精品解析：辽宁省大连市庄河市2024-2025学年下学期七年级数学期末考试卷

庄河市2024—2025学年度第二学期七年级数学期末试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间共90分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列调查适合全面调查的是（ ） A. 检测“神舟十八号”飞船的零部件 B. 调查某市的城市空气质量 C. 了解一批灯管使用寿命 D. 了解一批圆珠笔的使用寿命 2. 下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列说法： ①任何数都有算术平方根； ②的算术平方根是； ③是9的平方根 ④的算术平方根是； 其中，不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，，交于点，若，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 7. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，直线平移后得到直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则____________． 12. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为和，则这个长方形的面积为_____． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB方向平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移的距离为_____． 14. 已知，且，则k的取值范围为_______． 15. 某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于，那么该店最多降价______元出售该商品． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）解方程：． 17. 解不等式组，并写出它的所有非正整数解． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形各顶点坐标分别为，，，现将三角形向右平移5个单位再向下平移2个单位，得到三角形． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）请按要求在坐标系中完成作图：过点A作的平行线，过点B作的垂线BE，垂足为E，与交于点F； （3）直接写出点A到的距离． 19. 已知：如图，与相交于点F，，．求证： 20. 蓝莓因富含花青素、膳食纤维等多种营养成分，受广大消费者的喜欢．某超市计划购买并销售大果和小果两种蓝莓共50斤．这两种蓝莓的进价和售价如表如示（单位：元/斤）： 类型 进价 售价 大果 30 40 小果 20 28 （1）如果该商家购进这两种蓝莓所花费成本为1200元，那么购进大果和小果两种蓝莓各多少斤？ （2）为了保证这50斤蓝莓全部售出后（不考虑折损），所得利润不低于448元，那么该商家至少能购进大果蓝莓多少斤？ 21. 某校为了了解初一年级800名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：）分成五组（；；；；），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取了____名学生，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，C组圆心角是______度； （3）请你估计该校初一年级体重超过的学生大约有多少名？ 22. 在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． （1）已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； （2）若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 23. 【学科融合】如图，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】 镜面，的夹角为（即），入射光线经两次反射后形成反射光线，． （1）如图1，时， ①若，则______°； ②判断直线与直线的位置关系，并证明； 【辨析理解】 （2）如图2，设入射光线所在直线与反射光线所在直线交于点．当，求度数； 【拓展应用】 （3）镜面，，如图3位置摆放，且镜面与的夹角为．入射光线从镜面开始反射，，当经过3次反射后的反射光线与平行时，求镜面与的夹角（用含m的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 庄河市2024—2025学年度第二学期七年级数学期末试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间共90分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列调查适合全面调查的是（ ） A. 检测“神舟十八号”飞船的零部件 B. 调查某市的城市空气质量 C. 了解一批灯管的使用寿命 D. 了解一批圆珠笔的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．全面调查适用于要求数据准确、个体数量少或调查无破坏性的情况；抽样调查适用于个体数量多、具有破坏性或节省资源的情形． 【详解】解：选项A：检测“神舟十八号”飞船的零部件．飞船零部件需确保绝对安全，每个零件都必须检查，因此必须采用全面调查． 选项B：调查某市空气质量．空气质量需覆盖多个区域，但无法对全市所有位置逐一检测，适合抽样调查． 选项C：了解一批灯管的使用寿命．测试需破坏灯管（如持续使用至损坏），全面调查会导致所有灯管报废，故采用抽样调查． 选项D：了解圆珠笔的使用寿命．测试需实际使用至损坏，全面调查会消耗全部产品，因此适合抽样调查． 故选：A． 2. 下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程），逐一判断各式的符合情况． 【详解】① ：含二次项，是二元二次方程，不符合， ② ：化简为，仅含一个未知数，是一元一次方程，不符合， ③ ：分母含未知数，是分式方程，不符合， ④ ：变形为，含两个未知数且次数均为1，是二元一次方程，符合， ⑤ ：含二次项，是二元二次方程，不符合， ⑥ ：是代数式而非方程，不符合， 综上，只有④符合条件，总个数为1， 故选A． 3. 下列说法： ①任何数都有算术平方根； ②的算术平方根是； ③是9的平方根 ④的算术平方根是； 其中，不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，根据算术平方根和平方根的定义逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：①、负数没有算术平方根，故①错误； ②、当时，的算术平方根是，而非，故②错误； ③、9的平方根为±3，-3是9的平方根，故③正确； ④、（因），故④正确， 综上，不正确的有①和②，共2个， 故选：A． 4. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握相平行线的判定方法是解题关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A. ，不能判断直线； B. ，能判断直线； C. ，能判断直线； D. ，能判断直线． 故选：A． 5. 如图，直线，，交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，由题意可得与是对顶角，即得，即得到，再代入已知计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线，，交于点， ∴与是对顶角， ∴， 即， ∵，， ∴， 故选：． 6. 当时，，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值，乘方，倒数，负数的大小关系，当时，为负数，需分别分析、、的值的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴是负数， 为的绝对值，恒为正，即， 为负数，且当接近时，，当接近时，趋向负无穷，故， 为的平方，恒为正，且， ∵为负数，和均为正数， ∴故且， 当时，平方后数值更小，即（例如时，）， ∴， 故选：D． 7. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质可得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分，即是不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 因此不等式组的解集为， 在数轴上表示为：， 故选C． 9. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的应用，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选D． 10. 如图，，直线平移后得到直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，平行公理的推论，由平移可得，过点作，则，即得，，进而得到，据此解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：由平移可得，， 如图，过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则____________． 【答案】9.649 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：根据可得， 根号下的数扩大了100倍，则结果扩大10倍， 故， 故答案为：9.649． 12. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为和，则这个长方形的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，利用数形结合的思想解决问题是关键． 根据正方形的面积求出边长，即可得到边的长，然后根据面积公式求解即可． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，， 边的长为， ∴这个长方形的面积为 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB方向平移得到△DEF，若四边形ABED面积等于8，则平移的距离为_____． 【答案】2 【解析】 【详解】∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF， ∴AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABED的面积等于8，AC=4， ∴平移距离BE=8÷4=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 14. 已知，且，则k的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求解二元一次方程组中参数的取值范围，求不等式的解集．通过观察，两式相减便会出现关于的等式，然后与对比，即可确定k的取值范围． 【详解】解： ，得 ． ∵， ∴， ∴． 故答案为；． 15. 某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于，那么该店最多降价______元出售该商品． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的运用，理解题意，找出数量关系，列出不等式是解题的关键． 根据，设降价元，则现在售价为，即可求解． 【详解】解：设降价元，则现在售价为， ∴， 解得，， ∴该店最多降价元出售该商品． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和解二元一次方程组的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先化简算术平方根，立方根和绝对值，然后按照实数运算法则进行计算，即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，然后即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解方程：， 解：由①得，③， 由②③得，， 解得：， 把代入②得，， 所以方程组的解为； 17. 解不等式组，并写出它的所有非正整数解． 【答案】，非正整数的解为0，， 【解析】 【分析】本题考查是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非正整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非正整数解． 【详解】解： 由不等式①得：， 由不等式②得：，， ∴不等式组的解集为：， ∴非正整数的解为0，， 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形各顶点坐标分别为，，，现将三角形向右平移5个单位再向下平移2个单位，得到三角形． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）请按要求在坐标系中完成作图：过点A作的平行线，过点B作的垂线BE，垂足为E，与交于点F； （3）直接写出点A到的距离． 【答案】（1）图见解析，，， （2）图见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）先根据平移的性质确定点的位置，然后连线即可作出三角形，再根据图形出点的坐标； （2）取格点D，连接，则；取格点G，连接并延长交于点E，交于点F； （3）根据图形写出点A到的距离即可． 【小问1详解】 如图，三角形即为所求，，， 【小问2详解】 如图，即为所求． 由方格纸的特点可知，， ∴， ∴； 【小问3详解】 由图可知，点A到的距离是3． 【点睛】本题考查了平移作图，写出平面直角坐标系点的坐标，画平行线即垂线，数形结合是解答本题的关键． 19. 已知：如图，与相交于点F，，．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】由，依据“同位角相等，两直线平行”证得，依据“两直线平行，同位角相等”可证得，由等量代换得，最有依据“内错角相等，两直线平行”证得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的证明和性质的应用；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 20. 蓝莓因富含花青素、膳食纤维等多种营养成分，受广大消费者的喜欢．某超市计划购买并销售大果和小果两种蓝莓共50斤．这两种蓝莓的进价和售价如表如示（单位：元/斤）： 类型 进价 售价 大果 30 40 小果 20 28 （1）如果该商家购进这两种蓝莓所花费成本为1200元，那么购进大果和小果两种蓝莓各多少斤？ （2）为了保证这50斤蓝莓全部售出后（不考虑折损），所得利润不低于448元，那么该商家至少能购进大果蓝莓多少斤？ 【答案】（1）购进大果蓝莓20斤，小果蓝莓30斤 （2）该商家至少购进大果蓝莓24斤 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设购进大果蓝莓x斤，则购进小果蓝莓斤，根据该商家购进这两种蓝莓所花费成本为1200元，列出一元一次方程，即可解答； （2）设购进大果蓝莓y斤，则购进小果蓝莓斤，根据这50斤蓝莓全部售出后（不考虑折损），所得利润不低于448元，列出一元一次不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：设购进大果蓝莓x斤，则购进小果蓝莓斤，由题意列方程得： 解得： ， , 答：购进大果蓝莓20斤，则小果蓝莓30斤． 【小问2详解】 j :设购进大果蓝莓y斤，则购进小果蓝莓斤，由题意列不等式得： ， 解得， 答：该商家至少购进大果蓝莓24斤． 21. 某校为了了解初一年级800名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：）分成五组（；；；；），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取了____名学生，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，C组的圆心角是______度； （3）请你估计该校初一年级体重超过的学生大约有多少名？ 【答案】（1）50，图见解析 （2） （3）288名 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据A组的频数和所占的百分比，可以求得这次抽样调查的样本容量；根据（1）中的结果和频数直方图中的数据，可以求得B组的人数，然后即可将直方图补充完整； （2）根据直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中C组的圆心角的度数； （3）根据直方图中的数据，可以计算出该校初三年级体重超过的学生大约有多少名． 【小问1详解】 这次抽样调查的样本容量是：， B组人数为：， 补全的频数分布直方图如右图所示，   故答案为：50； 小问2详解】 扇形统计图中C组的圆心角的度数是：． 故答案为：； 小问3详解】 （名）， 答：该校初三年级体重超过的学生大约有288名． 22. 在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． （1）已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； （2）若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 【答案】（1）①C，D；②点或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可； ②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【小问1详解】 ①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：C，D； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或 ∴点或 【小问2详解】 解：∵点与点两点为“等距点” ∴或 解得： ∴，或，（舍去）或，或，（舍去） ∴，或，， 当，时 分别过点E，F向x轴作垂线，垂足为P，Q，过点F向y轴作垂线，垂足为K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当，时 与y轴交于点K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，或 23. 【学科融合】如图，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】 镜面，的夹角为（即），入射光线经两次反射后形成反射光线，． （1）如图1，时， ①若，则______°； ②判断直线与直线的位置关系，并证明； 【辨析理解】 （2）如图2，设入射光线所在直线与反射光线所在直线交于点．当，求的度数； 【拓展应用】 （3）镜面，，如图3位置摆放，且镜面与的夹角为．入射光线从镜面开始反射，，当经过3次反射后的反射光线与平行时，求镜面与的夹角（用含m的式子表示）． 【答案】（1）①40；②，见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得出，然后求出结果即可； ②由反射定律得出，，根据三角形内角和求出，求出，根据平行线的判定得出答案； （2）根据三角形内角和定理求出，由反射定律求出，，根据三角形内角和和对顶角的性质得出，最后求出结果即可； （3）过点Q作，根据反射定律得出，，，求出，根据三角形内角和得出，，，最后求出结果即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴； ②，证明如下： 由反射定律可知，，， ∴，， ∴ ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， 在中，， ∴， 由反射定律可知，，， ∴，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， （3）如图所示，过点Q作， ∵， ∴， 由反射定律可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵镜面与的夹角为，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴， 中，， ∴ ∴镜面与的夹角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$