13.2 与三角形有关的线段（同步培优满分特训卷）2025-2026学年人教版数学八年级上册尖子生练习卷（2025新教材）

13.2 与三角形有关的线段 试题数量：26题 试题满分：100分 难度系数：0.48（较难） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）三角形三边长分别为4，，7，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和；据此求解即可． 【规范解答】解：依题意，，即， 故选：A． 2．（本题2分）（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分面积，推出，即可． 【规范解答】解：∵点D，E分别为边，上的中点， ∴分别为的中线， ∴，，， ∴． 故选：A． 3．（本题2分）（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【思路引导】根据D，E分别为，的中点，得， ，于是得到，解答即可． 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 【规范解答】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴． 故选：C． 4．（本题2分）（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【规范解答】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 5．（本题2分）（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【规范解答】解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 6．（本题2分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，延长交于点H．设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【规范解答】解：延长交延长线于点H．设交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：D． 7．（本题2分）（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【规范解答】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 8．（本题2分）（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，于点，交于点，，四边形和都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法： （1）； （2）若连接，则且； （3）的面积为18，且被直线平分； （4）若连接，则四边形的面积为90． 其中正确的说法个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】由正方形的性质可得，再由，，即可判断（1）；证明即可得到，再根据角之间的关系可得，即可判断（2）；作交于，交于，证明，，，得到三角形之间的面积关系，即可判断（3）；作交于，交于，则，证明，，得到三角形之间的面积关系，再由，进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：四边形和都是正方形， ，，， ，， ，故（1）正确，符合题意； 在和中， ， ， ，， 如图，令和交于点，和交于点， ，，， ， ， ， ，故（2）正确，符合题意； 作交于，交于， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ，， ， ， ， ， ，， ， ，故（3）正确，符合题意； 作交于，交于，则， 四边形为梯形， 同理证得：，， ，，，，，， ，故（4）正确，符合题意； 综上所述，正确的有（1）（2）（3）（4），共4个， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质以及三角形全等的判定与性质，找准个图形之间的面积关系，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 9．（本题2分）（22-23八年级上·安徽铜陵·期中）在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】①易证，从而即可得到；②由可得，再根据即可判断；③综合④的面积存在最小值和⑤四边形的面积为即可判断；④根据，再根据点到直线垂线段最短可知当时，最小，即此时的面积最小；⑤根据全等三角形面积相等可知：，再利用中点平分面积即可得到四边形的面积． 【规范解答】解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 、是等腰直角三角形， ,， 又， ， ， 在和中， ， ， ，,， 故①正确， ， ， 的度数不变， 故②正确， ,， ， 当时，最小， 当最小时，的面积存在最小值， 故④正确， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形的面积为， 故⑤正确， ， ， 的面积存在最小值， 的面积存在最大值， 故③错误， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、点到直线之间，垂线段最短等知识点，通过推理论证每个命题的正误是解决此题的关键． 10．（本题2分）（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了基本作图方法，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键． 延长交于，依据，即可得到，进可得到，据此可得 ． 【规范解答】解：如图所示，延长交于， 由作图可得，平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（共8小题，每题2分，共18分） 11．（本题2分）（24-25八年级上·湖南益阳·期中）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【规范解答】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 12．（本题2分）（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，A，B，C分别是线段的中点，若的面积是1，那么的面积 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查了三角形的面积，连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，从而求出的面积，同理可求的面积，的面积，然后相加即可得解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵A、B分别是线段的中点， ∴，， ∴， 同理：， ∴的面积． 故答案为：7． 13．（本题2分）（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 14．（本题2分）（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是点关于直线的对称点，连接，则的最小值是 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了动点最值问题，解题过程涉及到轴对称性质、三角形三边关系、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定的取值范围．连接，，首先结合矩形的性质以及勾股定理解得的长度，再根据对称性得到，在中根据三角形三边关系可得，所以当三点共线时，最短，然后求解即可． 【规范解答】解：连接，，如图所示， ∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∵点和关于对称， ∴， 在中根据三角形三边关系可得， ∴当三点共线时，最短， ∴． 故答案为：2． 15．（本题2分）（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ． 【答案】4或5 【思路引导】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【规范解答】解：， ∴= 即， ， 、中有一个数为．          当时， 解得：．          、、能构成等腰三角形， 符合题意；                                当时，、、能构成等腰三角形， 符合题意．               综上所述：的值为或． 16．（本题2分）（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有 （填序号）． 【答案】②③④⑥ 【思路引导】本题考查三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【规范解答】解： 是的中线， ， 故④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， 故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出， 故⑤错误； F不一定是的中点， 不能得出， 故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑦错误； ，， ， ， 故⑥正确； 综上可知，正确的有②③④⑥， 故答案为：②③④⑥． 17．（本题2分）（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【思路引导】先根据垂直定义和等角的余角相等证得，，再利用可判断①正确；再证明可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误． 【规范解答】解：在中，，， ，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ，故①正确； ， ，， ， 在和中， ， ∴，故②正确； ∵，， ，，，， ，故③正确； 中， ， 故④错误， 综上，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【考点剖析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 18．（本题2分）（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，点D在AC边上，点E在BC边上，且DB平分，，，则 ． 【答案】 【思路引导】过点作 ，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，根据设，通过导角可得，，进而可得，进而证明，推出，根据直角的面积等于求得，进而求得 【规范解答】解：如图，过点作 ，交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 设 则 DB平分， 又 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形三线合一，能找到全等三角形是解答此题的关键． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质与判定，与三角形高有关的计算，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由三角形内角和定理得到，再由角度和差计算得到，则； （2）设点到边的距离为，由面积法得到，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵是的两条高线， ∴． 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：设点到边的距离为， ∵是的两条高线 ∴ ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点到边的距离为． 20．