精品解析：贵州省毕节市实验高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

毕节市实验高级中学2025学年高二下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解出集合，再求解即可 【详解】 故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的求解，集合交集的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 2. 若角α的终边过点A(2，1)，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得到，由诱导公式得到，代入即可. 【详解】因为角α的终边过点A(2，1)，则由三角函数定义，， 则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数定义、诱导公式，注意正负号的选取. 3. 水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ） A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算两种水稻产量平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误，即可得出正确选项. 【详解】对于选项A：甲种水稻产量的平均数：， 乙种水稻产量的平均数：， 所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故选项A不正确； 对于选项B：甲种水稻产量分别为：，中位数为， 乙种水稻产量分别为，中位数为， 所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，故选项B不正确； 对于选项C：甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为： ，甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等，故选项C不正确； 对于选项D：甲种水稻的产量的方差为： 乙种水稻的产量的方差为： ， 甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等， 甲种水稻的产量的方差小于乙种水稻的产量的方差， 所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，故选项D正确， 故选：D. 4. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（ ） A. －7 B. 7 C. －28 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】先由已知条件求得n＝8，再得出二项式的展开式的通项公式Tr＋1＝(－1)r (r≤8且r∈N)，令8－r＝0，求得r＝6，可得选项． 【详解】∵二项式系数最大项只有一项时，n为偶数，此时第项的二项式系数最大，∴，∴n＝8． 二项式的展开式的通项公式Tr＋1＝(－1)r (r≤8且r∈N)， 令8－r＝0，得r＝6，故常数项为T7＝(－1)6＝7． 故选：B. 【点睛】本题考查二项式展开式中二项式系数的最大项和常数项，关键在于准确地得出二项式展开式的通项，属于基础题. 5. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，求出，即可求出离心率. 【详解】将双曲线方程化为标准方程为， ，则， . 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 6. 已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图像与函数的图像的交点为，（其中表示不超过x的最大整数），则下列说法正确的个数（ ） ①是非奇非偶函数函数；②；③；④. A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】对于①,利用特殊值验证，可判断；对于②，根据的含义，明确函数的解析式，进而作出图象，数形结合，可判断；对于③，确定，求和，即可判断；对于④，根据，结合等比数列的前n项和公式，即可判断，由此可得答案. 【详解】对于①，函数，则， 故且，即是非奇非偶函数函数，①正确； 对于②，函数定义域为，满足， 当时，， 则当时，，故， 当，， ， 当时，，， 当，， ， 故当，函数在上单调递减， 在上单调递增， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，函数， 作出函数的部分图象，如图， 由图象可知，当时，函数的图象有唯一公共点， 因， 又满足的整数有2024个，即，②正确； 对于③，， 所以，③正确； 对于④，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，④正确， 故选：D 【点睛】难点点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数奇偶性以及函数值变化的规律以及求和问题，解答的难点在于明确的含义，进而明确函数的解析式特征，数形结合，进行解答. 7. 的二项展开式中第三项是（ ） A. B. 160 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二项展开式，即可求出二项展开式中第三项. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 要求二项展开式中第三项， 令r=2,得：. 故选：D 8. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性，单调性的定义判断． 【详解】是奇函数，但不是增函数，是奇函数也是增函数，不是奇函数也不是偶函数，是偶函数． 故选：B． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握基本初等函数的性质是解题基础． 二、多选题 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 取最小值时 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用，求出的通项公式判断A；写出的通项公式，判断是否为常数可判断B；判断数列中项的正负可推出取最小值时n的值判断C；根据数列中项的正负可去绝对值符号，再利用等差数列求和公式进行求解判断D. 【详解】对于A，当时，， 而满足上式，因此，故A正确； 对于B，，数列是等差数列，故B正确； 对于C，由选项A知，数列单调递增，由，得，即数列前5项均为负数， 第6项为0，从第7项起为正数，取最小值时或，故C错误； 对于D， ，故D正确． 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次 C. 若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法 【答案】BC 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式可判断A；两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，通过计算即可判断B；先对进行排列，再将放入位置中即可，列出式子计算即可判断C；分3人，1人一组，和2人，2人一组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可. 【详解】因为，故A错误； 因为6人两两握手，共握（次），故B正确； 先在5个位置中选出3个位置，对进行全排列，剩下两个位置将放入即可， 故有：（种），而正确的共有1种， 所以可能出现的错误共有（种），故C正确； 因为， 当按3，1分组时，先选1人单独一组，剩下3人为一组， 再将两组分配到两个不同科室中：共（种）分法， 当按2，2分组，在4人中选出2人到呼吸科，剩下2人自动去感染科， 故有：（种）分法，故共有（种）安排方法，故D错误． 故选：BC 11. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有3个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数得到图象，得出的符号，求得的单调性和极值点，由此确定正确答案． 【详解】根据函数的图象得： 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当，，单调递减， 所以有3个极值点，其中和是的极大值点， 且在上单调递增，是的极小值点， 结合选项，可得A、C、D正确，B错误． 故选：ACD 三、填空题 12. 已知向量与的夹角是，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出，即可求出. 【详解】因为向量与的夹角是，且， 所以. 所以. 故答案为：2 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】解：因为， 所以， 又 故切线方程为， 整理为， 故答案为： 14. 用0，1，2，3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有_____个. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，个位是0和个位不是0，分别求出个数并相加即可得出结论． 【详解】解：个位是0，有个； 个位不是0，有个， 故共有个． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查排列以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，属于基础题. 四、解答题 15. 二项展开式． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，从而可求出， （2）分别令，然后两式相减可求得结果 【小问1详解】 展开式通项：， ， ∴； 【小问2详解】 令x＝1得：①， 令x＝-1得：②， ①②得：， ． 16. 已知函数.求: （1）f(x)在处的切线方程； （2）f(x)在上的最小值和最大值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为1 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程； （2）首先利用导数判断函数的单调性，根据单调性求函数的极值，算出端点值通过比较即可求出最值. 【小问1详解】 由条件 因为，， 所以在处的切线方程为 【小问2详解】 因为，令， 当时，；当时， 所以在单调递减，在单调递增. 从而当时，有极小值，即为最小值. 因为，，， 所以当时，有最大值为. 17. 已知四棱锥，，，为等边三角形，为的中点. （I）证明：平面； （II）若为等腰三角形，，且，求二面角的余弦值. 【答案】（I）见解析；（II） 【解析】 【分析】（I）取的中点，连接，则，从而得到平面.在四边形中，可证，从而平面，因此平面平面，故可得平面. （II）连接，作于点，作于点，连接，可证为二面角的平面角， 在中，，从而可得二面角的余弦值. 【详解】（I）取的中点，连接，则， 又平面，平面 所以平面. 连接，由，，可知 ，且，则，所以， 又平面，平面 所以平面，而，所以平面平面. 又因为平面，所以平面. （II）连接，因为为等腰直角三角形，则. 而且，所以. 又，，所以平面， 而平面，所以平面平面， 作于点，作于点，连接， 因平面平面，平面，所以平面. 又平面，所以， 因，则平面，平面，所以. 所以为二面角的平面角. 不妨设，则在中，，， 所以，所以. 所以二面角的余弦值为. 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 18. 某学习小组有3个男生和4个女生共7人： （1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？ （2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？ （3）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照插空法，先排男生，再排女生，即可求解； （2）分男生甲在最右边和男生甲不站最左边也不在最右边两种情况，结合排列数公式，即可求解； （3）将4名女生全排列，排好后有5个空位可插，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，即可得到答案. 【小问1详解】 根据题意，分2步进行分析： ①将3个男生全排列，有种排法，排好后有4个空位， ②将4名女生全排列，安排到4个空位中，有种排法， 则一共有种排法． 【小问2详解】 根据题意，分2种情况讨论： ①男生甲在最右边，有， ②男生甲不站最左边也不在最右边，有， 则有种排法． 【小问3详解】 根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析： ①将4名女生全排列，有种情况，排好后有5个空位可插， ②将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有种情况， 则有种排法． 19. 已知函数f(x)＝x3－ax－1. （1） 当a=0时，求f(x)在点 (－1，-2)处的切线方程. （2）若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）当时，求出函数f(x)和导函数，进而利用点斜式方程写出切线方程； （2）在区间上为增函数，即在上恒成立，分离参数求出最值，可得a的取值范围． 【详解】（1）当时，，， 所以曲线在处切线斜率为， 所以切线方程为：，即． （2）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，即取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 毕节市实验高级中学2025学年高二下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若角α的终边过点A(2，1)，则（ ） A. B. C. D. 3. 水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ） A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 4. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（ ） A. －7 B. 7 C. －28 D. 28 5. 双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图像与函数的图像的交点为，（其中表示不超过x的最大整数），则下列说法正确的个数（ ） ①是非奇非偶函数函数；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 的二项展开式中第三项是（ ） A B. 160 C. D. 8. 下列函数既是奇函数又是增函数是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 取最小值时 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次 C. 若把英文“”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种 D. 将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法 11. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有3个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 三、填空题 12. 已知向量与的夹角是，且，则________． 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________． 14. 用0，1，2，3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有_____个. 四、解答题 15. 二项展开式． （1）求； （2）求． 16. 已知函数.求: （1）f(x)在处的切线方程； （2）f(x)在上最小值和最大值. 17. 已知四棱锥，，，为等边三角形，为中点. （I）证明：平面； （II）若为等腰三角形，，且，求二面角的余弦值. 18. 某学习小组有3个男生和4个女生共7人： （1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？ （2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？ （3）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？ 19. 已知函数f(x)＝x3－ax－1. （1） 当a=0时，求f(x)在点 (－1，-2)处的切线方程. （2）若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$