精品解析：江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高二下学期6月期末调研数学试题

2024—2025学年高二第二学期六校联合体期末考试 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 设集合，，且，则实数的值是（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 2. 设，则“”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（ ） A. 31 B. 63 C. 127 D. 255 6. 抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2025 D. －2025 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知函数，其中，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数在区间单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为2 C. 直线的斜率为 D. 的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 圆与圆的公切线的条数是______条． 13. 设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 14. 已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 16. 某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． （1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； （2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 17. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程： （2）记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程． 18. 已知． （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若方程有两个不相等的实数根，，且，求证：． 19. 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． （1）若数列的通项公式，求证：数列具有性质； （2）设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高二第二学期六校联合体期末考试 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 设集合，，且，则实数的值是（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知； 令，可得，则，不符合题意； 令，分解因式可得，解得或， 当时，，符合题意. 故选：D. 2. 设，则“”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的基本关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】判断充分性： 若，由得，，所以. 因此“”能推出“”，充分性成立； 判断必要性： 若，由得，，所以. 因此“”不能推出“”，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先验证函数是奇函数，然后代入特殊值判断正确选项. 【详解】因为，所以， 所以函数是奇函数，关于原点对称，所以A,B错误； 取特殊值，令，则， 根据图象可以看出D错误，C正确. 故选：C. 5. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（ ） A. 31 B. 63 C. 127 D. 255 【答案】C 【解析】 【分析】先利用已知条件列出等式，然后利用等比数列的通项公式求出，最后利用等比数列的前项和公式求出结果. 【详解】根据题意可得：， 因为数列是等比数列， 则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 6. 抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 7. 将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】应用分类加法原理计算得出幸运数的个数即可. 【详解】当百位数字是6，其他数字是0，此时幸运数有1个； 当百位数字是5，其他数字是0和1，此时幸运数有2个； 当百位数字是4，其他数字是1和1或者是0和2，此时幸运数有个； 当百位数字是3，其他数字是1和2或者是0和3，此时幸运数有个； 当百位数字是2，其他数字是2和2或者是0和4或者是1和3，此时幸运数有个； 当百位数字是1，其他数字是2和3或者是1和4或者是0和5，此时幸运数有个； 所以幸运数的个数为. 故选：C. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2025 D. －2025 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件确定的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 即， 所以关于直线对称，求导得 关于点对称， 即， 又为偶函数，则，所以关于直线对称， 推导周期：及， 得， 得， 得， 得函数的周期为4， 由，得， 得， 共项和，因为， 所以， 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知函数，其中，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. 函数在区间单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出，然后根据正弦函数的对称中心公式和单调性以及平移规则判断选项即可. 【详解】因为函数的两个相邻对称轴之间的距离为， 所以，所以，所以A正确； 所以函数的解析式为. 令，解得. 当时，，所以B错误； 因为，所以， 根据正弦函数的性质可知此时函数单调递增，C正确； 将的图象向右平移个单位后得， 与不一致，所以D错误. 故选：AC. 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式展开式计算结合组合数运算判断各个选项. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； 因为， 所以，D选项正确； 故选：BD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为2 C. 直线的斜率为 D. 的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求出、，可判断A选项；在中，应用余弦定理可得出关于、的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断D选项；利用点差法求出直线的斜率，可判断C选项. 【详解】对于A选项，因为，所以， 由双曲线的定义可得，所以，，所以选项A正确； 对于B选项，设直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为钝角且， 由可得，则， 在中，由余弦定理得， 即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得，所以选项B正确； 对于D选项，因为，则为锐角， 所以， ，所以选项D错误； 对于C选项，设，，则，可得， 因为，则， 由，得， 所以，则， 则直线的斜率为，所以选项C正确； 故选：ABC． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 圆与圆的公切线的条数是______条． 【答案】3 【解析】 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 13. 设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 所以. 故答案为：. 14. 已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【解析】 【分析】构建函数，利用导数分析的单调性，再确定的大小关系，结合单调性即可得解.. 【详解】由，得， 由，得， 由，得， 设，其定义域为，求导得， 当时，；当时，则，函数在上递增，在上递减， ， ， 则， 于是，即，而都小于1， 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，则； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用向量夹角和线面角之间的关系求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为. 16. 某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． （1）现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； （2）用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： ，【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【小问1详解】 记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． 【小问2详解】 由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 17. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程： （2）记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程． 【答案】（1）． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用已知条件即可得方程组求解参数，，从而可得椭圆方程； （2）利用设直线方程，结合韦达定理即可求出点坐标，利用二元一次方程组可求出点坐标，再利用向量的坐标共线运算可求解参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 由题意：，所以，又因为，所以，， 即椭圆的方程：． 【小问2详解】 由题意，设直线的方程为，设点坐标为， 由，可得， 由韦达定理得：，所以， 代入直线方程可得：． 过点与垂直的直线方程为， 由，设交点坐标为，可得，， 因为，所以 法一：， 所以，解得， 所以直线的方程：或． 法二：， 所以，解得， 所以直线的方程：或． 18. 已知． （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若方程有两个不相等的实数根，，且，求证：． 【答案】（1） （2） 当时，在单调递减，无增区间； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）证明：若，由（2）知在单调递减，方程至多有一个实根，不符题意， 所以． 法1．由题意知，所以，且． 要证，只要证，只要证， 只要证，只要证． 令，，， 所以在单调增，， 因为，所以，即， 所以得证． 法2．由（2）得在单调递减，在单调递增， 所以，所以． 因为，所以， 要证，只要证，只要证， 只要证． 而， 令，，， 所以在单调增，， 所以时，恒成立，令得， 所以． 所以得证． 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，从而求出切线斜率与切点坐标，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，分情况讨论，可得答案； （3）由题意明确参数的取值范围，法1：整理方程，构造函数，利用导数研究新函数的性质，可得答案；法2：由函数的单调性求得函数最值，结合题意进一步明确参数的取值范围，整理所证的不等式，利用函数的单调性构造函数，根据导数求得最值，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，又因为， 所以在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为， ①若，则恒成立，所以在单调递减，无增区间． ②若，令得，令得， 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递减，无增区间； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 略. 19. 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质． （1）若数列的通项公式，求证：数列具有性质； （2）设数列的各项均为正数，且具有性质． ①若数列是公比为的等比数列，且，求的值： ②求的最小值． 【答案】（1） 因为，所以， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， 所以， 所以， 即，所以数列具有性质； （2）①；②4 【解析】 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）①证明，分和两种情况即可求解； ②证明，证明，证明，结合反证法即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由数列具有性质得， 又等比数列的公比为， 若，则， 解得，与为任意正整数相矛盾， 当时，， 而，整理得， 若，则， 解得，与矛盾， 若，则， 当时，恒成立，满足题意， 当且时，， 解得，与矛盾， 所以； ②由，得， 即，因此，当且仅当时取等号， 即，则有， 由数列各项均为正数， 得，从而，即， 若，则，与矛盾， 因此当时，恒成立，符合题意， 所以的最小值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $