河南信阳市商城县上石桥高级中学2025-2026学年高二下学期质量检测数学模拟试题

**基本信息** 以北京冬奥会赞助企业统计等真实情境为载体，覆盖高二数学解析几何、数列、导数、立体几何、概率统计核心模块，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|直线方程、圆的方程、等比数列、导数切线、二项分布|第11题以五位二进制数为背景，考查二项分布及数字特征，体现数学思维的逻辑性| |填空题|3/15|双曲线标准方程、等比数列单调性、抛物线定义应用|第13题开放设计，通过公比取值考查等比数列性质，培养创新意识| |解答题|5/77|导数计算、数列图像、立体几何面面夹角、独立性检验、圆的方程判断|第18题结合冬奥会赞助企业数据，通过列联表与概率计算，考查数据观念与应用意识；第17题以正方体为载体，融合线面垂直证明与面面夹角计算，体现空间观念|

2025- 2026学年度高二下学期教学质量检测模拟题参考答案 数学 一、单选题 1．已知点，点B在直线上，直线AB垂直于直线，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点B坐标，由两直线的垂直关系及点在线上列出方程组计算即可. 【详解】设，则由题意可得①，且②， 由①②解得.即B正确. 故选：B 2．曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 【答案】C 【分析】分和讨论，由圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：C. 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意，知. 故选：C. 4．曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的几何意义即可求解. 【详解】由题知， 所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故选：B. 5．在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 【答案】B 【分析】先分析出，然后由条件求出及的值，再根据在等比数列中仍构成等比数列，列出方程，即可求出. 【详解】在等比数列中,若，则， 由，知显然不成立，故. 将代入，解得，进而可得. 设，在等比数列中，因为仍构成等比数列， 所以，即， 整理可得，即，解得或. 因为，所以. 6．在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算求出，然后根据向量夹角的余弦公式求出的值，进而根据正弦定理求出三棱柱外接球的半径，从而求出表面积. 【详解】设侧棱长为，则 ， 由，得（负值舍去）． 底面三角形外接圆半径为， 设外接球半径为，则，所以外接球的表面积为． 故选：D． 7．函数的图像如图所示，已知，则方程在上有（    ）个非负实根. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断方程在上的根的个数. 【详解】由图象可得函数在上有3个极值点，不妨设其极值点为，其中， 设，，， 由图象可得，，时，函数单调递增，，又函数的图象由陡峭变为平缓，故逐渐变小， 所以当时，函数单调递减，， 当时，函数单调递减，所以，函数的图象先由平缓变为陡峭，再由陡峭变为平缓，先变大再变小，函数先单调递减再单调递增，所以取值先负后正，所以存在，使得，当，，当，， 当时，函数单调递增，函数的图象由平缓变为陡峭，函数单调递增，所以当时，， 当时，，当时，， 所以当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 因为，函数在单调递增， 所以函数在上不存在零点，且， 因为， 因为表示点与点的连线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，结合图象可得，故，所以函数 在上存在唯一零点， 故方程在上有1个非负零点， 故选：B. 8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn+1<0的正整数n的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【解析】由S6>S7>S5，利用等差数列的前n项和公式可得a7<0，a6+a7>0．进而得到S13和S12的正负值，据此满足SnSn+1<0的正整数n的值为12． 【详解】由S6>S7>S5，得S7=S6+a7<S6，S7=S5+a6+a7>S5， 所以a7<0，a6+a7>0. 所以S13==13a7<0，S12==6(a6+a7)>0， 所以S12S13<0，即满足SnSn+1<0的正整数n的值为12， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的前n项和公式的合理运用． 二、多选题 9．已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率为0 D．当时，直线与直线AB垂直 【答案】AC 【分析】根据直线的定点、倾斜角、斜率、垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线， 当时，，所以直线恒过定点，A选项正确. 时，，斜率为，倾斜角为，B选项错误. 时，，直线的斜率为，C选项正确. 时，，斜率为， 直线的斜率为，， 所以直线与直线不垂直，D选项错误. 故选：AC 10．下列说法正确的是（    ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程不能表示平行x轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【答案】BD 【分析】由截距式可判断A；由一般式可判断B；由点斜式可判断C，D． 【详解】对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错误； 对于B，当时，方程表示平行y轴的直线，与x轴不平行；当，直线的斜率为，与x轴不平行.故正确； 对于C，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错误； 对于D，当时，直线的斜率存在，直线方程为， 即． 当时，直线的斜率不存在，直线方程为， 此时满足方程． 所以D正确； 故选：BD． 11．某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数(例如10100)，其中的各位上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时(    ) A．服从二项分布 B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别写出的可能值，并计算其概率，然后判断的概率分布类型，并通过数学期望和方差公式计算期望和公差即可. 【详解】由二进制数的特点，知后4位上的数字的填法有5类： ①后4位上的数字均为0，则，； ②后4位上的数字中只出现1个1，则，； ③后4位上的数字中出现2个1，则，； ④后4位上的数字中出现3个1，则，； ⑤后4位上的数字均为1，则，. 由上述可知，故A正确；易知B错误；，故C正确；，故D错误. 故选:AC. 三、填空题 12．焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为________． 【答案】 【分析】结合题意，求出，利用双曲线焦点位置，即可写出其标准方程. 【详解】依题意，，解得 故该双曲线方程为：. 故答案为：. 13．已知等比数列的首项为－2，公比为q．试写出一个实数q＝______，使得an＜an＋1． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】结合数列的单调性即可求出结果. 【详解】因为等比数列的首项为－2，公比为q，且an＜an＋1， ，即，所以， 因为等比数列为递增数列，则， 解得，则可取（答案不唯一，满足即可）. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 14．已知平面直角坐标系中，曲线上的点到定直线的距离与到定点的距离相等，为曲线上一点，过点作，垂足为.若，则______. 【答案】 【分析】根据抛物线定义求出曲线方程，根据题中几何关系得到是等边三角形，再根据几何关系求出边长，继而得到点P的坐标，最后得出答案. 【详解】由题意曲线为抛物线，不妨设点在第二象限， 由抛物线定义可得，又，所以是等边三角形. 所以，则，则，， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数即可求解； （2）先根据导数的除法法则求解出的导函数，然后将代入导函数即可求解. 【详解】（1）因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. （2）根据导数的除法法则可知：， 所以当时，. 16．已知数列的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）根据通项公式，对依次赋值求出数列的前5项，然后描点作出它的图象. 【详解】（1）∵， ∴，，，，. 它的图象如图所示．    （2）∵， ∴，，， ，. 它们的图象如图所示．    17．如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. (1)证明：. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定定理证明平面，继而即可证得； （2）由题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式求解即得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 又因平面，所以. （2）由题意以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，. 设平面的法向量是， 则，取，可得， 易得是平面ABCD的一个法向量， 则， 故平面PBQ与平面ABCD夹角的余弦值为. 18．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会签约了50家赞助企业，为了解这50家赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对这50家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，剩下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占这剩下的企业数量的，统计后得到如下列联表． 每天线上销售时间 每天销售额 合计 不少于30万元 不足30万元 不少于8小时 18 不足8小时 合计 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？ (2)按每天线上销售时间进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，再从这5家企业中抽取2家企业，求抽取的2家企业中至少有1家企业每天线上销售时间不少于8小时的概率． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关联 (2) 【分析】（1）先补全列联表并计算出，再与表格中数值进行比较后即可得到赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间是否有关联； （2）利用古典概型去求抽取的2家企业中至少有1家企业每天线上销售时间不少于8小时的概率． 【详解】（1）列联表如下： 每天线上销售时间 每天销售额 合计 不少于30万元 不足30万元 不少于8小时 18 2 20 不足8小时 12 18 30 合计 30 20 50 因为， 所以根据小概率值的独立性检验， 可以认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.001． （2）因为这50家企业中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家， 不足8小时的企业有30家， 所以抽出的5家企业中每天线上销售时间不少于8小时的企业有2家， 不足8小时的企业有3家． 设抽取的2家企业中至少有1家企业每天线上销售时间不少于8小时为事件A， 则， 即抽取的2家企业中至少有1家企业每天线上销售时间不少于8小时的概率为． 19．判断下列二元二次方程是否表示圆，如果是，请求出圆的圆心坐标及半径． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)表示圆，圆心坐标是，半径是2的圆 (2)答案见解析 (3)方程不表示任何图形． 【分析】利用配方法，结合圆的标准方程进行求解. 【详解】（1）方程可变形为，表示圆心坐标是，半径是2的圆． （2）方程可变形为． 当时，方程表示点； 当时，方程表示圆心坐标是，半径是的圆． （3）方程可变形为，即， 方程不表示任何图形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025- 2026学年度高二下学期教学质量检测模拟题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知点，点B在直线上，直线AB垂直于直线，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．曲线所表示的图形是（   ） A．以为圆心1为半径的圆 B．以为圆心1为半径的半圆 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D．以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 6．在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．函数的图像如图所示，已知，则方程在上有（    ）个非负实根. A．0 B．1 C．2 D．3 8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn+1<0的正整数n的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率为0 D．当时，直线与直线AB垂直 10．下列说法正确的是（    ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程不能表示平行x轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 11．某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数(例如10100)，其中的各位上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时(    ) A．服从二项分布 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．焦点在轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为________． 13．已知等比数列的首项为－2，公比为q．试写出一个实数q＝______，使得an＜an＋1． 14．已知平面直角坐标系中，曲线上的点到定直线的距离与到定点的距离相等，为曲线上一点，过点作，垂足为.若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数. 16．（15分）已知数列的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： (1)； (2)． 17．（15分）如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. (1)证明：. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会签约了50家赞助企业，为了解这50家赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对这50家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，剩下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占这剩下的企业数量的，统计后得到如下列联表． 每天线上销售时间 每天销售额 合计 不少于30万元 不足30万元 不少于8小时 18 不足8小时 合计 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？ (2)按每天线上销售时间进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，再从这5家企业中抽取2家企业，求抽取的2家企业中至少有1家企业每天线上销售时间不少于8小时的概率． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（17分）判断下列二元二次方程是否表示圆，如果是，请求出圆的圆心坐标及半径． (1)； (2)； (3)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $