分段函数“零点和”的最值一题多变系列讲义-2026届高三数学一轮复习

第12题 分段函数“零点和”的最值（一题多变） 【2025届南通9月调研】已知函数，若，，则的最大值为______． 【思路分析】 设，画出的图象，根据余弦函数的对称性，可知，利用函数值相等有，转化成一个变量的函数，利用导数求解出函数单调性，即可求得最值. 设，则的图象如图所示， 即的图象与的图象有3个交点，横坐标依次为，且 由余弦函数图象的性质可知，， 又，所以，令， 则，令，解得或， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 又因为，所以， 所以， 故答案为：. 【题后反思】 分段函数零点问题，往往需要根据函数解析式画出函数图象，挖掘函数图象中隐藏的信息，应用数形结合的思想， “零点和”问题，本质上是多变量求和问题，需要有减元的思想，本题中先运用了函数的对称性进行消元，随后又用了函数值相等这一等量关系，进行了变量的转换，从而达到将多个变量化为单变量函数的目的.最后只要研究单变量函数的单调性，便可求得所求式子的最值或范围． 变函数载体，仍求“零点和”的范围 【变化角度】改变题中所给函数，仍求分段函数的零点和的范围最值，如下： 例：已知定义域为的函数，且满足，若方程的解为，则的范围为 ． 【思路分析】 画出函数草图，数形结合可得，，结合对数的性质有、，进而可求目标式的范围. 由题意知定义域为的函数，且满足， 即函数为奇函数， 根据解析式可得如下函数草图，的解为， 不妨设， 结合，由图知：，， 由，则， 所以，可得， 而，可得， 所以在上单调递增， 则. 故答案为： 【举一反三】 1．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解． 【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，且当时，， 所以当时，， 因为函数有六个零点， 所以函数与函数的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图， 不妨设， 由图知关于直线对称，关于直线对称， 所以，而， 所以，所以， 所以，取等号的条件为， 因为等号取不到，所以， 又当时，，所以， 所以. 故选A 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 2．设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【分析】画出图形，结合图象即可得单调区间；根据图形分析可得，进而求出范围. 【详解】解：作出函数图像如下 由图象可知的单调递减区间是（区间开闭均可）； 若互不相等的实数，，满足 不妨设，则关于对称，所以 根据图像可得 所以，所以的取值范围为. 故答案为：（区间开闭均可）；. 变设问，求零点个数 【变换角度】将原题中求分段函数“零点和”最值范围问题变为求分段函数零点个数问题，如下： 例：函数的零点个数为（ ） A．1    B．2    C．3    D．4 【思路分析】 根据零点的定义，当时，将问题转化为求方程根的个数，分别画出函数与的图象，观察交点个数即可判断零点个数；当时，将问题转化为求方程根的个数，分别画出函数与的图象，观察交点个数即可判断零点个数，由此即可求解. 当时，函数的零点即为方程的根， 如图，由函数与的图象可知，两函数的图象有两个交点， 即函数在上有2个零点； 当时，函数的零点即为方程的根，如图， 由函数与的图象可知，两函数的图象有且只有一个交点， 即函数在上有1个零点． 综上，函数的零点个数为3． 故选：C 【举一反三】 3．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先利用零点和根的关系得到或，然后再利用函数的零点和函数交点的关系求零点的个数即可. 【详解】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 4．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案. 【详解】设，则化为， 又， 所以，， 作出函数的大致图象，如图 由图可得，当时，有两个根，， 即或，此时方程最多有5个根； 当时，有三个根， 即或或， 此时方程最多有6个根； 当时，有两个根，即或， 此时方程有4个根； 当时，有一个根，即， 此时方程有2个根； 综上，方程的实数解的个数至多是6个. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 变设问，求参数范围 【变换角度】将原题中求“零点和”的最值范围问题变为已知零点个数求分段函数参数范围问题，如下： 例：已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是 ． 【思路分析】 有三个零点可转化为两个二次方程解的情况，分情况讨论，结合二次函数性质列方程，解方程. 由已知， 则， 当时，令，即，可转化为， 当时，令，即， 又两方程分别至多有个解，又函数有个零点，所以两方程共个解， （1）若时方程有个解，设为，， 则，解得； 此时当时，方程有且只能有个解， 则方程在上只有一解，即，； 或方程有两根，分别设为，，则，解得； 综上所述，此种零点分布情况时； （2）若时方程有个解， 则方程在上只有一解，则，解得或； 或有两根，分别设为，， 即，解得； 综上所述或， 此时当时，方程有个解，设为，， 即，解得； 综上所述，此种零点分布情况时； 综上所述，若在上恰有三个不同的零点，则. 【举一反三】 5．已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性. 【详解】如图： 由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误； 当时，方程有4个不同的解，且. 所以，且，故B正确； 又，且关于直线对称，所以，故C错误； 由，又.所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质. 6．已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【分析】根据题意结合图象分析可知，且可判断A；根据对数函数性质结合基本不等式可判断B；根据指数函数性质结合基本不等式可判断C；设，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析可判断D. 【详解】令，则， 可知函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标， 如图，作出函数的图象， 则， 对于A，由函数有四个零点知，函数与的图象有四个交点， 所以，故A正确； 对于B，因为，即， 且，则， 可得， 即，整理得， 即，解得， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 且，则，， 可得， 整理得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确； 对于D，方程，即， 令，则，注意到， ①若，则方程无实根，即方程无实根， 故方程无实根； ②若，则方程有个不相等的实根和， 且有个不相等的实根； 有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ③若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根； 有个不相等的实根； 或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ④若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根；或或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ⑤若，则方程有个不相等的实根， 且无实根；或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； 综上所述：方程最多有个不同的实根，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： （1）转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解. 7．已知函数，函数，则方程不相等实数根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】方程不相等实数根的个数即为函数与图象的交点个数，画出函数图象数形结合可得结果. 【详解】当，即时，； 当，即0时，. ∴. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数和函数的大致图象，如图所示. 由图可知，函数与的图象有2个交点， ∴函数的零点个数为2. 故选：A. 8．已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由得到，由与的图象，可以直接判断，；再由得到，结合进一步得到. 【详解】令，则，分别作函数与的图象，如图所示.    不妨设，则由图可得，所以成立，故D正确. 因为，所以，故C错误. 又因为，所以，即，所以，故A错误，B正确. 故选：BD. 9．已知函数，若方程有六个不同的解，，，，，且，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的解析式，作出函数图象，根据图象逐项进行判断即可求解. 【详解】如图为的函数图象： 由图可知当时，的图象与直线存在6个交点，即方程有六个不同的解，故A正确； 由图及函数解析式可知，，且，可得， 所以，故B错误； 由图可知，， 当且仅当，即时等号成立， 令，易知函数在上递减，在上递增，， 故，故C错误； 由解析式可知，即， 所以，其中， 令，在上单调递减， 所以，， 所以，故D正确． 故选：AD． 10．设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到，，求出答案. 【详解】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设，显然关于对称，则， 另一个交点位于直线上，在中，当时，，即， 因此，所以. 故答案为： 11．已知函数是定义在的偶函数，且当时，若函数有8个零点，分别记为，，，，，，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由偶函数的对称性，将转化为，再根据二次函数的对称性及对数函数的性质可进一步转化为，结合利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：因为函数有8个零点， 所以直线与函数图像的交点有8个，如图所示： 设， 因为函数是定义在的偶函数， 所以函数的图像关于轴对称， 所以，且由二次函数对称性有， 由有， 所以 又，所以， 所以， 故答案为：. 12．已知函数，方程有六个不同的实数根，则实数m的取值范围为 ；的取值范围为 【答案】 【分析】设，画出函数的图象，可得实数m的取值范围；由图可得，与关于对称，与关于对称，且，，从而，根据对勾函数的性质即可求解. 【详解】设，画出函数的图象如图所示： 由图可得，若方程有六个不同的实数根，则. 由图可得，与关于对称，与关于对称，且， 所以. 又，所以. 所以. 因为在上单调递增，所以. 故答案为:;. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12题 分段函数“零点和”的最值（一题多变） 【2025届南通9月调研】已知函数，若，，则的最大值为______． 【思路分析】 设，画出的图象，根据余弦函数的对称性，可知，利用函数值相等有，转化成一个变量的函数，利用导数求解出函数单调性，即可求得最值. 设，则的图象如图所示， 即的图象与的图象有3个交点，横坐标依次为，且 由余弦函数图象的性质可知，， 又，所以，令， 则，令，解得或， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 又因为，所以， 所以， 故答案为：. 【题后反思】 分段函数零点问题，往往需要根据函数解析式画出函数图象，挖掘函数图象中隐藏的信息，应用数形结合的思想， “零点和”问题，本质上是多变量求和问题，需要有减元的思想，本题中先运用了函数的对称性进行消元，随后又用了函数值相等这一等量关系，进行了变量的转换，从而达到将多个变量化为单变量函数的目的.最后只要研究单变量函数的单调性，便可求得所求式子的最值或范围． 变函数载体，仍求“零点和”的范围 【变化角度】改变题中所给函数，仍求分段函数的零点和的范围最值，如下： 例：已知定义域为的函数，且满足，若方程的解为，则的范围为 ． 【思路分析】 画出函数草图，数形结合可得，，结合对数的性质有、，进而可求目标式的范围. 由题意知定义域为的函数，且满足， 即函数为奇函数， 根据解析式可得如下函数草图，的解为， 不妨设， 结合，由图知：，， 由，则， 所以，可得， 而，可得， 所以在上单调递增， 则. 故答案为： 【举一反三】 1．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是. A． B． C． D． 2．设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ． 变设问，求零点个数 【变换角度】将原题中求分段函数“零点和”最值范围问题变为求分段函数零点个数问题，如下： 例：函数的零点个数为（ ） A．1    B．2    C．3    D．4 【思路分析】 根据零点的定义，当时，将问题转化为求方程根的个数，分别画出函数与的图象，观察交点个数即可判断零点个数；当时，将问题转化为求方程根的个数，分别画出函数与的图象，观察交点个数即可判断零点个数，由此即可求解. 当时，函数的零点即为方程的根， 如图，由函数与的图象可知，两函数的图象有两个交点， 即函数在上有2个零点； 当时，函数的零点即为方程的根，如图， 由函数与的图象可知，两函数的图象有且只有一个交点， 即函数在上有1个零点． 综上，函数的零点个数为3． 故选：C 【举一反三】 3．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ） A． B． C． D． 变设问，求参数范围 【变换角度】将原题中求“零点和”的最值范围问题变为已知零点个数求分段函数参数范围问题，如下： 例：已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是 ． 【思路分析】 有三个零点可转化为两个二次方程解的情况，分情况讨论，结合二次函数性质列方程，解方程. 由已知， 则， 当时，令，即，可转化为， 当时，令，即， 又两方程分别至多有个解，又函数有个零点，所以两方程共个解， （1）若时方程有个解，设为，， 则，解得； 此时当时，方程有且只能有个解， 则方程在上只有一解，即，； 或方程有两根，分别设为，，则，解得； 综上所述，此种零点分布情况时； （2）若时方程有个解， 则方程在上只有一解，则，解得或； 或有两根，分别设为，， 即，解得； 综上所述或， 此时当时，方程有个解，设为，， 即，解得； 综上所述，此种零点分布情况时； 综上所述，若在上恰有三个不同的零点，则. 【举一反三】 5．已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 7．已知函数，函数，则方程不相等实数根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若方程有六个不同的解，，，，，且，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 10．设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 . 11．已知函数是定义在的偶函数，且当时，若函数有8个零点，分别记为，，，，，，，，则的取值范围是 . 12．已知函数，方程有六个不同的实数根，则实数m的取值范围为 ；的取值范围为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$