精品解析：福建省福清市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

2023-2024学年第二学期高二年期末质量检测 数学学科试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效； 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】由递推公式求解即可． 【详解】依题意，得， ， 故选：A 2. 福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】由排列的定义求解． 【详解】火车票是要分出发站与到达站，是有顺序的，故不同的火车票的种数为：， 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，再令，得，即可求解． 【详解】， 令，得，得， 则，得， 故选：C 4. 将4个不同的小球全部投入3个不同的盘子（每个盒子容纳的小球的个数不限），则所有的投放方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】每个小球都有3种不同的选择，根据乘法原理可知，所求即为. 故选：A. 5. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求导，分和，根据函数单调性得到不等式，求出，根据是的真子集，得到答案；或根据条件转化为恒成立进而即得. 【详解】法一：因为， 所以，当时，， 此时在上单调递增， 当时，， 令得，解得， 令得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 要想在上单调递增，则，解得， 故， 综上，， 由于是的真子集， 则“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 法二：由题可得在上恒成立， 即恒成立，又， 所以，下面同解法一. 故选：A 6. 地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（ ）种. A. 84 B. 72 C. 48 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】先将区域分为上下左右，再分上下颜色相同与不同，最后用分步计数原理求解. 【详解】将图形区域氛围上下左右， 若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种； 若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种， 所以共有种， 故选：A 7. 在等差数列中，，则（ ） A. 7 B. 11 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出，从而得到. 【详解】设公差为，则， 所以 故. 故选：C 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算化简后求导来进行判断最大值，剩下两个值利用作差比较大小即可. 【详解】由得：， 因为函数的定义域为， 则当时，，所以在和上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时， 有极大值， 又由，得， 所以. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由导数的基本运算求解． 【详解】对于A项，为常数，则，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，则，故C项正确； 对于D项，，故D项错误， 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 的极大值点为 B. 的极大值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，求出定义域，求导得到函数单调性，进而得到的极大值点为，极大值为；C选项，根据函数单调性和特殊点函数值判断出零点个数；D选项，设切点，根据切线斜率得到方程，求出为方程的一个根，进而求出是曲线的一条切线. 【详解】AB选项，的定义域为，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为，极大值为，AB正确； C选项，由于极大值为，当时，恒成立， 趋向于0时，趋向于， 故在上存在一个零点，在上无零点， 综上，函数只有1个零点，C错误； D选项，设切点，，， 故，显然，故为方程的一个根， 故切点为， 故切线方程为，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，满足，，以的斜边为第2个直角三角形的直角边，且，再以的斜边为第3个直角三角形的直角边，且，依此方法一直继续下去，记第个直角三角形为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义，先求出，再求出的长，可判断出A项的正误；求出的长，然后在中利用余弦定理算出的值，可判断出B项的正误；根据三角形的面积公式，计算出的面积，从而判断出C项的正误；根据等比数列的定义，得到、、、、的长度等比数列，进而利用等比通项公式求得的表达式，进而判断出D项的正误． 【详解】根据题意得、、、、构成相似三角形， 其相似比等于． 对于A，在中，， 在中，，可知A项正确； 对于B，在中，，在中，， 在中，，，， 由余弦定理得，所以，故B项正确； 对于C，由前面的分析，可知，可知C项不正确； 对于D，根据题意得、、、、的长度成等比数列， 其中首项，公比， 结合，可得，故D项正确． 故选：ABD． 【点睛】知识点点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义、余弦定理及其应用、等比数列的定义与通项公式等知识，属于中档题． 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，，则__________ 【答案】4 【解析】 【分析】由等比数列的性质求解． 【详解】在等比数列中，奇数项都是同号的，则， 由，得， 故答案为：4 13. 有4人到甲､乙､丙三所学校去应聘，若每人恰被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为__________.（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【分析】根据分组分配问题即可结合排列组合求解. 【详解】根据题意，四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校，有种不同的录用情况； 故答案为：36． 14. 已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，显然不是零点，故只有一个非零实数根，令，，对求导，结合导数分析的单调性，结合函数图象即可求解． 【详解】因为有且仅有一个零点， 显然不是零点， 故只有一个非零实数根， 令，， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，， ， 当时，，，其大致图象如图所示， 结合函数图象可知，当时，符合题意． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ （2）现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 【答案】（1）（ⅰ）3；（ⅱ）9 （2）（ⅰ）36；（ⅱ）78 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用组合数公式和分步乘法原理求解即可；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况，利用组合数公式和分类加法原理求解即可；解法二：利用在5件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数可得答案； （2）（ⅰ）利用捆绑法可得答案；（ⅱ）解法一：利用间接法法可得答案；解法二：分为B站左端和B不站左端分别计算可得答案. 【小问1详解】 （ⅰ）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品， 则有种不同的抽法； （ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况： 只有1件次品的抽法和2件次品的抽法， 由（ⅰ）得有2件次品抽法为种不同的抽法， 只1件次品的抽法为种不同的抽法， 共有种不同的抽法； 解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法数， 是在5件产品中任意抽出3件的抽法数， 减去抽出的3件产品全是正品的抽法数， 所以共有种不同的抽法； 【小问2详解】 （ⅰ）将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑， 再将另外两人一起排列，所以一共有36种排法； （ⅱ）解法一：因为5个人全排列有排法， 且A站左端有种排法，B站右端有种排法， A站左端且B站右端有种排法， 所以A不站左端，且B不站右端有种排法； 解法二：依题意可得：整件事可分为B站左端，和B不站左端． 若B站左端，则其他4人全排列，有种排法； 若B不站左端，则其他3人中选出1人站在左端，有种选法， 又由于B不站左端，也不站右端，有种排法， 剩下3人有有种排法，所以B不站左端有排法； 所以A不站左端，且B不站右端有排法. 16. 设为数列的前项和，已知，. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为①， 所以时，②， 由①－②得，时，，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差等差数列； 【小问2详解】 由（1），得， 所以， . 17. 设是函数的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为. （1）求实数，的值； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为.· 【解析】 【分析】（1）对函数，两次求导，结合新定义求解； （2）求导，得零点，再列表得到函数的单调性求解． 【小问1详解】 因， 所以 ， 所以， 又因为函数的对称中心为， 所以， 即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 由，得或，· 当变化时，，的变化情况如下表所示： 1 2 0 0 2 因此，的极大值为，极小值为. 18. 已知数列与等差数列，若，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由构造等比求通项即可求的通项，由等差数列的通项公式求解； （2），由错位相差法求解即可． 【小问1详解】 因为，所以， 又，得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故， 则， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以， 所以， ， 两式相减，得 ， 故． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线的斜率； （2）若，讨论的单调性； （3）若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先依据和的图象过点求出参数值，进而求出函数解析式，接着求出导函数，根据导数几何意义再求出即可得解. （2）根据函数的导函数对参数进行分类讨论得出导函数的正负情况即可得解. （3）恒成立等价于，所以对a进行分类讨论研究函数的导函数情况，从而求得函数的单调性和最小值情况即可得解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为函数的图象过点， 所以， 即，故，解得， 所以，故， 即曲线在点处的切线的斜率为. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 当时，，在区间R上单调递增； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在区间R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 设，则， 所以，时，所以在上单调递增，且； ①当时，，即， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，所以符合题意， . ②当时，又在上单调递增，且， 当时，， ，使得， ，，即，所以在上单调递减； ，，即，所以在上单调递增， 所以，所以不合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究恒成立求参问题通常转化成研究函数最值问题，恒成立等价于，故可用导数工具结合分类讨论法研究函数的单调性，从而求得函数的最小值，判断是否满足即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期高二年期末质量检测 数学学科试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效； 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 2. 福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 112 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 4. 将4个不同的小球全部投入3个不同的盘子（每个盒子容纳的小球的个数不限），则所有的投放方法数为（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（ ）种. A. 84 B. 72 C. 48 D. 24 7. 等差数列中，，则（ ） A 7 B. 11 C. 14 D. 16 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的极大值点为 B. 的极大值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 11. 如图，满足，，以的斜边为第2个直角三角形的直角边，且，再以的斜边为第3个直角三角形的直角边，且，依此方法一直继续下去，记第个直角三角形为，则（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，，则__________ 13. 有4人到甲､乙､丙三所学校去应聘，若每人恰被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为__________.（用数字作答） 14. 已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ （2）现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 16. 设为数列的前项和，已知，. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和. 17. 设是函数的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为. （1）求实数，的值； （2）求的极值. 18. 已知数列与等差数列，若，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线的斜率； （2）若，讨论的单调性； （3）若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$