（本题6分）（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)24 【思路引导】本题考查了利用网格的特点作图． （1）根据轴对称的特点，作出图形即可； （2）利用长方形的特点找到边，的中点，两条中线的交点即可为重心； （3）利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：的重心O如图所示； （3）解：四边形的面积为． 故答案为：24． 21．（本题8分）（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【规范解答】（1）解：如图，过点A作， 则 ．    （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 22．（本题8分）（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【思路引导】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 23．（本题8分）（24-25八年级上·广东茂名·期中）【阅读理解】 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，则的边的“中偏度值”为． 【尝试应用】 如图2，在中，，，， （1）______，边上的高______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】 如图3，点A为直线上方一点，点A到直线的距离，点B在直线上，且，若点C在直线上，且， （3）求的边的“中偏度值”． 【答案】（1），   （2）   （3）或 【思路引导】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理及应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的思想方法． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出， 中BC边上的高和该边上的中点到BC的距离， （2）根据“中偏度值”的定义即可求解； （3）分两种情况：当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）∵AE为斜边上的中线， ∴ ， ， 则的边的“中偏度值”为； （3）①当在外部时，作的中线， 如图， ， ， ， ∵为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则'的边的“中偏度值”为； ②当在内部时，作的中线，如图， ， ，， ， ∵为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则的边的“中偏度值”为 综上所述，的边的“中偏度值”为或． 24．（本题8分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如果整式A能写成整式B的平方，即，则整式A是完全平方式，例如，，则我们将和称为完全平方式． 在数学学习中，我们经常将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为一个完全平方式来解决问题，例如：． (1)代数式①，②，③，④中，是完全平方式的是 （填序号）； (2)若a，b，c是的三边长，比较与0的大小关系，并说明理由； (3)若，则的最小值为 ． 【答案】(1)①③④ (2)，见解析 (3) 【思路引导】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式、三角形的三边关系和非负数的性质是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解； （2）先把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系求解； （3）先把代数式变形，再配方求解． 【规范解答】（1）解：∵①， ③， ④， 故答案为：①③④； （2）； 理由：∵a，b，c是的三边长， ∴，，，， ∴ ； （3）∵， ∴ ， 故答案为：． 25．（本题10分）（24-25八年级上·云南昆明·期末）综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】 （3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【思路引导】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点，使，连接，证明，得，又，有，故，从而，即得； （3）延长至点，使，连接，证明，得，由，平分，得，而，有，可得，故，因，故，可得，又，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【规范解答】解：（1）如图中，延长至点，使， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ． 【考点剖析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等边对等角，等角对等边，角平分线的定义，三角形面积，三角形三边关系等知识，解题的关键是读懂题意，掌握“倍长中线法”． 26．（本题10分）（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，等腰中，，点D是上一动点，点分别在延长线上，且． 【问题思考】（1）在图①中，求证：； 【问题再探】（2）若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】（3）若且平分，如图③，若，则的值为_______． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【思路引导】（1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出； （3）延长交于点H，易证，得出．再证明，得出，从而即可求解． 【规范解答】解：（1）证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2），理由如下， 如图，在上取点G，使，连接． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴； （3）解：延长交于点H，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，角平分线的应用等知识．掌握全等三角形的性质和判定是解题关键，正确作出辅助线构造等边三角形和全等三角形也是关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2 与三角形有关的线段 试题数量：26题 试题满分：100分 难度系数：0.48（较难） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）三角形三边长分别为4，，7，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（　） A． B． C． D． 3．（本题2分）（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 4．（本题2分）（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 5．（本题2分）（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A．4 B．4.5 C．6 D．8 7．（本题2分）（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（本题2分）（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，于点，交于点，，四边形和都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法： （1）； （2）若连接，则且； （3）的面积为18，且被直线平分； （4）若连接，则四边形的面积为90． 其中正确的说法个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（本题2分）（22-23八年级上·安徽铜陵·期中）在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（本题2分）（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共8小题，每题2分，共18分） 11．（本题2分）（24-25八年级上·湖南益阳·期中）已知、、是三角形的三边长，化简： ． 12．（本题2分）（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，A，B，C分别是线段的中点，若的面积是1，那么的面积 ． 13．（本题2分）（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 14．（本题2分）（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是点关于直线的对称点，连接，则的最小值是 ． 15．（本题2分）（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ． 16．（本题2分）（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有 （填序号）． 17．（本题2分）（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是 ． 18．（本题2分）（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，点D在AC边上，点E在BC边上，且DB平分，，，则 ． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 20．（本题6分）（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 21．（本题8分）（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 22．（本题8分）（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 23．（本题8分）（24-25八年级上·广东茂名·期中）【阅读理解】 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，则的边的“中偏度值”为． 【尝试应用】 如图2，在中，，，， （1）______，边上的高______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】 如图3，点A为直线上方一点，点A到直线的距离，点B在直线上，且，若点C在直线上，且， （3）求的边的“中偏度值”． 24．（本题8分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如果整式A能写成整式B的平方，即，则整式A是完全平方式，例如，，则我们将和称为完全平方式． 在数学学习中，我们经常将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为一个完全平方式来解决问题，例如：． (1)代数式①，②，③，④中，是完全平方式的是 （填序号）； (2)若a，b，c是的三边长，比较与0的大小关系，并说明理由； (3)若，则的最小值为 ． 25．（本题10分）（24-25八年级上·云南昆明·期末）综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】 （3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 26．（本题10分）（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，等腰中，，点D是上一动点，点分别在延长线上，且． 【问题思考】（1）在图①中，求证：； 【问题再探】（2）若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题拓展】（3）若且平分，如图③，若，则的值为_______． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$