精品解析：福建省福州福清市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024—2025学年第二学期高二年期末质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（ ） A. 12种 B. 27种 C. 120种 D. 600种 【答案】B 【解析】 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次， 则小丁当天出行的方案共有. 故选：B. 2. 计算的值是（ ） A. 48 B. 76 C. 148 D. 176 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的计算公式得到答案. 【详解】. 故选：B 3. 设函数，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求导，得到，求出答案. 【详解】，，解得. 故选：B 4. 设随机变量，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正态分布曲线的对称性，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得，且 根据正态分布曲线的对称性，可得. 故选：A. 5. 已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则为（ ） A. 15 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】展开式共有9项，所以. 【详解】的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，故第5项为中间项， 展开式共有9项，所以. 故选：D 6. 从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算即可. 【详解】从5，6，7，8，9中任取两个不同的数有种取法。 事件A=“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：共4种取法，故， 事件B=“取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件有共1种取法， 故，所以. 故选：C. 7. 设函数，，则的最小值和最大值分别为（ ） A. ，0 B. ， C. ， D. 0， 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数可求得函数单调区间，利用单调性找到最值即可. 【详解】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ，， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C 8. 已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】得到与的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差. 【详解】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从标号为0，1，2，3，4，5的六个蓝球和标号为6，7，8，9的四个红球中随机选出4个，则下列说法正确的有（ ） A. 若选出的4个球全部为蓝球，则不同的选法有15种 B. 若选出的4个球中蓝球红球各有2个，则有120种不同的选法 C. 若蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，则有56种不同的选法 D. 若蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，则有140种不同的选法 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题设及各项描述，应用组合数依次求出不同选法数，即可判断. 【详解】A：选出的4个球全部为蓝球，有种，对； B：选出的4个球中蓝球红球各有2个，有种，错； C：蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，有种，错； D：若蓝球的0号和红球的6号都不在选出的4个球内，有种，从10个球中任选4个，有种， 所以蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，有种，对. 故选：AD 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 的对称中心是 C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，求导，得到函数单调性，得到为的极小值点，A正确；B选项，，B错误；C选项，当时，，结合A中函数单调性知，故C正确；D选项，求出，结合A中函数单调性求出值域. 【详解】A选项，， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故为的极小值点，A正确； B选项，，故不是奇函数， 不是函数的对称中心，B错误； C选项，当时，，由A知，所以在上单调递增， 所以，C正确； D选项，当时，， 由于在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 所以，D错误 故选：AC 11. 乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为（），有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中不正确的是（ ） A. 打满三局结束比赛的概率为 B. 的常数项为 C. 函数在上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项. 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为 所以， ， 因此三局结束比赛的概率为，则A不正确； 故 由知常数项为，故B不正确； 由，故D不正确； 由二次函数性质可得函数在上单调递增， 而，所以函数在上单调递增，C正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据分步计数原理的应用即可求解． 【详解】易知每个人都有种选法，故不同的选法有种． 故答案为：． 13. 某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知结合全概率公式求解即可. 【详解】设选取的苹果来自A基地为事件，选取的苹果来自B基地为事件， 选到新鲜苹果为事件， 所以，，，， 所以 ， 所以从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是. 故答案为：. 14. 已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解. 【详解】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值. （2）求的值； 【答案】（1）80 （2）242 【解析】 【分析】（1）法一：写出的展开式，得到； 法二：写出通项公式，得到，得到答案； （2）法一：赋值法得到，，求出答案； 法二：写出的展开式，得到，，，，，求出答案. 【小问1详解】 法一：由二项式定理，得，则. 法二：由通项公式，得， 令得，，则. 【小问2详解】 法一：因为， 所以令，得， 令，得 则. 法二：由二项式定理，得 因为 所以，，，，， 所以. 16. 北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： （1）甲测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，X可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列. 【小问1详解】 设甲测试合格为事件A，则. 【小问2详解】 甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 17. 某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. （1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； （2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）200人； （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的性质求出，进而求出对应的人数. （2）根据给定条件，利用二项分布求出分布列及期望. 小问1详解】 由问卷调查的成绩近似服从正态分布，且， 则，于是， 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200人. 【小问2详解】 由（1）知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为， 的可能取值为，， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线过原点的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，判断出原点不在曲线上，设出切点，得到导数几何意义得到方程，求出，切点坐标为，从而得到切线方程； （2）求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性； （3）由（2）得，当时有极小值，求出极小值，，令，，求出得到的单调性，结合特殊点函数值，求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 由于，故原点不在曲线上， 设过原点的直线与曲线相切于点. 则切线斜率，即， 解得，切点坐标为， 所以切线斜率，故所求切线方程为. 【小问2详解】 的定义域为，， ①当时，，可得在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当，在内单调递减，在内单调递增. 【小问3详解】 由（2）得，当时有极小值， 且的极小值.即. 令，，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 19. 现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出的个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. （1）求玩家甲在游戏中得分的概率； （2）求玩家乙在游戏中获胜的概率； （3）设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）由题意明确玩家甲在游戏中得8分包括的情况，再用古典概型结合互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解； （2）先依次求出玩家在游戏中得、、分概率，接着由题意明确玩家乙在游戏中获胜的情况，并依次求出每种情况的概率，再用互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解； （3）由题意求出随机变量的取值，再依次求出各变量取值的概率即可求出分布列. 【小问1详解】 玩家甲在游戏中得分，则包括以下两种情况： 甲从袋子中随机摸出个红球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个球同色； 甲从袋子中随机摸出个白球，再将这个球放入袋子中后从袋子中随机摸出个白球. 所以玩家甲在游戏中得分的概率为. 【小问2详解】 由（1）玩家在游戏中得8分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家在游戏中得分的概率为， 玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况： 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 甲获得分，玩家乙在游戏中得分获胜，此情况发生的概率为； 所以玩家乙在游戏中获胜概率为. 【小问3详解】 由题意可得， 所以，， ，， ， 所以的分布列为 8 10 12 14 16 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期高二年期末质量检测 数学学科试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（ ） A. 12种 B. 27种 C. 120种 D. 600种 2. 计算的值是（ ） A. 48 B. 76 C. 148 D. 176 3. 设函数，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 设随机变量，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 5. 已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则为（ ） A. 15 B. 10 C. 9 D. 8 6. 从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，，则的最小值和最大值分别为（ ） A. ，0 B. ， C. ， D. 0， 8. 已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从标号为0，1，2，3，4，5的六个蓝球和标号为6，7，8，9的四个红球中随机选出4个，则下列说法正确的有（ ） A. 若选出的4个球全部为蓝球，则不同的选法有15种 B. 若选出的4个球中蓝球红球各有2个，则有120种不同的选法 C. 若蓝球的0号和红球的6号必须在选出的4个球内，则有56种不同的选法 D. 若蓝球的0号和红球的6号至少有1个在选出的4个球内，则有140种不同的选法 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 的对称中心是 C. 当时， D. 当时， 11. 乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为（），有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中不正确的是（ ） A. 打满三局结束比赛的概率为 B. 的常数项为 C. 函数在上单调递增 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种． 13. 某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是_________． 14. 已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值. （2）求的值； 16. 北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： （1）甲测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列. 17. 某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. （1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上市民人数； （2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线过原点切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 19. 现有、两个不透明的袋子，袋中装有个红球、个白球，袋中装有1个红球、个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子中随机摸出个球. 情况1：摸出个球颜色相同，则将这个球放入袋子中，然后从袋子中随机摸出个球：若摸出个球同色，则玩家获得8分；若摸出个球不同色，则玩家获得分； 情况：摸出的个球颜色不同，则将这个球放回袋子中，然后从袋子中再随机摸出个球；若摸出个球同色，则玩家获得分；若摸出个球不同色，则玩家获得分. （1）求玩家甲在游戏中得分的概率； （2）求玩家乙在游戏中获胜概率； （3）设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为，求的分布列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$