精品解析：甘肃省庆阳市2024-2025学年高二下学期期末诊断数学试卷

高二年级诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一、二册占20%，选择性必修第一、二册占80%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的虚部为（ ） A. 43 B. 53 C. D. 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 12 D. 32 5. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 180 B. C. 960 D. 7. 某机构对年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于5万元，且小于30万元，销售价格分为五组：，，，，（单位：万元）.统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为（ ） A. 26 B. 23 C. 21 D. 19 8. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则（ ） A. 这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高 B. 这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低 C. 这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高 D. 这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低 10. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则_________. 13. 已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则_________. 14. 设等比数列的前项和为，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）若有三个零点，求实数的取值范围． 17. 已知正方形ABCD，沿BD将折起到的位置（如图），G为的重心. （1）在BC边上找一点E，使得平面PCD，并求出的值. （2）在（1）的条件下，设. ①证明：平面平面BCD. ②求平面PGC与平面PDE所成角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. （1）求椭圆W的方程； （2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 19. 在一次闯关游戏中，某一关有A，B，C三道题．将这三道题按一定顺序排好后（如第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题），玩家开始答题．若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关，假设每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5．每次答题正确与否相互独立． （1）求玩家通过这一关的概率． （2）规定：答对A题积30分，答对B题积20分，答对C题积10分，现有两种题序可供选择：①第一道题为A题，第二道题为B题，第三道题为C题；②第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题．为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一、二册占20%，选择性必修第一、二册占80%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得， 所以，又， 所以， 故选：B 2. 的虚部为（ ） A. 43 B. 53 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法法则计算，得到答案. 【详解】因为， 所以其虚部为. 故选：D 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦型函数的周期公式可求得的最小正周期. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为. 故选：A. 4. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 12 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式及性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 根据等差数列下标和性质， 所以． 故选：C. 5. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 180 B. C. 960 D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出通项公式，令，得，求出的系数. 【详解】的展开式的通项， 令，得，所以的系数为. 故选：A 7. 某机构对年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于5万元，且小于30万元，销售价格分为五组：，，，，（单位：万元）.统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为（ ） A. 26 B. 23 C. 21 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率直方图的性质，结合百分位数的概念，即可求解. 【详解】由频率分布直方图知， ，所以. 设销售价格的分位数为， 因为，1， 所以销售价格的分位数在内. 由，得. 故选：C. 8. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【详解】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则（ ） A. 这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高 B. 这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低 C. 这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高 D. 这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低 【答案】BC 【解析】 【分析】比较相关系数 绝对值的大小，再结合相关系数的意义判断即可. 【详解】因为， 所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高， 乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低． 故选：BC. 10. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得方程有两个不同的根，再根据求出的范围，即得答案. 【详解】解：因为有两个极值点， 所以方程有两个不同的根． 又因为， 所以， 解得． 故选：BCD. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由为奇函数关于对称，则可得关于对称，则可对A、B判断；结合，可化简得到，可对C判断；利用周期可得，可对D判断. 【详解】A、B：因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称，且，故A正确，B不正确； C:因为，所以，所以，所以，故C正确； D：因为当时，，所以，故D不正确． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理进行求解，注意，，故为锐角，从而得到答案. 【详解】由正弦定理得， 又，，，所以， 其中，，故为锐角，所以. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C上一动点，的最小值为10，则_________. 【答案】12 【解析】 【分析】原条件转换为取得最小值10，由此即可列方程求解. 【详解】设点M在C的准线上的射影为D，则，要使取最小值，即取得最小值， 当D，M，P三点共线时，取得最小值，由，得. 故答案为：12. 14. 设等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】31 【解析】 【分析】设，根据等比数列的前项和的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）若有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及导数函数值列方程求解即可； （2）将问题转化为曲线与直线有三个交点，令， 利用导数法研究其单调性，结合函数的极值数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，，所以， 解得； 【小问2详解】 因为有三个零点，且， 所以关于的方程有三个不同的根， 即曲线与直线有三个交点． 令， 则． 因为， 所以在，上单调递减，在上单调递增． 因为，所以当时，直线与曲线有三个交点， 故实数的取值范围是． 17. 已知正方形ABCD，沿BD将折起到的位置（如图），G为的重心. （1）在BC边上找一点E，使得平面PCD，并求出的值. （2）在（1）的条件下，设. ①证明：平面平面BCD. ②求平面PGC与平面PDE所成角的余弦值. 【答案】（1）当平面PCD时， （2）①证明：取BD的中点O，连接PO，CO，FO，则，. 因为，，所以. 因为，，平面，所以平面FOC. 因为平面FOC，所以. 因为，，平面，所以平面PBD. 因为平面BCD，所以平面平面BCD. ② 【解析】 【分析】（1）取PD的中点F，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）①取BD的中点O，根据线面垂直可证平面PBD，进而可得面面垂直；②建系标点，分别求平面PGC与平面PDE的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 当平面PCD时，. 证明如下：取PD的中点F，连接BF，CF，GE. 因为G为的重心，所以，所以. 因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD. 【小问2详解】 ①略 ②由①知，直线OB，OC，OP两两垂直， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设正方形ABCD的边长为6， 则，，，，，. 连接PE，DE，可得，. 设平面PDE的法向量为， 则令，得. 平面PGC的一个法向量为. 设平面PGC与平面PDE所成的角为， 则， 所以平面PGC与平面PDE所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. （1）求椭圆W的方程； （2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、过焦点垂直于轴的弦长公式以及椭圆中的关系求解椭圆方程. （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再根据三角形面积公式求出直线方程. 【小问1详解】 解：由题意得过点且垂直于x轴的直线方程为，代入椭圆，得， 又该直线所截得的线段长为，即， 椭圆的离心率， 又，故可列方程组为 ，解得，， 故椭圆W的方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线AC不垂直于y轴，直线AC经过， 设直线AC的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 由韦达定理得，，， . 点（坐标原点）到直线AC的距离， 且是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d， 所以. 由，令，则，上式变为，解得或， 即或（舍去），， 故直线AC的方程为，即或. 19. 在一次闯关游戏中，某一关有A，B，C三道题．将这三道题按一定顺序排好后（如第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题），玩家开始答题．若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关，假设每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5．每次答题正确与否相互独立． （1）求玩家通过这一关的概率． （2）规定：答对A题积30分，答对B题积20分，答对C题积10分，现有两种题序可供选择：①第一道题为A题，第二道题为B题，第三道题为C题；②第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题．为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？ 【答案】（1）0.72 （2）选择题序① 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，通关概率和未通关概率互为对立事件，设通关概率为,未通关概率为,则.未通关概率，即A，B，C三道题均答错概率.通过求解对立事件概率，进而得出通关概率. （2）计算并比较两种题序下，获得不同积分的期望值. 【小问1详解】 设通关概率为,未通关概率为： 已知每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5，则. 那么，. 故玩家通过这一关的概率为0.72. 【小问2详解】 根据题意，分别计算两种答题顺序的期望积分： 顺序①： 答对A题：；答错A答对B：；答错A、B答对C: 期望总积分①：. 顺序②: 答对C：；答错C答对B：;答错C、B答对A：. 期望总积分②： 比较结果大小： 故应选择题序①. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $