精品解析：天津市弘毅中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试题

天津市弘毅中学2024—2025学年度第一学期期中测试 高三数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填写在答题纸上. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由解得，所以， 而，所以. 故选：A 2. “”是“函数在上单调递减的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当时，， 由，则，单调递减成立，即充分性成立； 当时，函数在上单调递减， 推不出成立，如，故必要性不成立； 综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象的对称性，确定其奇偶性，由此排除BC，再观察函数在时的函数值的正负，由此排除D. 【详解】观察函数可得其图象关于原点对称，故函数为奇函数， 若，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数，矛盾，故B错误， 若，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数，矛盾，故C错误， 观察图象可得当时，， 当时，，矛盾，故D错误， 当时，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数， ，满足上述条件. 故选：A. 4. 已知球的表面积为，则该球的体积是（ ）cm³ A. 64π B. 144π C. 288π D. 216π 【答案】C 【解析】 【分析】先求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则， 所以球的体积为. 故选：C 5. （ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】运用分数指数幂以及对数的运算公式进行化简求值. 【详解】解： . 故选：A. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为， ， ，且. 所以. 故选：A 7. 在数列中，，，则等于（ ） A. 630 B. 648 C. 660 D. 675 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【详解】依题意，由，得，数列是首项，公差的等差数列， 则，当时，，当时，， 所以 . 故选：C 8. 已知向量在向量方向上的投影向量的模为，向量在向量方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量投影向量的模的定义得出与之间的关系，再利用向量垂直得到向量数量积为零建立一个方程，将关系式代入方程中，结合向量夹角的范围解出即可. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量的模为， 向量在向量方向上的投影向量的模为1， 所以，， 所以有：， 因为， 所以 ， 即 因为，所以， 又，所以， 故选：B. 9. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由根据函数奇偶性与周期性，将方程恰有两个根，转化为与的图象有2个交点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】当时，，解得：， 所以 ， 又因为函数是偶函数，关于轴对称，并且周期， 若方程恰有两个根， 即函数与的图象有2个交点， 如图，画出函数和的图象， 当时，，，当直线过点时，此时直线的斜率，由图象可知若函数与的图象有2个交点，只需满足，解得或，即的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 10. 若，且，则的共轭复数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数相等的性质建立方程求解参数，再求所求复数即可. 【详解】因为，所以， 所以，故，解得， 可得，故 它的共轭复数为：. 故答案为： 11. 若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______________．当x等于______________时，中等号成立． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据基本不等式1的代换，求出的最小值，结合基本不等式分析求解. 【详解】因为两个正实数x，y满足， 且恒成立，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以实数m的取值范围是，当且仅当时，等号成立. 故答案为：；2. 12. 与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为1的圆柱和高为2的圆柱的一半拼成，由圆柱体积公式可求得结果. 【详解】作出几何体的轴截面如下图所示： 则所求几何体是由一个底面直径为2，高为1的圆柱， 和一个底面直径为2，高为2的圆柱的一半构成， 则所求几何体体积为： ， 故答案为：. 13. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则__________；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：解法一：由图结合向量加减法可得答案；解法二：如图建立直角坐标系，由题意可得答案；第二空：在上一空解法二的基础上，设，结合题意可得关于的表达式 ，即可求得取值范围. 【详解】第一空：解法一：因为，即，则， 可得，所以； 解法二：由题意可知： 以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 第二空：因为点在线段上， 设，且为中点，则， 可得， 则， 因为时函数递增， 所以当时，取到最小值为； 当时，取到最大值为； 则的取值范围为， 故答案为：；. 14. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是________．（写出下列选项的序号即可） ①．函数的图象关于直线对称 ②．函数的图象关于对称 ③．该图象向右平移个单位长度可得的图象 ④．函数在上单调递增 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据函数图象结合正弦函数图象性质求出函数的解析式，然后逐项分析即可. 【详解】由图可知，设函数的最小正周期为， 则，所以，由及， 又，所以， 又，所以， 所以， 对①：由，即， 令，则为函数的一条对称轴；故①正确； 对②：由，即， 令， 故函数的图象不关于点对称，故②不正确； 对③：的图象向右平移个单位长度可得： ，故③正确； 对④：因为，所以， 由函数在上不单调， 所以函数在上不单调；故④不正确； 故答案为：①③. 15. 已知数列满足，，则________；设数列的前n项和为，则________．（第二个空结果用指数幂表示） 【答案】 ①. 28 ②. 【解析】 【分析】①分为偶数和奇数时求出数列的通项公式，进而可求出；②利用分组求和法和等比数列的前项和公式求出的值. 【详解】由得， 当为偶数时，为奇数，则， 所以，故，即，为偶数； 当为奇数时，为偶数，则； 所以； 利用分组求和法， . 故答案为：①28；②. 三、解答题：本大题共5小题，第16题14分，第17题15分，第18题15分，第19题15分，第20题16分，共75分. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）先把函数化成的形式，再求函数的周期与单调增区间. （2）问题转化成在一定范围内有两解，利用数形结合的方法，求的取值范围. 【小问1详解】 依题意， ， 所以的最小正周期， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得， 作出函数，的图象， 由图知，当时，方程在上有两个不同的实根， 所以实数的取值范围是. 17. 已知的内角所对应的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． （3）若，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开，利用正弦定理边化角，再结合三角形中即可求解； （2）根据题意，利用余弦定理求解，将已知条件代入三角形面积公式即可； （3）根据余弦定理得到边的关系，利用基本不等式求出的最大值，进而求出的最大值． 【小问1详解】 ， 因此，根据题意，， 由正弦定理可得，即， 在中，， 所以， 即，， ，故. 【小问2详解】 依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，，， 解得， 根据三角形面积公式得. 【小问3详解】 依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，， 由基本不等式可知，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 综上，， 即当时，取最大值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示： 在中，因为，分别是为棱，的中点， 所以为中位线， 所以，且， 又，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线，平行四边形性质以及线面平行的判定定理即可证明； （2）结合已知条件建立空间直角坐标系，分别写出相应的点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解即可； （3）在（2）的基础上利用向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面，平面， 所以，又， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，如图所示： 因为，，且， 所以四边形是边长为2的正方形， 所以， 因为为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 即平面的一个法向量为， 又平面，平面, 所以，由，且， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为： ， 所以点到平面的距离为. 19. 已知数列为等差数列，是公比不为0的等比数列，，，，． （1）求，； （2）设，求数列{cn}的前n项的和； （3）设，求数列的前n项的和 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出关于公比、公差的方程组，解得与，从而得解； （2）先求出，根据错位相减法求和得出结果； （3）先得出，再根据裂项相消法求和得出结果. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为， 依题意有，解得， 故，. 【小问2详解】 ， ，① ，② ①-②得 ， 即. 【小问3详解】 ， 所以，即. 20. 已知函数 （1）求函数单调区间； （2）设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为 （2）①； ②不妨设，由①知：， ，， 在上单调递增，在上单调递减； 设，则， 在上单调递减，，， 又，，又，； ，，在上单调递增， ，则. 【解析】 【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间； （2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果； ②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论. 【小问1详解】 定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为. 【小问2详解】 ①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点； 由（1）知：，又， 在的图象如下图所示， 由图象可知：，，即的取值范围为. ②略 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市弘毅中学2024—2025学年度第一学期期中测试 高三数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填写在答题纸上. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数在上单调递减的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知球的表面积为，则该球的体积是（ ）cm³ A. 64π B. 144π C. 288π D. 216π 5. （ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 7 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，则等于（ ） A. 630 B. 648 C. 660 D. 675 8. 已知向量在向量方向上的投影向量的模为，向量在向量方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 9. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 10. 若，且，则的共轭复数为____________． 11. 若两个正实数x，y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______________．当x等于______________时，中等号成立． 12. 与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为____________． 13. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则__________；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为__________. 14. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是________．（写出下列选项的序号即可） ①．函数的图象关于直线对称 ②．函数的图象关于对称 ③．该图象向右平移个单位长度可得的图象 ④．函数在上单调递增 15. 已知数列满足，，则________；设数列的前n项和为，则________．（第二个空结果用指数幂表示） 三、解答题：本大题共5小题，第16题14分，第17题15分，第18题15分，第19题15分，第20题16分，共75分. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围． 17. 已知的内角所对应的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． （3）若，的面积为，求的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知数列为等差数列，是公比不为0的等比数列，，，，． （1）求，； （2）设，求数列{cn}的前n项的和； （3）设，求数列的前n项的和 20. 已知函数 （1）求函数单调区间； （2）设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $