培优专题01 三角形、与三角形有关的线段-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

培优专题01 三角形、与三角形有关的线段 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•无棣县期末）一个三角形的两边长为2和6，若第三边长为偶数，则第三边长为（　　） A．8 B．4 C．6 D．2 2．（2024秋•泸西县期末）如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．BE B．DB C．CF D．AF 3．（2025•重庆开学）若一个三角形的两边长分别是2和3，这个三角形第三边的长可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2025•江岸区校级开学）下列对三角形的角平分线、中线和高的认识中正确的是（　　） A．它们都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段 C．高是直线，其余是线段 D．高是直线，角平分线是射线，中线是线段 5．（2024秋•凉州区校级期末）已知一个三角形的两边长分别为3和9，若第三边长为偶数，则第三边长为（　　） A．7或9 B．9或11 C．6或8 D．8或10 6．（2024秋•古蔺县期末）下列说法错误的是（　　） A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线在三角形外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 7．（2024秋•邻水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BE＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABC＝2S△ABF 8．（2024秋•巴东县期末）如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（　　） A．AB+AD＞BD B．PD+CD＞PC C．AB+AC＞BP+PC D．AP+BP+CP＞AB+BC+AC 9．（2024•凉州区校级开学）如图，△ABC中，CD是中线，BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm，△ADC的周长是（　　） A．20 B．25 C．30 D．35 10．（2024秋•陵川县期中）将三角形纸片ABC按照下面四种方式折叠，得到AD，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•文登区期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为　 　 个． 12．（2025春•连平县期中）已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边为x，则x的取值范围是 　 　 ． 13．（2024秋•大洼区校级期末）若三角形两边长分别是3，4，则第三边c的取值范围是　 　 ． 14．（2025春•北京校级期末）如图，AE为△ABC的中线，AB＝4cm，AC＝3cm，△ACE的周长为10cm，则△ABE的周长为　 　 cm． 15．（2024秋•霸州市期末）实践活动课上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三根小棒的长分别是m，m+1，m+2，若它们能构成三角形，则正整数m的值可以为 　 　 ．（写出1个即可） 16．（2024秋•凉州区校级期末）如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6，△ACD的周长为24，则△ABD的周长为 　 　 ． 17．（2024秋•凉州区校级期末）如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．若BC＝6，AC＝4，则BD+AE＝ 　 　 ． 18．（2024秋•肥城市期末）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为 　 　 ． 19．（2025春•阳山县期末）如图，AD是△ABC的中线，AC＝6cm，AB＝4cm，且△ABD的周长为11cm，则△ACD的周长是 　 　 cm． 20．（2025春•桐柏县期末）如图，△ABC中，AB＝8cm，BC＝5cm，BD是△ABC的中线，则△ABD的周长比△BCD的周长大 　 　 cm． 三、解答题（共4小题） 21．（2024秋•杨陵区期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知BC﹣AC＝5，△DBC的周长为25，求△ADC的周长． 22．（2024秋•宁津县校级月考）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线． （1）作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG； （2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？ 23．（2024秋•望奎县校级期中）已知BD是△ABC的中线，△ABD的周长比△BCD的周长大2cm，若△ABC的周长为18cm，且AC＝4cm，求AB和BC的长． 24．（2024秋•北京期中）如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 一、选择题（共10小题） 1．【答案】C 【分析】设第三边边长为x，再根据三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求出x的取值范围，最后再根据第三边长为偶数即可解答． 【解答】解：设第三边边长为x， ∵三角形的两边长为2和6， ∴6﹣2＜x＜6+2，即4＜x＜8， 又∵第三边长是偶数， ∴x＝6， 故选：C． 2．【答案】D 【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可． 【解答】解：由图可知，△ABC中BC边上的高是AF 故选：D． 3．【答案】A 【分析】设这个三角形第三边的长为x，根据三角形三边关系求出第三边的取值范围为1＜x＜5，即可得解． 【解答】解：设这个三角形第三边的长为x， 由三角形三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5， 故这个三角形第三边的长可能为4， 故选：A． 4．【答案】A 【分析】线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量；三角形的中线，角平分线，高线都是线段，因为它们都有两个端点；接下来根据线段、射线、直线的定义和特点对各选项分析即可． 【解答】解：三角形的中线、角平分线、高线都是线段． 故选：A． 5．【答案】D 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长． 【解答】解：设第三边为x， 则根据三角形的三边关系，9﹣3＜x＜9+3， 解得6＜x＜12， ∵第三边长为偶数， ∴第三边长是8或10． 故选：D． 6．【答案】C 【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线的性质分析各个选项． 【解答】解：A、锐角三角形的三条高线、三条角平分线分别交于一点，故本选项说法正确； B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部，故本选项说法正确； C、直角三角形也有三条高线，故本选项说法错误； D、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线，故本选项说法正确； 故选：C． 7．【答案】A 【分析】根据三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积知识逐项进行判断即可． 【解答】解：∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF，而BE与CF不一定相等，A说法错误，符合题意； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，C说法正确，不符合题意； ∵BF＝CF， ∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意； 故选：A． 8．【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系和不等式的性质解答． 【解答】解：由三角形三边关系，可得AB+AD＞BD；PD+CD＞PC，选项A、选项B不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， 可得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，AB+AD+CD＞PC+BD﹣PD，AB+AC＞PC+BP，选项C不符合题意； ∵AP+BP＞AB， BP+CP＞BC， AP+CP＞AC， ∴将不等式左边，右边分别相加，可得2（AP+BP+CP）＞AB+BC+AC， 选项D无法推出AP+BP+CP＞AB+BC+AC，符合题意． 故选：D． 9．【答案】A 【分析】由三角形中线的定义得到AD＝BD，得到△DBC与△ADC周长的差是5cm，即可求出△ADC的周长． 【解答】解：∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∴BC+CD+BD﹣（AC+CD+AD）＝BC﹣AC， ∵BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm， ∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝20cm． 故选：A． 10．【答案】C 【分析】AD为三角形的高，则AD⊥BC．所以∠ADB＝90°，然后对各选项进行判断． 【解答】解：AD是△ABC的高的是． 故选：C． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】3． 【分析】先根据角的个数判断三角形的个数，再根据三角形内角和定理，由于有4个直角，2个钝角，则有4个直角三角形和2个钝角三角形，则余下的三角形为锐角三角形． 【解答】解：4+2+21＝27（个），即共有27个角，27÷3＝9（个），则共有9个三角形， 而有4个直角，2个钝角， 所以有4个直角三角形和2个钝角三角形， 9﹣4﹣2＝3（个）．所以锐角三角形有3个， 故答案为：3． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为3、7， ∴第三边x的取值范围是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10． 故答案为：4＜x＜10． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】利用三角形的三边关系可得4﹣3＜c＜4+3，再解即可． 【解答】解：∵三角形两边长分别是3，4， ∴4﹣3＜c＜4+3， 即1＜c＜7， 故答案为：1＜c＜7． 14．【答案】11． 【分析】根据中线的定义得到BE＝CE，然后根据△ACE的周长可得AE+EC＝AE+BE＝11cm，然后计算△ABE的周长即可． 【解答】解：∵AE为△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∵△ACE的周长为10cm，AC＝3cm， ∴AE+EC＝AE+BE＝7cm， ∵AB＝4cm， ∴AB+BE+AE＝11（cm）， 故答案为：11． 15．【答案】2（不唯一）． 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此列不等式即可． 【解答】解：∵根据三角形的三边关系，m＜m+1＜m+2，它们能构成三角形， ∴m+m+1＞m+2， 整理得，2m﹣m＞2﹣1， 解得m＞1， 所以正整数m的值可以为2， 故答案为：2（不唯一）． 16．【答案】26． 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ACD的周长为24， ∴AC+AD+CD＝24， ∵AC＝6， ∴AD+CD＝24﹣AD﹣CD＝24﹣6＝18， ∴AD+BD＝18， 又∵AB＝8， ∴AB+AD+BD＝8+18＝26， 所以△ABD周长为26， 故答案为：26． 17．【答案】5． 【分析】根据三角形重心的定义可得线段BD、AE长，再相加即可． 【解答】解：∵点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E． ∴BD，AE， ∴BD+AE（BC+AC）5． 故答案为：5． 18．【答案】6． 【分析】根据三角形中线的性质推得，再根据高相等的两个三角形面积比等于底边比得到、，最后根据三角形中线性质即可推得两阴影部分的面积和． 【解答】解：由题意可得：， ∵AG：GD＝2：1， ∴，， ∵BE、CF是△ABC的中线， ∴E、F是AB、AC的中点， ∴，， ∴S阴影＝S△BFG+S△CEG＝3+3＝6． 故答案为：6． 19．【答案】13． 【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝BD，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， ∵△ABD的周长为11cm， ∴AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝11cm， ∵AB＝4cm， ∴CD+AD＝7cm， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝13cm， 故答案为：13． 20．【答案】3． 【分析】根据中线的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长即可求解． 【解答】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴AB+BD+AD﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝8﹣5＝3（cm）， 即△ABD的周长﹣△BCD的周长为3cm， 故答案为：3． 三、解答题（共4小题） 21．【答案】20 【分析】由三角形的中线定义得到AD＝BD，于是BC+BD+CD﹣（AC+AD+CD）＝BC﹣AC＝5，即可得到△ADC的周长＝20． 【解答】解：∵CD是AB边上的中线， ∴AD＝BD， ∴BC+BD+CD﹣（AC+AD+CD）＝BC﹣AC＝5， ∵△DBC的周长为25， ∴25﹣（AC+AD+CD）＝5， ∴△ADC的周长＝AC+AD+CD＝20． 22．【答案】（1）见解析； （2）EF＝4． 【分析】（1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）如图所示，EF、DG即为所求作； （2）∵AD为△ABC的中线，BE 为△ABD的中线， ∴， ∴， ∵△ABC的面积为 40，BD＝5， ∴10， ∴EF＝4， 即△BED中BD边上的高EF为4． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】由BD是△ABC的中线，可得AD＝CDAC，由△ABD的周长比△BCD的周长大2cm，可得AB﹣BC＝2①，由△ABC的周长为18cm，且AC＝4cm，可得4+AB+BC＝18②， 联立①②即可求出AB与BC的长． 【解答】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CDAC， ∵△ABD的周长比△BCD的周长大2cm， ∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝2①， ∵△ABC的周长为18cm，且AC＝4cm， ∴4+AB+BC＝18②， 联立①②得：AB＝8，BC＝6． 故AB长8cm，BC长6cm． 24．【答案】AC＝48，AB＝28． 【分析】先根据AC＝2BC和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①AC+CD＝60，②AC+CD＝40，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系． 【解答】解：设BD＝CD＝x，则AC＝2BC＝4x， ∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AB＞BC， ①当AC+CD＝60，AB+BD＝40时， 4x+x＝60， 解得：x＝12， ∴AC＝4x＝4×12＝48， BD＝CD＝12， ∴AB＝40﹣BD＝40﹣12＝28， ∴AB＝28＞BC＝24，满足条件； ∵BC+AB＝28+24＝52＞AC＝48，满足三边关系， ∴AC＝48，AB＝28； ②当AC+CD＝40，AB+BD＝60时， 4x+x＝40， 解得：x＝8， ∴AC＝4x＝4×8＝32， ∴BD＝CD＝8， AB＝60﹣BD＝60﹣8＝52， ∵AC+BC＝32+16＝48＜52＝AB， ∴不满足三角形的三边关系， ∴不合题意，舍去， ∴AC＝48，AB＝28． 学科网（北京）股份有限公司 $