5.4角平分线的性质 教学设计2025-2026学年湘教版数学八年级上册

5.4　角平分线的性质 【教学目标】 1.探索并证明角平分线性质定理及逆定理. 2.会用角平分线性质定理及逆定理解决问题. 3.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的性质及判定,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别. 【重点难点】 重点:理解角平分线的性质及判定并能初步运用. 难点:对角平分线性质定理中点到角两边的距离相等的正确理解. 【教学过程】 一、创设情境 1.引导学生回顾上节课的主要内容. 2.三角形中有哪些重要线段?你能作出这些线段吗? 3.多媒体展示如下问题,请学生思考. 如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗? 二、探究归纳 1.实验与探究 师:同学们,在纸上任意画一个∠BAC,把它沿经过点A的某条直线对折,使角的两边BA与AC重合,然后把纸展开后辅平,记折痕为AD,如图,你们发现∠BAC是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是哪条直线? 学生思考,交流,然后教师找学生代表回答问题. 2.角平分线的性质 师:如图,在∠BAC的平分线AD上任意取一点P,过点P作PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别是点M,N,用圆规比较PM与PN的大小,你们有什么发现?说明你的理由,由此你得出什么结论? 学生思考,与同桌进行交流,然后组织语言回答. 生:PM=PN,理由是△APM≌△APN. 教师根据学生的叙述作出总结并板书:角平分线上的点到角两边的距离相等 用符号语言表示为: 因为AD是∠BAC的平分线, PM⊥AB,PN⊥AC, 所以PM=PN 注意: (1)利用角平分线的性质可以证明两条线段相等. (2)角平分线是一条射线,它不是线段,也不是直线. (3)点到角的两边的距离是两条垂线段. 3.角平分线性质的逆定理 我们知道,角平分线上的点到角两边的距离相等,反过来,到—个角两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢? 如图:点Q在∠AOB内,QD⊥OA,QE⊥OB,且QD=QE. 求证:OQ是∠AOB的平分线. 师:你会证明△OQE≌△OQD吗? 生思考,分组交流,最后做出总结. 证明过程,多媒体展示, 从而得到: 板书:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 用符号语言表示为: 因为QD⊥OA,QE⊥OB, 所以点Q在∠AOB的平分线上. 4.例题讲解 例1　如图,∠BAD=∠BCD=90°,∠1=∠2, (1)求证:点B在∠ADC的平分线上. (2)求证:BD是∠ABC的平分线. 分析:利用角平分线的性质,得到BA=AC,然后利用角平分线性质定理的逆定理得到结论 证明:(1)在△ABC中, 因为∠1=∠2, 所以BA=BC. 又因为BA⊥AD,BC⊥CD, 所以点B在∠ADC的平分线上. (2)在Rt△BAD和Rt△BCD中, 因为BA=BC,BD=BD, 所以Rt△BAD≌Rt△BCD. 所以∠ABD=∠CBD. 所以BD是∠ABC的平分线. 例2　如图,在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P,作PE⊥DB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F.试探索BE+PF与PB的大小关系. 分析:利用角平分线的性质,得到PE=PF,然后利用三角形三边关系思考. 解:因为AP是∠DAC的平分线, PE⊥DB,PF⊥AC, 所以PE=PF. 在△EBP中,BE+PE>PB, 所以BE+PF>PB. 三、交流反思 1.角平分线上的点到角的两边的距离相等,它的逆命题也成立. 2.三角形的角平分线的交点到三角形三边的距离相等. 四、检测反馈 1.如图所示,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则PC与PD的大小关系是 (　　) A.PC>PD　　　　　　　　B.PC=PD C.PC<PD D.不能确定 2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AE=AC,下列结论中错误的是 (　　) A.DC=DE B.∠AED=90° C.∠ADE=∠ADC D.DB=DC 3.到三角形三边距离相等的点是 (　　) A.三条高的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.不能确定 4.如图所示,三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划修一个油库,要求到三条公路的距离相等,可供选择的地址有 (　　) A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 5.已知△ABC的外角平分线BD,CE相交于点P.求证:点P在∠A的平分线上 五、布置作业 六、板书设计 5.4角平分线的性质 推理 定理 例 …… …… …… …… …… …… 七、教学反思 　　本节课通过学生的推理总结出角平分线的性质定理及逆定理,这样能够让学生对角平分线的性质定理及逆定理得到充分的理解,这点是这节课成功的地方.练习的设计有层次感,能够让学生进行不同程度的练习,有助于学生对新知识的理解. 优点:对于教学重难点的突破,在教学中利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容,在学生脑海中加深印象,从而对性质定理正确使用. 缺点:课堂上讲解的内容过多. 学科网（北京）股份有限公司 $$