精品解析：四川省成都市树德中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

树德中学高2024级高一下期期末测试数学试题 命题人：高一数学备课组 审题人：罗莉、李波波、唐颖君 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 某学校高一、高二、高三年级的人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由分层随机抽样的方法可知，所以． 故选：D． 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出直角梯形的面积，然后根据原平面图形的面积与直观图的面积之间的关系求出结果. 【详解】根据题意，该图形的直观图是直角梯形， 则其面积， 那么该平面图形的面积为. 故选：D. 3. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以， 所以. 故选：B. 4. 已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD可举出反例；B选项，利用线面平行的性质定理、平行关系的转化判断即可. 【详解】对于A，若，，则，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误； 对于B，若，设，，，则． 又，则． 因为，，则， 所以，故B正确； 对于C，若，，则，即垂直于同一直线两个平面平行，故C错误； 对于D，若，，则，或，故D错误． 故选：B． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先切化弦，然后用两角和与差的正弦公式进行求解即可得到答案. 【详解】因为，所以，化简得： . 因为，所以. 所以. 所以. 故选：D. 6. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图： 在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 7. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为的形式，然后根据的取值范围求出的取值范围，再结合图象与性质，找出函数在给定区间上有且仅有个零点时的取值范围． 【详解】对进行化简：  令，即，则． 根据正弦函数的性质，所以或，解得或．  因为且， 当时，，； 当时，，． 如图函数和大致图像， 由于函数在区间上有且仅有个零点，则需满足，解不等式组得到可得．  所以实数的取值范围是． 故选：D． 8. 如图，中，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在，根据余弦定理求，再把转化成，分别求的值和的范围，即可求解. 【详解】在中，由余弦定理可得： . 所以. 又四边形是边长为1的正方形，所以，. 因为. 又， ， 因为，所以，所以. 所以. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用复数乘法法则和模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则计算；C选项，可举出反例；D选项，先得到复数的集合为复平面内，到点的距离等于1的圆，由复数的集合意义得到的最小值. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，若复数，满足，但，C错误； D选项，若复数满足， 则复数的集合为复平面内，到点的距离等于1的圆， 表示圆上的点到点的距离，的最小值为， 显然圆心到的距离为， 则的最小值为，D正确. 故选：ABD 10. 在中，，，，点为边上一动点，则（ ） A. B. 当为边上的高线时， C. 当为边上的中线时， D. 当为角的角平分线时， 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由余弦定理验算即可；对于B，由等面积法验算即可；对于C，由公式验算即可；对于D，将所求转换为即可. 【详解】对于A，由余弦定理有，故A正确； 对于B，当为边上的高线时，由等面积法有， 即，解得，故B错误； 对于C，当为边上的中线时， ，故C正确； 对于D，当为角的角平分线时，设， 由三点共线可知，，解得， 所以，故D错误. 故选：AC. 11. 在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，且，点，，分别为棱，，的中点，则（ ） A. B. 平面与平面所成角的正弦值为 C. 过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形的周长为 D. 设点为侧面内（包括边界）的一动点，且，则点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到线面垂直，得到⊥，结合⊥，得到线面垂直，证出；B选项，作出辅助线，得到即为平面与平面所成角，由余弦定理和勾股定理求出各边长，由正弦定理得到；C选项，作出辅助线，得到五边形即为过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形，并求出各个边的长度，相加得到周长；D选项，证明线面垂直，得到点的轨迹为以为圆心，长度为半径的圆在侧面的部分，求出两段圆弧的圆心角，从而求出弧长，得到答案. 【详解】A选项，取的中点，连接， 因为为中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为底面是边长为1的正方形，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，故⊥， 因为，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； B选项，连接，交相交于点，连接， 因为，分别为棱，的中点，故，， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，， 所以即为平面与平面所成角， 其中，，故， ，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 由正弦定理得，即， 解得，B错误； C选项，直线与直线分别相交于，连接， 分别与相交于，连接， 故五边形即为过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形， 由于≌，所以，，， 由A知，⊥，由B知，，故， 在中，，由余弦定理得 ， ，由于，由勾股定理逆定理得， 所以，在Rt中，， 故，同理可得， 由B可知，，故， 由于为的中点，由三线合一可得， 由对称性，又， 所以截面图形的周长为，C错误； D选项，因为平面，平面，所以， 又⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 点为侧面内（包括边界）的一动点，且， 由勾股定理得，如图所示， 的中点为，则⊥，，又， 所以点的轨迹为以为圆心，长度为半径的圆在侧面的部分， 即与两部分，其中， 所以，同理，故， 所以，D正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 向量 ，若 ，则实数 的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算求解. 【详解】因为向量  ，且 ， 所以. 故答案为：6. 13. 天府熊猫塔位于四川省成都市戍华区猛追湾街，是中国西部第一高塔．塔上发射中央台、四川省台、成都市台以及数字移动电视、手机电视等新媒体频道，覆盖半径公里，是四川省广播、电视、微波传输发射枢纽．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机沿着仰角的方向靠近塔，飞行了到达点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，且、、、四点在同一平面上，则该塔的高度为______m．（参考数据：取） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，证明出，可得出，由锐角三角函数的定义得出，结合勾股定理可得出、的长，分析可知为等腰直角三角形，可得出，由此可求得塔高. 【详解】如下图所示，过点D作，垂足为点， 由题意可知，，，， 故，所以， 在和中，，，， 所以，，故， 在中，，故， 所以，可得，故， 因为，，所以为等腰直角三角形，则， 因此. 故答案为：. 14. 如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别确定外接球球心的位置，再求外接球半径，进而可得外接球的表面积. 【详解】对第一种情况，如下图： 取的中点，连接，，在线段上取点，使得，则为正三角形的重心. 因为，所以为的外心，即. 又为等边三角形，所以，又平面，平面平面，平面平面， 所以平面. 所以. 又为正三角形的重心，所以也是正三角形的外心，所以. 所以为的外接球球心. 因为，所以，所以外接球半径. 所以外接球表面积为：. 对第二种情况：如图： 因为为的外接圆圆心，为正的外接圆圆心. 过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心. 因为二面角的余弦值为， 所以，所以. 又，所以. 所以三棱锥外接球. 所以此时三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值． （2）求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数． 【答案】（1） （2），，64 【解析】 【分析】（1）由各个矩形面积之和为1列方程求解即可； （2）根据频率分布直方图中众数、百分位数以及平均数的定义逐一计算即可. 【小问1详解】 由频率分别直方图的性质，可得， 解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图，可得众数为， 因为前2组频率和为，前3组的频率和为, 所以80%分位数在第3组，设80%分位数为， 则，解得，所以80%分位数为73， 这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为：， 所以这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为64． 16. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求三棱锥的体积． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）只需分别求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式求解即可； （3）由等体积法求解即可. 【小问1详解】 折叠前，，折叠后，， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故． 【小问2详解】 由（1）问可知，平面，所以三棱锥的高， 又因为折叠前为，点，分别为，的中点， 所以， 所以； 【小问3详解】 设点到平面的距离为，则有， 又有，故解得． 17. 已知向量，，设函数. （1）化简并写出的最小正周期； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，若，，求周长的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求出周期； （2）利用变换角，再由两角差正弦公式即可求值； （3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性即可求值域. 小问1详解】 故最小正周期为. 【小问2详解】 因为，由，则， 所以， 则 ； 【小问3详解】 因为，又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长 ， 由为锐角三角形,可得， 因为都在上单调递增， 所以在上单调递减， 即 所以的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合平面平面以及面面垂直的性质即可得证； （2）由线面平行的性质得，所以，进一步即可求解； （3）由二面角的定义说明是二面角的平面角，设，结合的取值范围得，由线面角的定义说明为直线与平面所成的角，进一步得，结合的范围即可求解. 【小问1详解】 如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 因为，，所以，故． 【小问3详解】 如图，取的中点， 因为平面，，平面，所以，． 又，分别是，的中点，所以， 由，得， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，则， 所以是二面角的平面角，即． 因为是边长为6的等边三角形，所以． 设，则，，得， 过作交于，连接，由平面，得平面， 所以为直线与平面所成的角，即． 由得，， 在中，． 在中，由余弦定理可得， 所以，所以 因为，所以， 所以的取值范围为． 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在锐角中，由正弦定理求出，利用同角三角函数的平方关系求出.利用三角形垂心性质可得，结合三角形诱导公式即可求解； （2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知.故要使取得最小值，只需最小.分析可知当三点共线最小，即可求解. （3）由向量减法运算可知，由圆的性质可知，，从而.由（1）可求，可求解.在锐角中，由二倍角公式、三角形内角和定理、诱导公式及正弦定理可解.由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可求得，同理可求，，本题即可求解. 【小问1详解】 在锐角中，∵，其外接圆O的半径为， ∴由正弦定理可得：，解得. . 由题可知，. 【小问2详解】 设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知. 故要使取得最小值，只需最小. 在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时. ∴， 即的最小值为. 【小问3详解】 由（1）可知：，. ，. 又， ∴由圆的性质可知. 又， ∴，解得. ∴在锐角中，，， ，. ∴由正弦定理可得：， ∴， 在中，由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可得，. 同理可得， ， ∴. 【点睛】本题的解题关键是利用点H是的垂心找到角与内角的关系，用诱导公式和正弦定理即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 树德中学高2024级高一下期期末测试数学试题 命题人：高一数学备课组 审题人：罗莉、李波波、唐颖君 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 某学校高一、高二、高三年级的人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则的最小值为 10. 在中，，，，点为边上一动点，则（ ） A. B. 当为边上的高线时， C. 当为边上的中线时， D. 当为角的角平分线时， 11. 在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，且，点，，分别为棱，，的中点，则（ ） A. B. 平面与平面所成角的正弦值为 C. 过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形的周长为 D. 设点为侧面内（包括边界）一动点，且，则点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 向量 ，若 ，则实数 的值为_____. 13. 天府熊猫塔位于四川省成都市戍华区猛追湾街，是中国西部第一高塔．塔上发射中央台、四川省台、成都市台以及数字移动电视、手机电视等新媒体频道，覆盖半径公里，是四川省广播、电视、微波传输发射枢纽．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机沿着仰角的方向靠近塔，飞行了到达点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，且、、、四点在同一平面上，则该塔的高度为______m．（参考数据：取） 14. 如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值． （2）求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数． 16. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求三棱锥体积． （3）求点到平面的距离． 17. 已知向量，，设函数. （1）化简并写出最小正周期； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，若，，求周长的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$