黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求.) 1.设i为数单位，若复数：满足-1+i,则：的共额复数：=（) A.2-21 B.2+2i C.2-i D.2+i 2.样本数据16,21,18,28,14,20,22,24的第75百分位教为() A.16 B.17 C.23 D.24 5已响里-9小-(60,6两15，则=《) A.月 c.9 D._ 6 4.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分县随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取 容里为200的样本，贝从高一年级抽取的学生人教为《) A.60 B.80 C.100 D.50 5.将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字12,3,4,5,6）先后地m2次，双向上的点数，2次 的点数之和为7的车是《) c.6 D. 6.已知sn(a-P)cosa--cos(p-a)ina-号f是第三象限角，则smP+好 3 的值为) B.2 D.-72 10 10 10 7.为了解小学生每天的户外运动时间，某按对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本 里按比例分配的分层随机抽样如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均教和防差分别为 2.5和1.65，抽瑯了四年级及以上学生60人，其平均嫩和方差分别为1.5和3.5，估计该校学生平均海天户外运动 时间的总体方差为() A.5 B.4 C.3 D.2 8.已知三棱锥P-ABC三条侧棱PA,PB,PC两两西相垂直，且PA=PB=PC=6,M、N分别为该三棱锥的钠 切球和外球上的动点，线段N的长度的最小值为() A.2W5-3 B.4W5-6 C.6-2w5 D.25 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部盼分，有选错的得0分.) 9.某地种植的新品种哈密瓜获得了中收，随机从采摘好的哈密瓜中扶达了100个称重《单位：kg),并整理数据， 得如图所示的车分布直方图根据比频车分布直方图，下面结论正确的是() A.7m=0.8 B.估计该哈密瓜的质里不甚于1.6kg的比例为30% C.估计有一半以上的哈密瓜的质里介于1.4kg至1.6g之间 D.估计该哈密瓜的踬的中位教介于1.5kg至1.6kg之间 01」4561U质% 10.若从集合A={-2,-113}中随机选取一个数记为a,从集合B-{-6,2,5}中随机选取-一个数记为6，则〔) A.b>0的痒是时 B.a+>0的能库是7 C.直线y=+b不经过第一象限的车是 D.ha+nb>1的率是号 11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-4BCD表面上的一个动点，下列结论正的是《) D A.当P在线嘏BC上动时，DP⊥AC B B.当P在平面BCCB,上动时，三棱锥P-14D的体积为定值4 C.当P在线般4C上运动时，DP与，4：C所成角的雕值范盟[写引 D.使直线AP与平面ABCD所的角为45的点P的迹长度为x+4√5 第Ⅱ卷（共2分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12.《数术记遗》相传是汉末徐岳《约公元2世纪)所著该书主要记述了：积算《即筹算)、太乙算、两仪算、三才 算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成教算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法某研究学习 小组共6人，他们搜集整理该14种算法的相联资料所花速的时间（单位：mn)分别为：93,93,88,81,94,91 贝侧这组时间数据的标准差为 13.如图，在三棱锥B-4BC中，∠4C8=行，4C=C=3,BC1B,B1BB,若三棱谁 日-4BC的体粮为名财面角8-4B-C的大小为 14.已知函数f(:=1og,(9+1+(无eR)是函数若酸y=(x)的图豫与直线y=x+6没 有交点，则b的取值范围为 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15.(13分)△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ad-6=ac-c2. 1)求B 2喏6=5，c=5,求c 10 16.(15分)某高中在一次高数学测试后，为了解本次测试的诚绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数 学成绩，成绩均在[50,100]内，将成绩分为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共5组，得如图所示 的频车分布直方图。 1)求m的值，并估计这200名学生数学城绩的平均嫩（同一组中的数据用该区间 个频率组距 的中点值作代表) 0.025 0.020 0.015 (②)从成绩在[70.80)和[80.90)的学生中，用分层随机抽样方法抽邮5名学生，再从 0.010 O5060708090100成绩/ 这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生数学成绩在[70,80)和80,90)内各1 人的车. 9 17.(15分)已知函数f(x)=w5n2x+2cos2x+2. (1)求f(x)的单调递增区闫 2将y=了(x)的图像上的骆点纵坐标保持不变，黄坐标神长到原来的2倍，再向右平移二个单位得到=gx)的图 时，方程g(x)=m有解， 求实数m的取值范围 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是拒形，PA⊥平面ABCD,E,F,G分别是AB,PD,PC 的中点 (1)若AD=PA,求证：AF⊥平面PDC； (2)若二面角P-EC-D的正切值为5，且AD=√互，AB=2互，求EG与平面PDE所成确的正弦值. 19.《17分】著名的蛋马问题是法国数学家皮埃尔德·费马(1601一1665)于1643年出的平面几何极值问题：“已 知一个三角形，求作一点，其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为盡马点，已知对于 每个给定的三角形，都存在唯的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠4B=∠BC=∠CM4=120 的点M即为责马点，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB-2acos4-6cosC若M是△ABC的贵 马点”，a=25,b<c… (1)求角A: (2)若证B+BMC+MC.+4=0,求bc的值 )在(2)的条件下，设f()=9-n-3+☑网++C,若当1[1,2]时，不等式f()20恒成立，求实数n的 取值范围 参考答案及解析 一、单选题 1.设i为数单位，若复数：茜足=1+i,贝则：的共轭复数：=（) A.2-2i B.2+2i C.2-i D.2+i 答案：B 2.样本数据16,21,18,28,14,20,22,24的第75百分位数为() A.16 B.17 C.23 D.24 【答案】C 【分析】根据百分位数计算规侧则计算可得 【详解】将样本数据从小到大排列为：14,16,18,20,21,22,24,28， 又8×75%=6，所以第75百分位数为2+24-23 故选：C 已a的里98-(0，若G+45,则：-{) 3. A. B. c.号 D. 【答案】A 【分析】根据向里垂直的坐标表示，即问求解 因为(a+2而1i, 所以5×950，得片 故选：A 4.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层随机抽样的方法从该 校三个年级的学生中抽取容里为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为() A.60 B.80 C.100 D.50 【答案】A 【分析】根据分层随机抽样的特点，先求出高一年级学生人数在总人数中的占比，再用样本 容里乘以该占比，即可得到从高一年级抽取的学生人数 【详解】已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，那么高一年级学生人数占三 个年级总人数的比例为： 3 .3 3+3+40 现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容里为$200$的样本，根据分层抽样 的计算方法，从高一年级抽取的学生人数为： 20*0-60(人) 从高一年级抽取的学生人数为60人 故选：A 5…将一个质地的匀的正方体骰子〔每个面上分别写有数字12,3.4,5,6)先批拼2次，观察 向上的点数，则2次拼的点数之和为7的率是〔) A. B. 答案：C }P是第三象限角，则smP+牙 6.已知n(a-B)cosa-cos(B-ax)sina= 的值为() A. B. c.- .-7 10 10 40 10 【答案】B 【分析】首先根据两角差的正弦公式得sn6=一三，再根据同角三角函数关系式以及两角和 的正弦公式，即可求解， 【详解】sn(a-B)cosa-cos(B-a)sina=sim[c-P）-a]=-sinB=亏， n明=-，又B是第三象限角，cosB=-, 从而叫e到ng@子+ow要-（得到}没 故选：B 7.为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间《单位： 小时)的调查，用样本里按比例分配的分层随机抽样如果不知道样本数据，只知抽取 了三年级及以下学生40人，其平均嫩和方差分别为2.5和1.65，抽邮了四年级及以上学生 60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，贝估计该按学生平均每天户外运动时间的总体方 差为《) A.5 B.4 C.3 D.2 答案：C 8.已知三棱锥P-ABC三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=6,M、 N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段W的长度的最小值为() A.2W5-3 B.4W5-6 C.6-2w5 D.25 【答案】B 【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：M,W 两点间距离的最小值为PG-2,易求外接圆半径R,结合等体积法可求出内切圆半径和 PG，进而得解 【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示 设三棱锥内切球球心为O,外接球球心为O，内切球与平面ABC的切点为G, 易知：O,O,G三点均在PD上，且PD⊥平面ABC, 设内切球的半径为，外接球的半径为R,则R=×6+6+6=36 由等体积法：(So+S+S+Sx)P= PC,得，=3-5， 由等体积法：S.c-PG=S4mPC,得PG=25, 将几何体沿截面PDDC切开，得到如下截面阁：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最 大截面， C R PO) 01 G \02 D D .M,V两点间距离的最小值为2R-00,-R-r=PG-2r=35-5-(6-2W5=4N5-6. 故选B. 【点睛】关键点点睛：根据题设将三棱锥补成正方体，进而确定内切球，外接球球心，结合 等体积法求内切圆半径及PG，即可得N的长度的最小值， 二、多选题 9.某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单 位：kg),并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图根据此频率分布直方阁，下面结 论正确的是() ◆频率 组距 3.00 2.50 2.00 0.50- A 01.21.31.41.51.61.71.8质量/kg A.m=0.8 B.估计该哈密瓜的质里不低于1.6kg的比例为30% C.估计有一半以上的该哈密瓜的质里介于1.4g至1.6kg之间 D.估计该哈密瓜的质里的中位数介于1.5kg至1.6kg之间 【答案】BCD 【分析】先根据概率和为1，可得m=1,进而根据频率分布直方图得到对应概率，进而可得 【详解】选项A:0.5+2m+2+2.5+3=10，解得m=1+A错误； 选项B:估计该哈密瓜的质里不低于1.6kg的比例为2×0.1+1×0.1=30%，B正确： 选项C:低于14kg的概率为0.5×01+1×0.1=0.15， 低于1.6kg的概率为0.5×0.1+1×0.1+3×0.1+2.5×0.1=0.7， 故估计有一半以上的该哈密瓜的质里介于14kg至1.6kg之间，c正确； 选项D: 低于1.5kg的概率为0.5×0.1+1×0.1+3×0.1=0.45， 低于1.6kg的概率为0.7， 估计该哈密瓜的质里的中位数介于1.5kg至1.6kg之间，D正确 故选：BCD 10.若从集合A={-2,-11,3}中随机选取一个数记为a,从集合B={-6,2,5》中随机选取一个 数记为b,则() A:>0的解率是 B.a+0>0的率是 C.直线y=+b不经过第一象限的概率是 D.ha+hb>1的概率是) 【答案】AB 【分析】对于选项A,先列出功>0的情况，然后针对每个情况求出对应的概率，最后相加 即是总概率值；对于选项B,先列出使得a+b>0的情况种数，然后即可计算概率值；对于 选项C,先列出使得直线y=+b不经过第一象限的情况种数，然后即可求得概率值；对 于选项D,先列出使得na+1nb>1的情况种数，然后即可求得概率值 【详解】对于选项A: 使得ab>0的情况有： ①a=-2,6=-6,此时概车为R=×亏立 111 ®a=-1,b=-6,此时概车为3=立 111 ③a=16=2,此比时概率为3=*行立 111 111 ④a=1b=5,此时概率为P=×亏= 4312 111 ⑤a=3.b=2,此时概率为2=方立 ⑥a=3,b=5,此比时概率为只=行立 111 1 1 所以使得b>0的概率为P=R+B+B+卫+B+P=立x6=5’A正确 对于选项B: 从集合A中随机送取一个数的车为，从集合8中随机达取一个数的概幸为 而使得a+b>0的情况有 a=-2.b=5:a=-1,b=2:a=-1b=5:a=1,b=2:a=1.b=5:a=3,b=2:a=3b=5共7种 所以使得a46>0的鞍率为P=1-市，所以B正确 对于选项C: 1 从集合A中随机选取一个数的慨率为，从集合五中随机选取一个数的概率为亏， 而使得直线y=m+b不经过第一象限的情况有： a=-2.b=-6:a=-1.b=-6共2种 所以使得直线=+6不经过第-象阴的餐率为：P-2-名C错误 11 对于选项D: 从集合A中随机选取一个数的慨率为，从集合B中随机选取一个数的概率为亏， 而使得na+nb>1的情况有： a=1b=5:a=3,b=2:a=3,b=5共3种 所以徒得na+h6>1的联率为P-3=片，所以D错误 故选：AB. 11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-ABCD表面上的一个动点，则下列结论正确 的是() D By P D B