精品解析：湖北省巴东县2024-2025学年八年级下学期期末调研考试数学试题卷

2025年八年级下学期期末调研考试 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列式子一定是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知菱形的边长为5cm，一条对角线长为8cm，另一条对角线长为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 4. 某班第一组12名同学在“爱心捐款”活动中，捐款情况统计如下表，则捐款数组成一组数据中，中位数与众数分别是（　　） 捐款（元） 10 15 20 50 人数 1 5 4 2 A. 15，15 B. 17.5，15 C. 20，20 D. 15，20 5. 已知在一次函数的图象上，有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图象，你认为正确的是 （ ）． A. B. C. D. 8. 如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于( ) A. B. C. D. 无法确定 10. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有（） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 14. 若一组数据2、3、x、4、5的平均数是4，则这组数据的方差为_____． 15. 如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为______． 16. 如图，已知直线，点 ，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边，向右侧作正方形，延长交直线l于点；以为边，向右侧作正方形，延长交直线于点；以为边，向右侧作正方形，延长交直线于点；…按照这个规律进行下去，点的横坐标为______．（结果用含正整数的代数式表示） 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） ； （2）． 18. 已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． （1）四边形的形状是______，请证明你的结论； （2）当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； （3）你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 19. 如图，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线相交于点，若． （1）求点的坐标； （2）直线交y轴于点P，求的面积． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 21. 跨学科 为了让同学们了解自己的体育水平，初二（1）班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 初二（1）班体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 1.99 8 7 女生 7.92 1994 8 （1）这个班共有男生___________人，共有女生___________人； （2）补全初二（1）班体育模拟测试成绩分析表； （3）你认为在这次体育测试中，（1）班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条支持你的看法的理由． 22. 恩施州为响应国家号召，各单位均安排党员干部下沉村、社区，参加扶贫工作，这些干部队伍俗称“尖刀班”．某“尖刀班”发现其帮扶村盛产茶叶和土豆滞销，为了尽快将农产品销售出去，“尖刀班”通过网络平台将产品销往全国．相关信息如表： 商品 规格 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 茶叶 /袋 40 60 土豆 /袋 38 53 已知销售表中规格的茶叶和土豆共1000袋，其中茶叶不少于300袋，土豆不少于400袋．设销售茶叶x袋，销售茶叶和土豆获得的总利润为y元． （1）求y（元）与x（袋）之间的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）销售完这批茶叶和土豆，至少可获得多少元的利润？ （3）因该村有部分特困户，“尖刀班”与村委会讨论决定，每销售一袋茶叶提取m元作为帮扶特困户的爱心基金．如果，求销售完这批茶叶和土豆，扣除爱心基金后的最大利润．（用含m的代数式表示） 23. 如图，矩形中，对角线的中点为O，过O作直线交于E，交于F． （1）求证：． （2）如图：G为上一点，连接、，若．求证：． 24. 如图1，经过点的直线与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为，P是直线上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）当时，求t的值； （3）作//轴，交直线于点F，在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年八年级下学期期末调研考试 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列式子一定是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用最简二次根式的定义判断即可． 【详解】，所以不是最简二次根式，故A不符合题意； ，所以不是最简二次根式，故B不符合题意； 是最简二次根式，故C符合题意； ，所以不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形，菱形，正方形都是轴对称图形．故轴对称图形有3个． 故选：C 【点睛】本题主要考查轴对称图形概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可以重合． 3. 已知菱形的边长为5cm，一条对角线长为8cm，另一条对角线长为（　　） A. 3cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是4cm．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是3cm，则另一条对角线的长是6cm． 【详解】解：如图： 在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm， ∵对角线互相垂直平分， ∴∠AOB＝90°，BO＝4cm， RT△AOB中，AO＝＝3cm， ∴AC＝2AO＝6cm． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，注意掌握：菱形的对角线互相垂直平分，同时要熟练运用勾股定理． 4. 某班第一组12名同学在“爱心捐款”活动中，捐款情况统计如下表，则捐款数组成的一组数据中，中位数与众数分别是（　　） 捐款（元） 10 15 20 50 人数 1 5 4 2 A. 15，15 B. 17.5，15 C. 20，20 D. 15，20 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和众数的概念进行判断. 【详解】共有数据12个，第6个数和第7个数分别是15，20，所以中位数是：（15+20）÷2=17.5；捐款金额的众数是15． 故选B． 【点睛】本题考查中位数和众数，将数据从小到大或从大到小排列后，最中间的一个数或两个数的平均数称为中位数，出现次数最多的是众数. 5. 已知在一次函数的图象上，有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】把点，，分别代入求出，，的值进行比较后即可得答案． 【详解】解：∵点，，在一次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6. 四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 根据矩形的判定定理，逐一分析各选项条件是否满足矩形的定义或判定条件． 【详解】解：A、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项A不符合题意， B、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线垂直，此时平行四边形为菱形，但菱形的对角线不一定相等，无法保证四个角为直角，故不能判定为矩形，选项B符合题意， C、，，说明四边形是平行四边形，，说明有一个直角，根据“有一个直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项C不符合题意， D、，，可推出且，说明是平行四边形；，说明，结合平行四边形性质得，对角线相等，故可判定为矩形，选项D不符合题意， 故选：B． 7. 2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图象，你认为正确的是 （ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实际问题和函数图像，根据题意，分段分析函数的图象，即可得到答案 【详解】解：（1）初坐车以某一速度匀速前进，该段函数为正比例函数， （2）中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，该段函数为水平的线段， （3）官兵们下车急行军匀速步行前往，该段函数为一次函数，但直线的坡度比开始坐车时的图形坡度要小 故选C 8. 如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况： （1）沿，，，剪开，得图 ； （2）沿，，，，，剪开，得图 ； （3）沿，，，，，剪开，得图 ； 综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即． 故选：B． 9. 如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于( ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：，分别为，边的中点，， ， ，为边的中点， ， 故选：B． 10. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 11. 如图，在平行四边形中，，是的中点，作于点，连接、，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交的延长线于，取的中点连接．想办法证明，，四边形是菱形即可解决问题． 【详解】解：如图延长交的延长线于，取的中点，连接． ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确， ∵， ∴ ，故C正确， ∵，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 12. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，结合题意，对选项逐个判断即可． 【详解】解：由图像可得经过二、三、四象限， ∴，，①正确 由图象可得：经过一、三、四象限， ∴， ∴，②正确； 由图象可得，当时，，③正确； 由题意可得，和经过点 则， 又∵， 解得， 则：， 将代入，，解得， 即，， ，④错误 正确的个数为3 故选：C 【点睛】此题考查了一次函数的几何应用，图象与系数的关系，一次函数交点问题等，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 14. 若一组数据2、3、x、4、5的平均数是4，则这组数据的方差为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算． 【详解】解：∵数据2、3、x、4、5的平均数是4 ∴（2+3+x+4+5）÷5＝4 ∴x＝6 ∴这组数据的方差＝ [（2﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]＝2 故答案为：2． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝ [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 15. 如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．根据轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，交于，过点作于，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知时，的最小值，然后求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，作交于，交于，过点作于， ，，， ， ，则 点到的距离， 的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，已知直线，点 ，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边，向右侧作正方形，延长交直线l于点；以为边，向右侧作正方形，延长交直线于点；以为边，向右侧作正方形，延长交直线于点；…按照这个规律进行下去，点的横坐标为______．（结果用含正整数的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标规律，先根据一次函数方程式求出，再根据正方形求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标． 【详解】解：∵直线，点 ，过点作x轴的垂线交直线l于点， ∴， 以为边，向右侧作正方形，则，， ∴，的横坐标为3， 这种方法可求得，，的横坐标为， 此类推便可求出点，点的横坐标为． 故答案为． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质，平方差公式，二次根式混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）第一项和第二项根据二次根式的性质化简，第三项根据平方差公式计算，再合并即可； （2）先把括号里根据二次根式的性质化简，再算二次根式的除法． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． （1）四边形形状是______，请证明你的结论； （2）当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； （3）你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 【答案】（1）平行四边形．证明见解析 （2）； （3）矩形的中点四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形； （2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形； （3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形． 【小问1详解】 四边形的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； 【小问2详解】 当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下： 如图，连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，， ， ， 又四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； 故答案为：； 【小问3详解】 矩形的中点四边形是菱形．