精品解析：湖南省沅澧共同体2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

沅澧共同体2025年上学期高一年级期末考试（试题卷） 数学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.本试卷共8页，其中试题卷4页，答题卡4页.满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则复数（ ） A. B. i C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则计算求解即可. 【详解】. 故选：B. 2. 已知向量，则=（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的模公式求解. 【详解】因为向量， 所以， 故选：D. 3. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，在中，，，， 则的面积为. 故选：C. 4. 已知一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】解：由题意可知圆锥的侧面积为：. 故选：C 5. 给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③若一条直线平行于一个平面，那么这条直线平行于这个平面内的所有直线； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ③和④ 【答案】C 【解析】 【分析】用空间中线与线、面与面、线与面的相关定义与定理进行判断，相关定理与定义较多，要根据每一个命题进行合理选择．①用面面平行的判定定理进行验证，②用面面垂直的判定定理进行验证；③由线面平行不能得出直线平行于这个平面内的所有直线；④用面面垂直的性质定理验证． 【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对； 由平面与平面垂直的判定定理可知②正确； 一条直线平行于一个平面，那么这条直线不平行于这个平面内的所有直线，故③不对； 若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确． 综上所述：②④正确，故C正确. 故选：C. 6. 若A是的内角，且，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系中的平方关系求解即可，，的根据条件求，再将齐次式化简求值. 【详解】由可得， 即， 即,, ①，所以； 所以， 所以. ②，所以； 所以， 所以. 故选：A 7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式相的中当于将圆锥体积公式中的近似取（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用表示出圆锥的底面半径，得出圆锥的体积关于和的式子，令，能解出的近似值． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长， ∴， ∴. 令， 解得. 故选：C 8. 如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择技术学科”，“选择一门理科学科”，“选择历史学科”，“选择一门文科学科”，以下结论正确的是（ ） A. F和G是互斥事件但不是对立事件 B. F和H是互斥事件也是对立事件 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由互斥事件和对立事件的定义和概率性质逐项分析即可求解. 【详解】对于A，事件F表示“选择一门理科学科”，事件G表示“选择历史学科”， 所以，所以F和G是互斥事件， 除了理科学科和历史学科外，还有其他文科 学科（政治、地理）， 所以（为总样本空间），即F和G不是对立事件，故A正确； 对于B，事件F表示“选择一门理科学科”，事件H表示“选择一门文科学科”， 所以，且所以（为总样本空间）， 所以F和H是互斥事件，也是对立事件，故B正确； 对于C， 事件E表示“选择技术学科”，事件H表示“选择一门文科学科” 因为技术学科是理科，所以E和H是互斥事件，所以，故C正确； 对于D，事件E表示“选择技术学科”，事件G表示“选择历史学科”，E和G是互斥事件， 但（为总样本空间），所以，故D错误. 故选：ABC 10. 如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（ ） A. B. 3 C. 7 D. 9 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解. 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系， 则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 11. 设、都是定义在上的两个函数，若对于任意的，都有，则称与在上是“密接函数”，称为“密接区间”.设与在区间上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将问题转化为，根据指数函数的图象性质以及单调性，即可求解. 【详解】由可得，故， 当时，不成立，故A错误， 当时，不成立，故D错误， 当时，由于指数函数与直线至多两个交点，且时，，时，，结合函数图象可知：当时，成立， 而当时，的最大值为2，的最小值为2，故， 综上可知对任意的都有， 故是与的“密接区间”，故BC正确， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设，，且A与B相互独立，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由事件的相互独立知，再根据求解即可． 【详解】由，，且A与B相互独立， 则， 所以． 故答案为：． 13. 某网购平台购买某种商品可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.7，顾客之间采用何种方式相互之间不受影响，则3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率为________. 【答案】0.973 【解析】 【分析】根据题意至少有1位采用一次性付款，则采用一次性付款的人数可以为1人，2人或3人，由独立重复试验分别求得三种情况下的概率，即可得3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率 【详解】顾客采用一次性付款的概率是， 记“3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款”为事件A， 则：． 故答案为：. 14. 如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，（或其补角）就是与CN所成的角，进而计算求解即可. 【详解】取的中点，连接，  则，则（或其补角）就是与CN所成的角， 因为M为BC的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，，所以， 因为菱形ABCD中，，所以是等边三角形，所以， 所以，即，所以， 又，所以，，， 所以， 所以，所以， 所以，所以与CN的夹角为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 【答案】（1）众数为27.5，第95百分位数为 （2）①4人，2人；②11 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，可求得众数与95百分位数. （2）利用分层抽样求出第四组、第五组抽取的人数，再利用分层抽样的方差计算公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知 众数的估计值为27.5， 由频率分布直方图可知，第95百分位数在第五组内， 设第95百分位数为， ，解得； 【小问2详解】 ①由频率分布直方图可知，第四组的频率为0.2，第五组的频率为0.1， 第四组应该抽取人， 第五组应该抽取人； ②第四组和第五组的平均数为， . 16. 俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. （1）用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； （2）记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； （3）记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 【答案】（1）样本空间 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c，利用枚举法可得样本空间； （2）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解； （3）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解. 【小问1详解】 设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c， 则样本空间； 【小问2详解】 由已知可得， 则； 【小问3详解】 由已知可得， 则. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且为的中点，又点为的中点，，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 连结，如图所示： 在中，为的中点，为的中点， 所以为的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 因为平面，平面， 所以， 又，为的中点，则， 又平面，故平面 平面 平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连结，结合题意利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）利用（1）（2）中证明的条件找出线面角，再结合题意将相应的边求出，最后在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由平面可知，为在平面内的射影， 所以为直线与平面所成的角 由，，， 有， 在中， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值. 18. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1）， （2）当时，取得最大值，且最大值为115万元 【解析】 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. 【小问2详解】 由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 19. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且其外接圆的半径，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及和差角公式以及正弦定理得到，进而可求得，从而得解； （2）由正弦定理得到，，即可得到，再由内角和定理及三角恒等变换公式将式子转化为的三角函数，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由已知可得 即 即 则 ，，，， ，，； 【小问2详解】 由正弦定理得 ，， ，， 又由已知ABC为锐角三角形，可得， ，， 的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沅澧共同体2025年上学期高一年级期末考试（试题卷） 数学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.本试卷共8页，其中试题卷4页，答题卡4页.满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则复数（ ） A. B. i C. 0 D. 1 2. 已知向量，则=（ ） A. 3 B. C. 5 D. 3. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③若一条直线平行于一个平面，那么这条直线平行于这个平面内的所有直线； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ③和④ 6. 若A是的内角，且，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式相的中当于将圆锥体积公式中的近似取（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择技术学科”，“选择一门理科学科”，“选择历史学科”，“选择一门文科学科”，以下结论正确的是（ ） A. F和G是互斥事件但不是对立事件 B. F和H是互斥事件也是对立事件 C. D. 10. 如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（ ） A. B. 3 C. 7 D. 9 11. 设、都是定义在上的两个函数，若对于任意的，都有，则称与在上是“密接函数”，称为“密接区间”.设与在区间上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设，，且A与B相互独立，则________． 13. 某网购平台购买某种商品可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.7，顾客之间采用何种方式相互之间不受影响，则3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率为________. 14. 如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在第七届全国文明城市评审中，某市一机关为了了解干部对家乡文明城市创建的认知程度，举办了一场知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这m人年龄的众数、第95百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任该机关创建文明城市的宣传使者. ①从年龄组第四组：和第五组：应各抽取多少人？ ②第四组：平均年龄37岁，方差为2.5，第五组：平均年龄43岁，方差为4，求第四组和第五组的总方差. 16. 俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. （1）用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； （2）记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； （3）记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且为的中点，又点为的中点，，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 19. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若是锐角三角形，且其外接圆的半径，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $