5.1　直角三角形的性质定理 第2课时 教案 2025-2026学年数学湘教版八年级上册

5.1　直角三角形的性质定理 第2课时 【教学目标】 1.理解直角三角形的性质“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”; 2.掌握直角三角形的性质“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°”. 3.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受. 【重点难点】 重点:直角三角形的性质. 难点:直角三角形性质的应用. 【教学过程】 一、复习 直角三角形有哪些性质? 1.两锐角互余. 2.斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形还有哪些性质呢?这节课我们继续探究直角三角形的性质.(板书课题) 二、探究归纳 1.按要求画图,然后完成下面的问题 (1)画∠MON,使∠MON=30°. (2)在OM上任意取点P,过P作ON的垂线PK,垂足为K,量一量PO,PK的长度,PO,PK有什么关系? (3)在OM上再取点Q,R,分别过Q,R作ON的垂线QD,RE,垂足分别为D,E,量一量QD,OQ,它们有什么关系?量一量RE,OR,它们有什么关系? 2.由此你发现了什么规律? 在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.下面我们来研究这个问题. 3.探究 如图,Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°. 求证:BC=AB. 分析:要判断BC=AB,可以考虑取AB的中点, Rt△ABC中,BD=AD,那么CD=AB=BD, 又因为∠A=30°,所以∠B=60°,BD=CD, 则△BDC一定是等边三角形. 由学生完成推理证明过程 证明:取AB的中点,连接CD. 因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, 所以CD=AB=BD, ∠BCA=90°,∠A=30°, 所以∠B=60°, 所以△BDC是等边三角形. 所以BC=BD=AB. (师:这个定理的得出除了上面的方法外,你还有没有别的方法呢?先让学生交流,得出把△ABC沿着AC翻折,利用等边三角形的性质证明.) 归纳:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 4.逆定理 (1)上面问题中,把条件“∠A=30°”与结论“BC=AB”交换,结论还成立吗? 分析:取AB的中点,连接CD,判断△BCD是等边三角形,得出∠B=60°,从而∠A=30°. (2)学生交流 证明:取AB的中点D,连接CD. 因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, 所以CD=AB=BD. 因为BC=AB, 所以BC=BD=CD, 所以△BDC是等边三角形, 所以∠B=60°. 因为∠A+∠B=90°, 所以∠A=30°. (3)你能把上面的发现用文字语言表达吗? 归纳:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°. 5.例题讲解 例2　如图,在A岛周围20海里水域内有暗礁,一轮船由西向东航行到O处时,测得A岛在北偏东60°的方向,且与轮船相距30海里,若该船继续保持由西向东的航向,那么有触礁的危险吗? 分析:取轮船航向所在的直线为OB.过点A作AD上OB,垂足为D.AD长为A岛到轮船航道的最短距离,若AD大于20海里,则轮船由西向东航行就不会有触礁的危险,所以根据条件计算AD的长与20海里比较大小. 学生思考、讨论,教师板书过程 解:在题图中,过点A作AD⊥OB,垂足为D,连接AO. 在Rt△AOD中,AO=30海里,∠AOD=30°, 于是AD=AO=×30≈25.98>20. 由于AD长大于20海里,所以轮船由西向东航行不会触礁. 三、交流反思 (1)在直角三角形中,可以根据角的大小确定边之间的关系.即“在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”. (2)在直角三角形中,可以根据边之间的关系确定角的大小.即“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°”. 四、检测反馈 1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,若AB=10 cm,则BC的长为________.  2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,垂足为点E,交BC边于点D,BD=16 cm,则AC的长为________.  3.如图在△ABC中,若∠BAC=120°,AB=AC,AD⊥AC于点A,BD=3,则BC=________.  五、布置作业 六、板书设计 5.1直角三角形的性质定理 第2课时 探究 性质 例2 …… …… …… …… …… …… 七、教学反思 　　在探究“直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”时,首先通过学生画、量,提出问题引入新课,再引导学生对问题进行分析、证明,从而发现问题的实质,符合学生的认识规律. 　　优点:本节课以“引入概念,探究过程,探究结果,运用结果”为主线安排教学进程,高度重视学生的主动参与、亲自研究、动手操作,让学生从中体验学习知识的过程,引导学生在发现问题、分析问题、解决问题的基础上,培养自主学习的能力. 　　缺点:教师讲解的内容过多,学生思考的问题设计不多. 学科网（北京）股份有限公司 $$