理由如下： 连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，，，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键． 19. 如图，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线相交于点，若． （1）求点的坐标； （2）直线交y轴于点P，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，待定系数法求出两条直线的解析式，联立求出点的坐标即可； （2）连接，平行结合待定系数法求出的解析式，进而求出点的坐标，平行等积转化求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 把代入，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， 连接， ∵， ∴． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、． （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、正方形的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． （1）根据勾股定理得到，根据网格的特点得到,作图即可得到所求正方形； （2）根据网格特点得到,根据勾股定理得到，顺次连接即可得到所求三角形； （3）利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，正方形即为所求， 【小问2详解】 如图，即为所求， 【小问3详解】 如图，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】 21. 跨学科 为了让同学们了解自己的体育水平，初二（1）班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 初二（1）班体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 1.99 8 7 女生 7.92 1.994 8 （1）这个班共有男生___________人，共有女生___________人； （2）补全初二（1）班体育模拟测试成绩分析表； （3）你认为在这次体育测试中，（1）班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条支持你的看法的理由． 【答案】（1）20，25 （2）见解析 （3）女生队表现更突出（答案不唯一）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、众数及条形图、扇形图，根据统计图得出解题所需数据，并熟练掌握平均数和中位数的定义是解题的关键． （1）由条形图可得男生总人数，总人数减去男生人数可得女生人数； （2）根据平均数和众数定义可得； （3）可根据众数比较得出答案． 【小问1详解】 解：这个班男生人数：（人） 女生人数：（人）； 【小问2详解】 男生的平均分为， 女生的众数为8； 【小问3详解】 从众数看，女生队的众数高于男生队的众数， 所以女生队表现更突出．（答案不唯一） 22. 恩施州为响应国家号召，各单位均安排党员干部下沉村、社区，参加扶贫工作，这些干部队伍俗称“尖刀班”．某“尖刀班”发现其帮扶村盛产的茶叶和土豆滞销，为了尽快将农产品销售出去，“尖刀班”通过网络平台将产品销往全国．相关信息如表： 商品 规格 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 茶叶 /袋 40 60 土豆 /袋 38 53 已知销售表中规格的茶叶和土豆共1000袋，其中茶叶不少于300袋，土豆不少于400袋．设销售茶叶x袋，销售茶叶和土豆获得的总利润为y元． （1）求y（元）与x（袋）之间的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）销售完这批茶叶和土豆，至少可获得多少元的利润？ （3）因该村有部分特困户，“尖刀班”与村委会讨论决定，每销售一袋茶叶提取m元作为帮扶特困户的爱心基金．如果，求销售完这批茶叶和土豆，扣除爱心基金后的最大利润．（用含m的代数式表示） 【答案】（1） （2）至少可获得16500元的利润． （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数实际应用在，掌握二次函数的增减性是解题关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据二次函数的增减性求最值即可； （3）设扣除爱心基金后的利润为元．根据题意，得，再利用二次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 【小问2详解】 解：中，， 随增大而增大． 当时，有最小值，． 销售完这批茶叶和土豆，至少可获得16500元的利润． 【小问3详解】 解：设扣除爱心基金后的利润为元． 根据题意，得． ， ，随增大而减小． ， 当时，有最大值，． 扣除爱心基金后的最大利润是． 23. 如图，矩形中，对角线的中点为O，过O作直线交于E，交于F． （1）求证：． （2）如图：G为上一点，连接、，若．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及等腰三角形的性质，熟练掌握角边角的证明方法可证明三角形全等，得到等腰三角形后，由等腰三角形的性质得垂直是解决本题的关键． （1）由中点可得边相等，再利用矩形的性质可得，根据两直线平行内错角相等可得，继而可证明三角形全等从而得出线段相等． （2）通过构造全等三角形将线段进行转化，即，再利用等量代换和勾股定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明． 【小问1详解】 证明：∵O为对角线中点， ∴． ∵四边形ABCD为矩形， ∴， ∴． 在和中，, ∴． ∴． 【小问2详解】 证明：连接， ∵四边形为矩形， ∴． ∴． ∵由（1）知，， ∴． ∴． ∵， ∴，即为等腰三角形， 又∵， ∴． 24. 如图1，经过点的直线与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为，P是直线上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线，分别交直线和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）当时，求t的值； （3）作//轴，交直线于点F，在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线的表达式为 （2）当时，或 （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，将点 、的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）点、点，当时，则，即可求解； （3）设点，则点，当A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形，则，即，即可求解． 【小问1详解】 解：将点C的横坐标代入， 当时，，故点， 设直线的表达式为：， 将点A、C的坐标代入上式得：， 解得， 故直线表达式为：； 【小问2详解】 解：对于，令，则，故点，则， 设动点P的横坐标为t，则点， ∵点D在直线上，PD∥y轴， 故点， 当时，， 解得：或； 【小问3详解】 解：存在，理由： 设点，而点， ∵轴，交直线于点F， ∴点P、F的纵坐标相同，故点， ∵A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形， 则， 即， 解得：或， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形的性质、坐标与图形、解绝对值方程等，其中坐标与图形和绝对值的运用，是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $