两角和与差的三角函数、二倍角公式讲义-2026届高三数学一轮复习

两角和与差的三角函数、二倍角公式 课前学习任务 一、必备知识 1．两角和、差公式 (1) 两角和与差的余弦、正弦和正切公式 名称 公式 两角差的余弦 cos(α－β)＝____ 两角和的余弦 cos(α＋β)＝____ 两角和的正弦 sin(α＋β)＝____ 两角差的正弦 sin(α－β)＝____ 两角和的正切 tan(α＋β)＝____ 两角差的正切 tan(α－β)＝____ 说明：正切公式中，α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z)． (2) 辅助角公式 函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值确定． 2．二倍角公式 S2α sin 2α＝____； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝____＝____； 降幂公式：cos2α＝____， sin2α＝____ T2α tan 2α＝ *3．半角公式 sin＝±；cos＝±； tan＝±＝＝． 二、练基础 1．计算：cos＝(　　) A． B． C． D． 2．(人A必一P220练习T2(1))若cosθ＝－且θ∈，则sin的值为(　　) A． B．－ C． D． 3．(多选)下列等式成立的是(　　) A．sin＝cos2 B．cos73°cos28°＋sin73°sin28°＝ C．tan15°＝2－ D．sin40°＋cos40°＝sin70° 4．(人A 必一P254复习参考题T12(3))若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)＝____． 5．(人A必一P255复习参考题T15(2))已知cosα＋cosβ＝，sinα＋sinβ＝，则cos(α－β)的值为____． 课堂核心考点 考点一 和、差、倍角公式的直接应用 例1　(1)已知sin(α－β)＝，cosαsinβ＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2) (多选)下列等式正确的是(　　) A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C．＝ D．cos215°－sin215°＝ 题组强化 1．已知tan α＝，则cos 2α＝(　　) A．－ B． C． D．－ 2．设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　 B．b＞a＞c C．c＞a＞b　 D．a＞c＞b 3．已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 4．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α＝____． 考点二 拆、配角问题 例2　(1) 已知cos＝，则sin＝____． (2) 已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－，则cos 2α＝__－__；tan(α－β)＝____． 题组强化 1．若 sin ＝，则cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 2．已知sin＝，－＜θ＜，则tan＝(　　) A．－ B． C． D．－ 3． ＝(　　) A．1 B． C． D．2 4．已知2coscos－cos 3x＝，则sin＝(　　) A． B．－ C． D．－ 课后提升练 1．已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(　　) A． B． C． D． 2．若锐角α满足sin α－cos α＝，则sin＝(　　) A． B．－ C．－或 D．－或 3．已知sin(2α＋β)＝，cos αcos(α＋β)＝，则tan α＋tan(α＋β)＝(　　) A． B． C． D． 4．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝____． 答案解析 课前学习任务 1. (1) cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β　sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β　　 2. 2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α 　 1. A　【解析】 cos ＝cos ＝×－×＝. 2. A　【解析】 因为θ∈，所以sin θ>0.因为cos θ＝－，所以sin θ＝＝，所以sin＝sin θcos ＋cos θsin ＝×－×＝. 3. ABC　【解析】 sin ＝cos 2，故A正确；cos 73°·cos 28°＋sin 73°sin 28°＝cos (73°－28°)＝cos 45°＝，故B正确；tan 15°＝tan (60°－45°)＝＝2－，故C正确；sin 40°＋cos 40°＝sin 40°cos 60°＋cos 40°sin 60°＝sin (40°＋60°)＝sin 100°＝sin 80°，故D错误． 4. 2　【解析】 由tan (α＋β)＝＝tan ＝－1，得tan α＋tan β－tan αtan β＋1＝0，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2. 5. －　【解析】 因为cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，所以(cos α＋cos β)2＝，(sin α＋sin β)2＝，上述两式相加得cos2α＋2cosαcos β＋cos2β＋sin2α＋2sinαsin β＋sin2β＝＋，即2＋2cos(α－β)＝，解得cos (α－β)＝－. 课堂核心考点 例1　(1) B　【解析】 由sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，cos αsin β＝，得sin αcos β＝，则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos (2α＋2β)＝cos [2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝. (2)BD　【解析】 对于A，cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin (52°－82°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－，故A错误；对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B正确；对于C，＝tan (48°＋72°)＝tan 120°＝－，故C错误；对于D，cos215°－sin215°＝cos30°＝，故D正确． 题组强化 1. B　【解析】 因为＝，所以4sin2α＋11sinα－3＝0，解得sin α＝或sin α＝－3(舍去)，所以cos 2α＝1－2sin2α＝. 2．D　【解析】 a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos (50°－127°)＝cos (－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin (56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin 12°.因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sin x单调递增，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，即a>c>b. 3. A　【解析】 由cos (α＋β)＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m. 4. 　【解析】 由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，所以cos (β－α)＝.因为γ∈，所以sin γ＝sin β－sin α＞0，又α，β∈，所以β＞α，所以0＜β－α＜，所以β－α＝. 例2　(1) －　【解析】 因为2α＋＝2＋，所以sin ＝sin ＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－. (2)－　－　【解析】 因为tan α＝，所以sin α＝cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，因此tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝－. 题组强化 1. C　【解析】 cos ＝－cos ＝－cos (2α＋)＝－＝－1＋2×＝. 2．C　【解析】 因为－<θ<，所以0<θ＋<，所以cos ＝，故tan ＝，tan ＝tan [2(θ＋)－]＝＝－＝－＝－＝－＝. 3. C　【解析】 ＝＝＝＝. 4．D　【解析】 由2cos cos －cos [(2x＋)＋(x－)]＝，化简得cos cos (x－)＋sin (2x＋)sin ＝cos [(2x＋)－(x－)]＝cos (x＋)＝.令t＝x＋，则x＝t－，所以sin ＝sin ＝sin ＝cos 2t＝2cos2t－1＝2×－1＝－. 课后提升练 1．A　【解析】 由3cos 2α－8cos α＝5，得6cos2α－8cosα－8＝0，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝＝. 2．B　【解析】 sin α－cos α＝sin ＝，则sin (α－)＝.因为α∈，则α－∈，cos (α－)＝，所以sin ＝sin ＝－sin [2(α－)]＝－2sin cos ＝－2××＝－. 3. D　【解析】 由sin (2α＋β)＝sin [α＋(α＋β)]＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)＝，两边同时除以cos αcos (α＋β)，得tan α＋tan (α＋β)＝÷＝. 4. －　【解析】 由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z.又因为tan (α＋β)＝－2<0，所以α＋β∈((2m＋2k)π＋，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0.又＝－2，联立 sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$