 【详解】解：延长CD到G，使DG=BE，连接AG， 在正方形ABCD中，AB=AD， ， ， ， ， ， ， ， 又， (SAS)， ， 设BE=DG=x，则EC=6-x，FC=4，EF=FG=x+2， 在中，， ， 解得，x=3， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键. 7. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 不等式组的解集是 C. 不等式和不等式的解集相同 D. 方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．根据直线与直线的交点P的坐标为，结合图象即可解答． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意； 当时，， ∴不等式的解集是，故B选项错误，符合题意； ∵由图象可得，不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故C选项正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 8. 在中，，则（     ） A. 一定是锐角 B. 一定是直角 C. 一定是钝角 D. 都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 二、填空题（每小题4 分，共24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 9. 一次函数的图象如图，则化简的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，绝对值的化简；根据一次函数的图像确定a与b的大小，即可化简绝对值． 【详解】解：由题图可知， 所以， 所以． 故答案为：． 10. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由非负性得：， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：． 故答案为：3． 11. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式，是解题的关键．将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数的图象上，利用待定系数法求出b的值即可． 【详解】解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，即， 由题意，得：在一次函数的图象上， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，，E在上，，，点P在上，则的最小值是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及最短路线问题，等边三角形的判定与性质，根据轴对称的性质，将转化为是解题的关键． 根据菱形的性质，得知A、C关于对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知为的最小值． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴A、C关于对称， ∴连交于P， 则， 根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， ∴ 故答案为∶ 13. 如图平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正确的有_____． 【答案】①③⑤⑥ 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE⊥AC，根据直角三角形斜边中线定理得GE＝AB，由三角形中位线得EF＝CD，进而得到EG＝EF，可判断①；证明四边形AGEF是菱形可判断②③⑥；④易证BE⊥AE，四边形BEFG是平行四边形，由EG＝EF，要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，可判断④；根据平行线的性质和等腰三角形的性质可判断⑤． 【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD， ∵BD＝2AD， ∴AD＝DO，BC＝BO， ∴△BOC是等腰三角形， ∵E是CO中点， ∴EB⊥CO， ∴∠BEA＝90°， ∵G为AB中点， ∴EG＝AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF＝CD， ∴EG＝EF， 故①正确； ②连接AF， Rt△AEB中，G是AB的中点， ∴EG＝AB＝AG， ∵EG＝EF， ∴AG＝EF， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF//CD， ∵AB//CD， ∴AG//EF， ∴四边形AGEF是菱形， ∴AE⊥FG，GF平分∠AGE， 故②错误，③⑥正确； ③∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF//DC， ∵DC//AB， ∴EF//AB， ∴∠EFG＝∠AGF， ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∴∠EGF＝∠AGF， ∴GF平分∠AGE，故③正确； ④由①知：BE⊥AE， 由②、③得：EF//AB，EF＝CD＝AB＝BG， ∴四边形BEFG是平行四边形， ∵EG＝EF， ∴要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°， 没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，故④错误； ⑤∵AD//BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝2∠CBE， ∴故⑤正确； 本题正确的有：①③⑤⑥． 故答案为：①③⑤⑥． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质． 14. 正方形，，…按如图所示放置，点、、…在直线上，点、、…在x轴上，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出、、的坐标，找出规律的坐标为，即可得出的坐标． 【详解】解：直线和轴交于， 的坐标，即， 四边形是正方形， ， 把代入得：， 的坐标为， 同理，的坐标为， 的坐标为， 的坐标是， 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 15. 先化简：，再从1、、2中选一个合适的代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值以及分式有意义的条件，先将括号里面的分式通分、合并同类项，再将除法转换成乘法，再约分可得最简形式． 【详解】解： ， ∵当或2时，分式无意义， ∴当时，原式． 16. 请运用幂的运算性质解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式和实数的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． （1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有的形式，再代入进行计算即可； （2）先把写成，然后利用乘法的运算律和积的乘方法则进行简便计算即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵，∴，∴， 即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：的值 （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，熟练进行变形是解决本题的关键． （1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将a分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 18. 我县进行“老旧小区天然气改造”项目，让老旧小区的居民不再需要搬煤气罐上楼，增强我县老旧小区居民的幸福感与安全感．如图，是原有天然气管道，是一条与垂直的街道，A、B是位于，内部的两个老旧小区，且小区与的距离为，与的距离为，小区与的距离为，与的距离为．现计划从处选一点，铺设燃气管道．若的天然气管道铺设的价格为5万元，请计算所铺设的燃气管道的最低价格．（结果保留根号） 【答案】所铺设的燃气管道的最低价格为万元 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称—最短路径问题，因为距离一定，所以只需要求出的最短距离即可，作A关于的对称点，连接交于，连接，过作交延长线于，交于，过作于，求得最小值即可． 【详解】解：作A关于的对称点，连接交于，连接，过作交延长线于，交于，过作于，如图， 由题意得，，，，， ，， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ∴可得最小为， 所铺设的燃气管道的最低价格为万元． 19. 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值． 【答案】 [概念理解]：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； [性质探究]：．理由如下： 如图2，已知四边形中，，垂足为， ， ， 由勾股定理得，， ， ； [问题解决]： 【解析】 【分析】[概念理解]：根据垂直平分线的判定定理证明即可； [性质探究]：根据垂直的定义和勾股定理解答即可； [问题解决]：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】解：[概念理解]：略； [性质探究]：略； [问题解决]：连接、，如图3所示： ， ，即， 在和中， ， ， ，又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，， ，，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点． （1）求直线、的关系式； （2）如图2，是线段上一动点，为的中点，连接、、，当四边形的面积为9时，求出点的坐标； （3）如图3，是轴上一点，是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）连接，设．求出，，然后根据四边形的面积为9列方程求解即可； （3）分4种情况，画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴， ∴． 把代入，得 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，设． 当时，， ∴， ∵为的中点， ∴． ， ， ∵四边形的面积为9， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，． ∵， ∴． 当为对角线时，如图，作交N， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，即四边形是菱形， ∴， ∴； 当为边时，点N在店P的下方时，如图， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴点N在直线上，且， ∴； 当为边时，点N在店P的右边时，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴； 当为边时，点N在店P的左边时，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴； 综上可知，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，分类讨论是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学情诊断 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回． 4．本试卷三大题，20小题，满分100分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3 分，共24 分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 如图所示，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于点E，平分，那么下列关系式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，的平分线分边为和两部分，则平行四边形周长为（     ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，其中，，那么的最小值为(     ) A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 6. 如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 30 7. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ） A. 方程的解是 B. 不等式组的解集是 C. 不等式和不等式的解集相同 D. 方程组的解是 8. 在中，，则（     ） A. 一定是锐角 B. 一定是直角 C. 一定是钝角 D. 都有可能 二、填空题（每小题4 分，共24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 9. 一次函数的图象如图，则化简的结果为________． 10. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 11. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则的值为_________． 12. 如图，在菱形中，，E在上，，，点P在上，则的最小值是______ 13. 如图平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正确的有_____． 14. 正方形，，…按如图所示放置，点、、…在直线上，点、、…在x轴上，则的坐标是______． 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 15. 先化简：，再从1、、2中选一个合适的代入求值． 16. 请运用幂的运算性质解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）计算：． 17. 已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵，∴，∴， 即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：的值 （2）若，求的值； 18. 我县进行“老旧小区天然气改造”项目，让老旧小区的居民不再需要搬煤气罐上楼，增强我县老旧小区居民的幸福感与安全感．如图，是原有天然气管道，是一条与垂直的街道，A、B是位于，内部的两个老旧小区，且小区与的距离为，与的距离为，小区与的距离为，与的距离为．现计划从处选一点，铺设燃气管道．若的天然气管道铺设的价格为5万元，请计算所铺设的燃气管道的最低价格．（结果保留根号） 19. 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点． （1）求直线、的关系式； （2）如图2，是线段上一动点，为的中点，连接、、，当四边形的面积为9时，求出点的坐标； （3）如图3，是轴上一点，是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $