北京市清华大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

第 1页共 9页 高一第二学期期末试卷 数 学 （高 24级）2025.07 年级 班 姓名 考号 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题 共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1. 已知全集 ( ]U 2,3= − ， ( )1,0A = − ，则 U A = （A） A． ] [( 2, 1 0,3− −  B． ( ) ( ]2, 1 0,3− −  C． [ ]0,3 D． (0,3] 2. 已知复数 1 3i 1+i z −= ，则 z 的实部为 （D） A．4 B．-4 C．1 D．-1 3. 设实数 a， b 满足 a b> ，则 （B） A． 2 2a b> B． 2 2a b> C． a b> D． sin sina b> 4. 已知平面向量 a ( ), 2m= ，b ( )2,4= − ．若 a//( 2 a+ b)，则m = (C) A．-4 B．4 C．-1 D．1 5. 已知 ( ) 2xf x = ，则 ( )21 log 3f + = （A） A．6 B．5 C．4 D．3 6. 下列函数中,存在极小值的是 （B） A． lgy x= B． ( 1)( 2)y x x x= − − C． 2xy = D． siny x x= + 7. 已知数列{ }na 为等比数列, nS 为其前n 项和，“ 3 3S a> ”是“ 5 5S a> ”的 （C） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 第 2页共 9页 8. 圭表（如图 1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包 括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺 (称为“圭”). 当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最 长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图 2 是一个根据北京的地理 位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ ABC ）为 26.5°，夏 至正午太阳高度角（即∠ ADC ）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 DB 的长）为 a，则表高（即 AC 的长）为 （D） A. sin 53 2sin 47 a ° ° B. 2sin 47 sin 53a ° ° C. tan 26.5 tan 73.5 tan 47 a ° ° ° D. sin 26.5 sin 73.5 sin 47 a ° ° ° 9. 如图所示，已知正方形 ABCD的中心为点O，其边长为 2 . 分别以 A，B ，C ，D 为圆 心，1为半径作圆. 若动点 P ，Q ， M ， N 分别在圆 A ，圆 B ，圆C ，圆 D 上，则 | |OP OQ OM ON+ + +     的最大值为（D） A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 10. 已知 ( )f x 的定义域为R ,对于任意的 Rx∈ ，总有 (2 ) (2 )f x f x+ = − ， 2(2 ) 2 [ ( )]f x f x+ = 成立，且 ( )f x 在 [0,2]单调递减．则下列选项错误．．的是（B） A． 4(0) 1 3 f f  + =    B． (2025) 1f = C． ( )f x 为偶函数 D． | ( ) | 2f x ≤ 第 3页共 9页 第二部分（非选择题 共 110分） 二、填空题 共 5道小题，每小题 5分，共 25分. 11. 函数 ( ) ln(2 )f x x= − 的定义域为__________．（ ( , 2) ） 12. 使等式 sin cos( ) 3 πα α= + 成立的一个α 的值为__________．（ 12  ，答案不唯一） 13. 已知非零平面向量 a，b 满足|a|=|a-b|= 2，<a,b> 6 π = ，则 b ⋅ (a+b)= _________．（18） 14. 已知 2 2 , 1) 1 1. 1, , ( x xa x x f x xa 或+ ≥ ≤ −−=  − < < (1) 当 1a = 时，函数 ( )f x 的极值点的个数为__________；（1 个） (2) 若 1 Rx∀ ∈ ， 2 Rx∃ ∈ ， 2 1x x≠ ，使得 1 2 )( ) (f f xx = ，则 a 的取值范围为__________． 1 5 1 5( , ] {0} [ , ) 2 2       15. 已知数列{ }na 的各项均为正数， 1a a= ， 2a b= ，且对于任意的 N*n 有 2 2 2 1 1n n n n na a a a a+ + += + − 恒成立. 给出下面四个结论： ① 3 2 a ba +≥ ； ②存在 a， b ，使得{ }na 单调递增； ③若 a b< ，则对于任意的 Nn ∗∈ ，都有 2 1 2 1n na a− +< ； ④若对于任意 Nn ∗∈ ， 3n na a+ = 成立，则{ }na 为常数列. 其中正确命题的序号为 . ①③④ 三、解答题 共 6道小题，共 85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16. （本小题 13分） 已知数列{ }na 为等差数列，公差 d 为整数， 1 2 4a a+ = − ，且 2 2a + ， 4a ， 6 2a + 成等比 数列. (Ⅰ) 求{ }na 的通项公式； (Ⅱ) 记 2n nb a= ， ( )12 nanc += ，求数列{ }n nb c+ 的前 n项和 nS . 第 4页共 9页 解：(Ⅰ)由条件， 12 4a d+ = − . ( )( )24 6 22 2a a a= + + ，即 ( ) ( )( ) 2 1 1 13 5 2 2a d a d a d+ = + + + + ， 即 2 1 3 1 0d a d− − − = ，代入 1 4 2 da − −= ，得到 22 5 2 0d d− + = ， 解得 2d = ，或 d = 1 2 （舍）. 则 1 3a = − ，所以 ( )1 1 2 5na a n d n= + − = − . (Ⅱ) 4 5nb n= − ， 22nnc −= ，则 ( ) ( )1 2 1 2n n nS b b b c c c= + + + + + + +  ( ) ( ) 2 1 1 1 21 4 5 12 2 3 2 2 1 2 2 n nn n n n − −− + − = + = − + − − 17. （本小题 13分） 已知函数 sin (sin 3 cos ) cos (cos3 sin )( ) x x xf x xx x+ += + . (Ⅰ) 求 ( )f x 的单调递增区间及最小正周期； (Ⅱ) 设 0m < ，若集合 }| ( ) 2{ , 0f xx m x≤ ≤= 恰有两个元素，求m 的取值范围. 解：(Ⅰ) sin (sin 3 cos ) cos (cos3 sin )( ) x x xf x xx x+ += + sin sin 3 cos cos3 sin cos cos sinx x x x x x x x= + + + cos(3 ) 2sin cos cos 2 sin 2 2 sin(2 4 x x x x x x x π= − + = + = + ） 因此 ( )f x 的最小正周期 2 2 T π π= = . 设 2 2 2 , 2 4 2 k x k Zkπ π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ . 解得 3 , 8 8 k x k Zkπ ππ π− + ≤ ≤ + ∈ . 因此 ( )f x 的单调递增区间为 3[ , ], 8 8 k k Zkπ ππ π− + + ∈ . (Ⅱ)方法一：设 ( ) 2f x = ，于是 sin(2 1 4 x π+ =） ，因此 2 2 , 4 2 x k Zkπ π π+ = + ∈ ， 解得 , 8 x k Zkπ π= + ∈ . 第 5页共 9页 因为集合 }| ( ) 2{ , 0f xx m x≤ ≤= 恰有两个元素，所以 23 15 8 8 mπ π− < ≤ − . 即 23 15( , ] 8 8 m π π∈ − − . 方法二：因为 [ ,0]x m∈ ，所以 2 [2 , ] 4 4 4 x mπ π π+ ∈ + . 若集合 }| ( ) 2{ , 0f xx m x≤ ≤= 恰有两个元素，则 11 72 2 4 2 mπ π π− < + ≤ − . 解得 23 15 8 8 mπ π− < ≤ − . 即 23 15( , ] 8 8 m π π∈ − − . 18. （本小题 14分） 已知函数 2( )f x x ax b= − + + 的图像与 x 轴交于点 (0,0)O ， (6,0)P . 曲线 ( )y f x= 在点 ( , ( ))A t f t 处的切线 l 交 y 轴于点 B . (Ⅰ) 当 1t = 时，求 l 的方程； (Ⅱ) 当0 6t< < 时，过 A作 0AA x⊥ 轴于点 0A ，求△ 0A PB 面积的最大值. 答案： (Ⅰ) 4 1y x= + ；(Ⅱ) 最大值为 16. 解析：(Ⅰ) 由题可知 0 36 6 0 b a b = − + + = ，解得 6 0 a b =  = ， ∴ 2( 6) xf x x= +− ， '( ) 2 6f x x= − + . 1t = 时 (1) 5, '(1) 4f f= = ，故切线方程 4 1y x= + ; (Ⅱ) 过点 ( , ( ))A t f t 的切线方程 '( )( ) ( ) '( ) '( ) ( )y f t x t f t f t x tf t f t= − + = − + , 2 2 26'( ) ( 6) 2tf t f t t t t t t− −+ = − + = ，所以 2(0, )B t . 故 0 2 3 2 0 1 1 1(6 ) 3 2 2 2A PB B S A P y t t t t⋅= = = +−−  . 令 3 2 1 3 2 ( )g t t t+= − ，则 23 36 ( 4) 0 2 '( 2 ) t tg t tt +− = −= − = 时， ∵ 0 6t< < ，∴ 4t = . t (0,4) 4 (4,6) '( )g t + 0 - ( )g t ↗ 极大值 ↘ ∴ max( ) (4) 16g t g= = ，故 0A PB 面积最大值为 16，当 4t = 时取到. 第 6页共 9页 19. （本小题 15分） 在△ABC 中， 7a = ， sin 7 1 sin 2b AB = . (Ⅰ) 求∠A 的大小； (Ⅱ) 从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使△ABC 存在，求△ABC 的面积. ① cos 3 5 B = − ， ② 2 2c b− = ， ③ 2 14 cos 24 0b b C− + = . (注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第 一个解答计分) 解：(Ⅰ)由正弦定理， sin sinB A b a = ， ∵ sin 7 1 sin 2b AB = ，∴ sin sin sin cos2 7 B A A A b a = = . ∵ (0, )A π∈ ，∴ sin 0A > ，故 cos 1 2 A = ， 3 A π∠ = . (Ⅱ)① cos 3 5 B = − ，∵ ( , ) 2 B π π∈ ，∴ is nin 4 s 5 A B AB π< ⇒ > −= 不存在； ② 2 2c b− = ，∵ 3 A π= ，∴ 2 2 2 ca b c b= + − ，故 2 2 2 2 44 34 4b bc c a b− −+ = = . 由 a=7 有 2 4 48, 83 bb = × = ，故 c=5. 故 1 sin 10 3 2ABC bc AS ==  . ③由余弦定理， 2 2 2 2 2 24 4 24co 4 9 112 sb aC b b c b c b ab + − ⋅ = +− = + = ， 于是 249 24c− = ，解得 5c = （负值舍去）. 因为 2 2 2 1 2 2 cos A b c a bc = + − = ，所以 2 2 25 7 1 10 2 b b + − = ， 2 5 24 0b b   , ( 8)( 3) 0b b   . 解得 8b = （负值舍去）. 故 1 sin 10 3 2ABC bc AS ==  . 第 7页共 9页 20. （本小题 15分） 已知函数 2( ) (2 4)e 2xf x x ax ax= − − + . (Ⅰ) 若曲线 ( )y f x= 在 (2, (2))f 处的切线与 y 轴垂直，求 a的值； (Ⅱ) 讨论 ( )f x 的单调性； (Ⅲ) 若存在 Rm∈ ，使得 ( ) 0f x ≥ 的解集为[ , )m +∞ ，直接写出 a的取值范围. 解：(Ⅰ) '( ) (2 2)e 2 2xf x x ax a= − − + 因为曲线 ( )y f x= 在 (2, (2))f 处的切线与 y 轴垂直， 所以 2'(2) 2e 2 0f a= − = . 因此 2ea = . (Ⅱ) ( )f x 定义域为R . '( ) (2 2)e 2 2 (2 2)(e )x xf x x ax a x a= − − + = − − (1) 0a ≤ 时，对任意 Rx  ，e 0x a  . 令 '( ) 0f x  ，则 1x = . x (-∞，1) 1 (1，+∞) '( )f x - 0 + ( )f x ↘ 极小值 ↗ ( )f x∴ 增区间为(1，+∞)，减区间为(-∞，1). (2) 0 ea< < 时， 令 '( ) 0f x = ，则 1 1x = ， 2 lnx a= ，且 ln 1a < . x (-∞， ln a ) ln a ( ln a ，1) 1 (1，+∞) '( )f x + 0 - 0 + ( )f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ( )f x∴ 增区间为(-∞， ln a )和(1，+∞)，减区间为( ln a ，1). (3) ea = 时， '( ) (2 2)(e e)xf x x= − − 对任意 x R∈ ， '( ) 0f x ≥ . ( )f x∴ 增区间为（-∞，+∞），无减区间. (4) ea > 时， 令 '( ) 0f x = ，则 1 1x = ， 2 lnx a= ，且 ln 1a > . x (-∞，1) 1 (1， ln a ) ln a ( ln a ，+∞) '( )f x + 0 - 0 + ( )f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ( )f x∴ 增区间为(-∞，1)和( ln a ，+∞)，减区间为(1， ln a ). (Ⅲ) 2[0,2e) {e }a∈ ∪ . 第 8页共 9页 21. （本小题 15分） 已知{ }na 是无穷数列， *k∈Ν ，设 1 2 }max{ , , ,k kA a a a=  ， 1 2 2min{ , , , }k k k ka a aB + +=  ． 其中 1 2max{ }, , , nx x x ( N*n )表示 1 2 ,, , nx x x 中的最大值， 1 2min{ }, , , nx x x ( N*n )表 示 1 2 ,, , nx x x 中的最小值．定义 ( 1,2,3, )k k kd A B k == −  ． (Ⅰ) 若 sin ( 1,2, ) 2n n na π= =  ，求 1d ， 2d ， 3d ， 4d 的值； (Ⅱ) 已知 d 为正数，求证：“ ( 1,2, )n d nd = − =  ”为“{ }na 是公差为 d 的等差数列” 的充 要条件； (Ⅲ) 设{ }na 各项均为整数， 1 10a = ，且 *, nn ndΝ∀ ∈ = . 若m 为正整数， n m∀ ≤ , 总有 0na ≥ ， 判断 m 是否存在最大值. 若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】 （Ⅰ） 1 11 1 2 2 2 2 3 41 0; ,max{ min{} 1 , } 1;A B A a B aa a a a= == === = = −， ， 3 2 3 3 4 5 6 4 2 3 4 4 5 6 71 81max{ min{ m, , } 1 , , } 0; , , , } 1 , , ,ax{ min }{ 1.A a a B a a A a a a B aa a a a a a= = = == = = = −， ， 1 2 3 4, ,1 2 2,1d d dd = = = = （Ⅱ）充分性。若{ }na 是公差为 d 的等差数列，由 d 为正数知{ }na 递增，故 1,n n n na aA B += =， 所以 1 .n n n n nA B ad a d+= − = − = − 充分性得证. 必要性。假设 nd d= − ，要证明{ }na 是公差为 d 的等差数列。 先证明{ }na 递增，证明如下： 因为 k kA dB− = − ，注意到 1 2 1 2 2max{ , , , min{ , , , }},k k k k k kA a a a B a a a+ += =  ， 所以 1k k k kA Ba a +<≤ ≤ 对任意 N*k  成立. 因此{ }na 递增. 由{ }na 递增得 1,n n n na aA B += =， 所以 1,n nn n nA B a ad d +− = = −= − 即 1 .n na a d+ − = 所以{ }na 是公差为 d 的等差数列。必要性得证。 （Ⅲ）由条件， 1 2 2 2 1 21 10 , 9;1 ....d a a a a A A− = − = ≤ ≤= = 第 9页共 9页 ①{ }na 中没有最小值. 否则，假设{ }na 中最小的项为 ,ta 则 2,t ≥ 1 1 , ,t t t t t tA BA a aB− −= = ≥， 2,t ≥ 1 11 ,t t t tAt A B tB− − −≥− =− = 矛盾. ②定义数列{ }kn 如下： 1 2,n = 1 min{ | , }.kk k n nn n n n a a+ = > < 由于{ }na 中没有最小值，数列 { }kn 是无穷数列。 ③对任意的正整数 1, 2 .k kk n n+ ≤ 否则，若有 1 2 ,k kn n+ > 则 1 1 1 2min{, , ,..., } ,k k k k k k k kn n n n n n n na aA A B B a a− − += ≥= = 1 11 ,k k k k k kk n n n n n n kn A B A A Ba n− −− = − ≥ − == − 矛盾！ ④假设 *( )n m m∀ ≤ ∈Ν 总有 0na ≥ ，则 2047.m ≤ 否则，若 2048,m ≥ 则 1 2 2048, ,...,a a a 全为非 负数。另一方面， 1111 2 2048,n ≤ = 1 2 39 ....n n na a a= > > , 所以 11 0,na < 矛盾！ ⑤构造：定义数列{ }na 如下： 2 2 10 , 9 2 ( 0,1,2,...; 1,2,..., 2 1)r r r rsa r a r s r s+= − = − + + = = − 可验证： * 1 10, ,, nna nd= ∀ ∈ =Ν 1 2 2047 2048, ,..., 0, 1 0.a a a a≥ = − < 综上，m 的最大值为 2047. 高一第二学期期末试卷 数学 (高24级)2025.07 年级 班 姓名 考号」 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1.已知全集U=(-2,3],A=(-1,0),则A= A.(-2,-1U[0,3] B.(-2,-1)U(0,3] c.[o,3 D.(0,3] 2.已知复数：=1-31 1+ 则z的实部为 A.4 B.-4 C.1 D.-1 3.设实数a,b满足a>b,则 A.a2>b2 B.2°>2 c.a>阿 D.sina>sinb 4.已知平面向量a=(m,2),b=(-2,4).若a/(2atb),则m= A.-4 B.4 C.-1 D.1 5.已知f(x)=2,则f(1+1og23)= A.6 B.5 C.4 D.3 6.下列函数中，存在极小值的是 A.y=lgx B.y=x(x-1(x-2) C.y=2 D.y=x+sinx 7.已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，“S3>a3”是“S,>a5”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 第1页共4页 8.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包 括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺 (称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最 长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至。图2是一个根据北京的地理 位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC)为26.5·，夏 至正午太阳高度角（即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长)为a,则表高（即AC的长）为 夏至正午阳光 度至乘 冬至正午阳光 华至 表 日 北 夏至纷 冬至线 图1 2 A.asin53° B.2sin47" 2sin47 asin53" C.atan 26.5'tan 73.5" D.asin26.5sin73.5° tan 47 sin 47" 9.如图所示，已知正方形ABCD的中心为点O,其边长为2.分别以A,B,C,D为圆 心，1为半径作圆.若动点P,Q,M,N分别在圆A,圆B,圆C,圆D上，则 1O丽+00+OM+ON1的最大值为 A.5 B.2 C.2W2 D.4 10.已知f(x)的定义域为R,对于任意的xeR,总有f(2+x)=f(2-x), f(2x)+2=[f(x)成立，且f(x)在[0,2]单调递减.则下列选项错误的是 A ro+)-1 B.f(2025)=1 C.f(x)为偶函数 D.If(x)s2 第2页共4页 第二部分（非选择题 共110分) 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分， 11.函数f(x)=ln(2-x)的定义域为 12使等式s血a=cos(a+孕成立的-个a的值为 13.已知平面向量a,b满足a=a-bl=2,<a,b>=,则b.(a+b)=」 14.已知f（x)= 「-x2+a2,x21或x≤-1， ax, -1<x<1. (1)当a=1时，函数f(x)的极值点的个数为 (2)若Vx1eR,3x2eR,为≠x,使得f(:)=f(x2),则a的取值范围为 15.已知数列{an}的各项均为正数，马=a,a2=b,且对于任意的n∈N*有 an42=V1+a-an1an恒成立.给出下面四个结论： ①a3≥a+ ②存在a,b,使得{an}单调递增： ③若a<b,则对于任意的n∈eN”,都有a2<a2mHi ④若对于任意neN,an3=an成立，则{an}为常数列. 其中正确命题的序号为 三、解答题共6道小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 已知数列{an}为等差数列，公差d为整数，a4+a2=-4,且a2+2,a4,a6+2成等比 数列。 (I)求{an}的通项公式： ()记6=a2n,c,=(,求数列{6n+c}的前n项和Sn 17.(本小题13分) 已知函数f(x)=sinx(sin3x+cosx)+cosx(cos3x+sinx). (I)求f(x)的单调递增区间及最小正周期： (Ⅱ)设m<0,若集合{x|f(x)=√互，m≤x≤0}恰有两个元素，求m的取值范围. 第3页共4项 18.(本小题14分) 已知函数f(x)=-x2+ax+b的图像与x轴交于点O(0,0),P(6,0),曲线y=f(x)在点 A(G,ft)》处的切线1交y轴于点B. （I)当t=1时，求1的方程： (Ⅱ)当0<t<6时，过A作AA⊥x轴于点A,求△APB面积的最大值， 19.(本小题15分) 在△ABC中，a=7,sinB=二bsin2A, (I)求∠A的大小： (Ⅱ)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积. 0osB=-子 ②2c-b=2, ③b2-14 bcosC+24=0. (注：如果选择的条件不符合要求，得0分：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第 一个解答计分) 20.(本小题15分) 已知函数f(x)=(2x-4)e*-ax2+2ax. (I)若曲线y=f(x)在(2，f(2)》处的切线与y轴垂直，求a的值： (Ⅱ)讨论f(x)的单调性： (Ⅲ)若存在m∈R,使得f(x)之0的解集为[m,+o∞)，直接写出a的取值范围. 21.(本小题15分) 已知{an}是无穷数列，keN”,设A=max{a,a2,…,a}，B,=min{ak,ak+2,…,a2k}. 其中max{,为，…，xn}(n∈N*)表示，2，…，xn中的最大值，min{,2,…,x}(n∈N*)表 示，x2,…,x中的最小值.定义d=4-B(k=1,2,3,) (1)若a=sn受a=l,2小，求4,4,4，d的值： (I)已知d为正数，求证：“dn=-d(n=l,2,”为“{an}是公差为d的等差数列”的充 要条件： ()设{an}各项均为整数，a1=10,且neN”,dn=n,若m为正整数，n≤m,总有an之0， 判断m是否存在最大值.若存在，求m的最大值：若不存在，请说明理由. 第4页共4页