精品解析：河南省三门峡市渑池县第二高级中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

渑池二高2024-2025学年下学期期末考试试题 高二数学 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分，答案写在答题卡，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量等可能取值为（），若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，已知，，，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（ ） A. B. C. D. 5. 《哪吒之魔童闹海》在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的概率为（ ） A B. C. D. 6. 已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（ ） A. 1941 B. 1961 C. 1981 D. 2001 7. 在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在内有且只有一个零点，则曲线的对称中心为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分．） 9. 下列求导运算不正确是（ ） A. B. C D. 10. 若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 已知数列中，，，则（ ） A. 是递增数列 B. ， C. ， D. 数列的前项和为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中常数项为_____. 13. 曲线在处的切线方程为______． 14. 某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有______种． 四、解答题（本大题共5题，共77分） 15. 某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废． （1）若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差； （2）已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，证明：． 17. 已知曲线，直线与交于，两点. （1）若从，，，1，2，3中任选一个数作为，求是椭圆的概率； （2）已知是上与，均不重合点，设直线，的斜率分别为，，若，求的方程. 18. 已知，，都是正项数列，且满足，，的前项和. （1）若是等比数列，求的公比； （2）若是等差数列，求的通项公式； （3）在（2）的条件下，若，证明是等比数列，并求. 19. 已知分别为椭圆的左、右焦点，点A在C上，垂直于x轴，且． （1）求C的方程； （2）若B为椭圆C的右顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，且． （i）求证：直线与直线的斜率之和为定值； （ii）过M与x轴垂直的直线交直线于点H，求中点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 渑池二高2024-2025学年下学期期末考试试题 高二数学 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分，答案写在答题卡，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得出答案. 【详解】由题可知，又因为，故. 故选：C 2. 已知随机变量等可能取值为（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：C. 3. 在数列中，已知，，，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再求出的值. 【详解】数列中，由，，，得，， 所以，所以， 因此数列是周期数列，周期为6，所以. 故选：B 4. 某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的意义求解. 【详解】由，得， 则， 令， 得. 故选：B. 5. 《哪吒之魔童闹海》在全球热映创下中国电影多项记录，影片角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法1：6个位置中选2个摆放哪吒模型，然后根据古典概型计算；解法2：从6个位置中选4个摆放敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人然后根据古典概型计算. 【详解】解法1：从6个位置中选2个摆放哪吒模型，有种方法， 两个哪吒相邻等价于从5个位置中选一个摆放两个哪吒模型，有种方法，所求概率为． 解法2：先从6个位置中选4个摆放敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人（剩下两个位置放哪吒模型），有种方法， 两个哪吒相邻可将两个哪吒捆绑在一起，与敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人进行全排列，有种方法，所求概率为． 故选：C． 6. 已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（ ） A. 1941 B. 1961 C. 1981 D. 2001 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C 7. 在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 8. 已知函数在内有且只有一个零点，则曲线的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，根据参数的取值范围，分类讨论函数的单调性，由题意，建立方程，可得,再由的对称轴为的对称中心可得答案 【详解】由题得， 当时，当时，， 函数在区间内单调递增，且， 所以函数在区间内无零点； 当时，当时，，当时，， 则在区间内单调递减，在区间内单调递增. 故只需，解得， 所以， 由的对称轴为的对称中心可得，的对称中心为 故选：D 二、多选题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分．） 9. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数四则运算法则和复合函数求导法则对选项一一判断，得到答案 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：ACD 10. 若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设圆上的点，由题意有，即两圆相交即可求的范围，进而逐项验证即可求解. 【详解】设圆上的点，则， 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为，则两圆有两个交点，即两圆相交， 所以，解得，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 11. 已知数列中，，，则（ ） A. 是递增数列 B. ， C. ， D. 数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式可确定的符号，则可得数列的单调性，从而判断A；计算从而可判断B；由已知可得，根据对数运算可得，结合累加法求和可判断C；根据裂项相消法得数列前项和即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以， 则，所以是递增数列，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，所以， 所以，变形得， 用累乘法可得，所以，故C正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中常数项为_____. 【答案】210 【解析】 【分析】写出二项式的通项公式，从而可得展开式中的常数项. 【详解】展开式的通项为， 常数项为. 故答案为：210. 13. 曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】记，，，又， 曲线在处的切线方程为，即. 故答案为： 14. 某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有______种． 【答案】2016 【解析】 【分析】应用分类计数及排列组合数求同年级的同学不相邻的站法数. 【详解】先将4名高三学生全排列， 若高一、高二学生不相邻，站法有， 若高一学生与高二学生相邻，站法有， 共有种站法． 故答案为：2016 四、解答题（本大题共5题，共77分） 15. 某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废． （1）若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差； （2）已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出每个芯片通过测试的概率，判断服从二项分布，结合期望和方差的公式即可求解； （2）分别求出，，再利用条件概率公式求解即可． 【小问1详解】 设事件A：芯片合格， 则每个芯片通过测试的概率为， 于是， 则，. 【小问2详解】 记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ． 由题意得， ， 则， 故所求概率为． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据和的关系推导可得数列为等比数列，进而求解即可； （2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 因为①，所以，解得， 对任意的，②， ②①得，即， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，数列为单调递增数列，所以， 即． 17. 已知曲线，直线与交于，两点. （1）若从，，，1，2，3中任选一个数作为，求是椭圆的概率； （2）已知是上与，均不重合的点，设直线，的斜率分别为，，若，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入各值和范围求出判断即可求解； （2）设，求出点坐标，代入曲线，设，代入曲线并联立，求出后再建立方程求解参数即可. 【小问1详解】 当或时，是椭圆，当时，是圆， 当时，是双曲线， 综上，从，，，1，2，3中任选一个数作为，是椭圆的概率为； 【小问2详解】 设，则，记为①， 设，则，记为②， ②-①得，故， 则， 所以，解得，则的方程是. 18. 已知，，都是正项数列，且满足，，的前项和. （1）若是等比数列，求的公比； （2）若是等差数列，求的通项公式； （3）在（2）的条件下，若，证明是等比数列，并求. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）结合题设易得，设的公比为，根据等比数列的基本量列方程求解即可； （2）由，可得，结合可得，进而求得的公差，进而求解即可； （3）由（2）得，根据和关系化简可得，进而得到，即可得到是等比数列，可得，进而求解. 【小问1详解】 由题意知， 设的公比为，则上式等价于， 整理得，解得（舍去）. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，即，所以， 所以的公差， 所以. 【小问3详解】 由（2）得， 所以，两式作差得， 整理得，所以， 即，所以， 所以是首项为2，公比为2等比数列. 所以，则， 则. 19. 已知分别为椭圆的左、右焦点，点A在C上，垂直于x轴，且． （1）求C的方程； （2）若B为椭圆C的右顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，且． （i）求证：直线与直线的斜率之和为定值； （ii）过M与x轴垂直的直线交直线于点H，求中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义和勾股定理即可求，又由即可求解； （2）（i）由题意可设过的直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，代入即可求解； （ii）设中点为，，则，直线的方程为，令得，利用中点坐标有，化简整理即可求解. 【小问1详解】 由题意有，解得，又，解得， 又由， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）由题意可设过的直线的方程为， 所以，消去化简整理有， 所以，解得， 所以， 又， 所以 ； （ii）设中点为，，则，又直线的方程为， 令有，所以， 所以 ， 又因为 ， 所以， 又过点的直线与椭圆的切点分别为， 所以中点的轨迹为除去两端点的线段，轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$