精品解析：河南省天立教育2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

天立教育2024—2025学年春期高一年级期末考试 数学试题卷 本试题卷共4页、四大题、19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 在中，，点E在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知事件A，B满足，则 （ ） A. 若B⊆A，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则C与B相互对立 8. 已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 10. 某中学举行化学知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的（ ） A. 极差为25 B. 中位数大于平均数 C. 方差为65 D. 百分之二十五分位数为76 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 异面直线与所成的角的大小为 D. 若平面，则点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为___． 13. 在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的值为__________． 14. 长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求实数x的值，并求的值； （2）若，求实数x的值． 16. （1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 17. 某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，E为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天立教育2024—2025学年春期高一年级期末考试 数学试题卷 本试题卷共4页、四大题、19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以，其对应的点坐标为； 因此复数z对应的点位于第三象限． 故选：C 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量平行的结论求参数. 【详解】因为，所以. 故选：A 3. 书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从5本杂志中任意挑选2本有种不同的选法， 其中挑选的杂志类型相同的选法有， 所以挑选的杂志类型相同的概率为. 故选：C. 4. 设的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理及二倍角的正弦公式求解. 【详解】在中，由及正弦定理，得，而， 则，又，解得， 所以. 故选：A 5. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则与相交或平行，故A错误； 若，,则或，故B错误； 若，，，则，故C正确； 若，，则或或者与相交，故D错误； 故选：C 6. 在中，，点E在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 7. 已知事件A，B满足，则 （ ） A. 若B⊆A，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则C与B相互对立 【答案】B 【解析】 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可. 选项B：利用概率的加法公式，求解即可， 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可. 选项D:利用对立事件求解即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 8. 已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别取三角形，四边形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根据球的表面积公式求表面积即可. 【详解】 设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，， 因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 10. 某中学举行化学知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：71，85，76，88，89，96，则这组数据的（ ） A. 极差为25 B. 中位数大于平均数 C. 方差为65 D. 百分之二十五分位数为76 【答案】ABD 【解析】 【分析】先从小到大排序数据，然后利用极差、中位数、平均数、方差、百分位数的概念与计算公式分别计算即可得解. 【详解】将成绩从小到大排序为：，极差为，故A正确； 中位数为，平均数为，，故B正确； 方差为： ， 故C错误； 百分之二十五分位数位置，即百分之二十五分位数是第二个数，即，故D正确； 故选：ABD 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 异面直线与所成的角的大小为 D. 若平面，则点的轨迹的长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到线面平行，故平面平面，故当在线段上时，满足平面，A正确；B选项，作出辅助线，得到四边形为截面图形，并得到其为梯形；C选项，作出辅助线，为直线与所成角，为等边三角形，故，C正确；D选项，作出辅助线，证明出平面平面，故当在线段上时，平面，点的轨迹的长度为，D错误. 【详解】A选项，取的中点，连接， 因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面， 故当在线段上时，满足平面，A正确； B选项，连接，由A知，，又，所以， 所以四边形即为过，，三点的平面截正方体所得截面图形， 因为，所以四边形为梯形，B错误； C选项，由B知，，故为直线与所成角或其补角， 连接，则， 所以为等边三角形，故， 异面直线与所成的角的大小为，C正确； D选项，连接， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面， 故当在线段上时，平面， 所以平面， 所以若平面，则点的轨迹的长度为，D错误 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念计算出答案. 【详解】由分层抽样得到讲师应抽取的人数为. 故答案为：12 13. 在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由余弦定理得关系后，与已知比较即可得. 【详解】，则， 又，所以， 故答案为：2. 14. 长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出直线与平面所成角的正切即可. 【详解】长方体中，平面平面， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 取中点，连接，由是的中点，得，而平面， 于是平面，即为直线与平面所成的角， 由，，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正切为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题求出线面角的正切，关键是转化为与平面平行的平面所成角的正切. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求实数x的值，并求的值； （2）若，求实数x的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据两向量垂直的坐标关系求出，再利用两向量数量积的坐标运算求解； （2）根据两向量平行的坐标关系列式求解. 【小问1详解】 由，得，解得， ， . 【小问2详解】 ， 又，则， 解得. 所以实数的值为. 16. （1）已知，若为纯虚数，求的值. （2）设复数，.若是实数，求； （3）已知复数满足，求. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义得到方程，即可求出参数的值； （2）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得； （3）依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且，解得； （2）因为，， 所以，又是实数， ，即，则， 所以； （3）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 17. 某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 【答案】（1）分 （2）0.352 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值，再根据平均数公式运算求解； （2）根据独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得每组的频率依次为， 则，解得， 设平均成绩的估计值为， 则（分）， 所以这100名学生的平均成绩估计值为74分. 【小问2详解】 每个学生成绩不低于80分的概率为0.4. 3名学生中恰有2人成绩不低于80分的概率； 3名学生中恰有3人成绩不低于80分的概率； 3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率. 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； 【小问2详解】 由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，E为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明:如图，连接交于，连接， 是正方形，则是中点，又E为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明:因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，证明，然后由线面平行的判定定理得证； （2）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证； （3）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， ，从而， 所以，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 易知平面的一个法向量是， ， 所以二面角的余弦值为，从而正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $