精品解析：山东省潍坊市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题

高一阶段性调研监测 数学试题 2025.7 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. i C. -1 D. 1 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 4. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期为 D. 图象的一个对称中心是 5. （ ） A. B. C. D. 6. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（ ） A. 菱形的直观图还是菱形 B. 矩形的直观图是平行四边形 C. 平行四边形的直观图可能是梯形 D. 正三角形的直观图是等腰三角形 7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 10. 如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 直线与异面 D. 点和到下底面的距离相等 11. 已知函数，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线为图象的一条对称轴 C. 若在区间上单调递增，则 D. 存在，使得在区间上恰有2025个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则_____． 13. 如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为_____米． 14. 已知一圆台型封闭容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为3，下底面半径为9，高为，则该容器的容积为_____；若一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的该容器内壁的最大面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求． 16. 记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）若为的中点，求的长． 17. 已知函数，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象． （1）求的单调递减区间； （2）记的内角A，，的对边分别为，，．若，，求面积的最大值． 18. 如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）． （1）若，求几何体的体积； （2）若，求几何体的表面积； （3）当为何值时，圆柱的侧面积最大． 19. 已知，，设函数． （1）当时，证明：是常数函数； （2）已知，且，求出所有使是常数函数的集合； （3）若中的最小元素为，写出使是常数函数的一组的值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一阶段性调研监测 数学试题 2025.7 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. i C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：A 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，解出方程即可 【详解】由得：，解得： 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期为 D. 图象的一个对称中心是 【答案】D 【解析】 【分析】代入计算特殊值即可排除AB，根据周期的计算公式即可求解C，代入验证即可求解D. 【详解】对于A， 由于故A错误， 对于B， 由于在处有定义，但，故B错误， 对于C， 的最小正周期为，故C错误， 对于D， ，故是的一个对称中心，故D正确， 故选：D 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用倍角公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 6. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（ ） A. 菱形的直观图还是菱形 B. 矩形的直观图是平行四边形 C. 平行四边形的直观图可能是梯形 D. 正三角形的直观图是等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测法的原则，结合各选项中图形的性质，即可判断正误. 【详解】由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚， 对于选项A，菱形的直观图是平行四边形，所以A错误， 对于选项B，矩形的直观图为平行四边形，所以B正确， 对于选项C，平行四边形的直观图是平行四边形，所以C错误， 对于选项D，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成，其不为等腰三角形，所以D错误， 故选：B. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，利用的图象与性质，可得，再结合各个选项，即可求解. 【详解】由图知，图象过点， 所以，又，所以， 又点在函数的减区间内，由， 得到，所以， 令，得到，结合各个选项可知，C正确，其它选项不满足， 故选：C. 8. 团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正多边形的性质得正八边形的内角为，再利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为正八边形的内角为， 又，， 所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的运算得，即可判断A的正误，利用共轭复数的定义即可判断B的正误，利用复数的几何意义，即可判断C和D的正误. 【详解】因为，所以选项A错误， 又，所以选项B正确， 对于选项C，因为，则，所以C正确， 对于选项D，在复平面内对应的点为，在第一象限，所以D错误， 故选：BC. 10. 如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 直线与异面 D. 点和到下底面的距离相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据六棱柱的结构特征，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，根据棱柱的定义可知，故A正确， 对于B，由于为正六边形，则直线与相交，所以直线与平面不平行，故B错误， 对于C，由于，而直线与相交，所以异面直线与异面，C正确， 对于D，由于棱柱的上下两个底面互相平行，点和都在上底面，故点和到下底面的距离相等，D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线为图象的一条对称轴 C. 若在区间上单调递增，则 D. 存在，使得在区间上恰有2025个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式，结合诱导公式即可求解A，代入即可求解B，根据复合函数的单调性，结合二倍角公式以及二次函数的性质即可求解C，考虑可得，进而验证无零点即可求解D． 【详解】对于A，由于函数的最小正周期为， 且， 故的最小正周期为，因此的最小正周期为和的最小公倍数， 故的最小正周期为，A正确； 对于B， ， 而 故直线为图象的一条对称轴，B正确； 对于C，当时，， 令， 当时，，则， 且在单调递增， 故，单调递增，则需要，故， 因此若在区间上单调递增，则，故C错误； 对于D，由C选项可知：， 令，则， 故或， 当时，则，则， 当时，此时符合的共有1013个， 当， 或， 解得或，故当时， 符合条件的有，和，共有1012个， 当，且时，此时， 令，则， 故或， 由于， 当时，， 故，故当，无零点， 综上可知：当时，在区间上恰有2025个零点，故D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用诱导公式及平方关系，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，所以， 故答案为：. 13. 如图所示，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是米，则旗杆的高为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在中，根据题设条件求三个内角的大小及的长度，再利用正弦定理，即可求解. 【详解】如图，在中，由题知，， 又旗杆与水平面垂直，所以，则， 由正弦定理知，得到， 故答案为：. 14. 已知一圆台型封闭容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为3，下底面半径为9，高为，则该容器的容积为_____；若一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的该容器内壁的最大面积为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式即可求解空1，根据相切，结合锐角三角函数以及相似，可求解长度，根据小球接触到的区域为上下两个圆以及圆台侧面，即可根据面积公式求解空2. 【详解】体积为， 作出圆台的轴截面如下：为小球的球心， 由于上下底面的直径分别为圆台的高为，故,故，圆台的母线， 当小球与圆台的侧面以及下底面相切于处时，此时， 故在圆台下底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为,其面积为， 当小球与圆台的侧面以及上底面相切于处时，此时 故在圆台上底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为,其面积为， 小球的半径为，在圆台内壁侧面，小球接触到的区域是一个圆台的侧面， 由于，, 故四边形为小球达到区域所在的圆台的轴截面， 故侧面接触到的区域的面积为； 综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为． 故答案为：, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，根据向量平行得到方程，求出答案； （2）计算出，根据向量模长得到方程，求出，由向量夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 ， ，故，解得； 【小问2详解】 ， ，故，解得， 所以， . 16. 记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）若为的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得，再结合条件，利用正弦定理，即可求解； （2）利用余弦定理得，由向量的中线公式得，利用数量积的运算律，可得，即可求解. 【小问1详解】 因为，则，且， 由正弦定理，得到， 又，，所以，又，则. 【小问2详解】 由余弦定理，得以， 整理得到，解得或（舍）， 又为的中点，所以， 则， 所以，即的长为. 17. 已知函数，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象． （1）求的单调递减区间； （2）记的内角A，，的对边分别为，，．若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式化简，然后根据平移得到，最后结合给正弦函数单调性计算即可； （2）依据求得，然后利用余弦定理以及不等式得到，最后使用面积公式计算. 【小问1详解】 由， 所以，则. 令，则， 所以函数的单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）可知：，又，所以， 因为，所以，所以. 由， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以 18. 如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）． （1）若，求几何体的体积； （2）若，求几何体的表面积； （3）当为何值时，圆柱的侧面积最大． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件知设球心为的中点，结合题设条件求出，再利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求解； （2）设，根据条件得到，进而求出，再利用圆柱和圆锥的表面积公式，即可求解； （3）设，根据条件得圆柱的侧面积为，利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 如图，设球心为，由题知为的中点，且（其中为外接球的半径）， 又球半径为，，则， 所以，则圆柱的体积为，圆锥的体积为， 则几何体的体积. 【小问2详解】 因为，不妨设， 由题知，得到， 则，又，则， 所以圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为， 所以几何体的表面积为. 【小问3详解】 设，则， 则圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大. 19. 已知，，设函数． （1）当时，证明：是常数函数； （2）已知，且，求出所有使是常数函数的集合； （3）若中的最小元素为，写出使是常数函数的一组的值，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入角度根据三角恒等变换化简即可； （2）设，计算得，则，分类解出即可； （3）首先讨论若函数是常数函数，则，再对分奇偶数讨论即可. 【小问1详解】 当时， ， 所以是常数函数. 【小问2详解】 设，不妨令， 若是常数函数，则， 则， 得，所以， 得或，所以或， 同理或或， 则， 所以集合有共4个． 【小问3详解】 不妨令， 因为 ， 若函数是常数函数，则， 得，所以， 得，所以， 当为偶数时，可以拆分成组的和，每一组为定值时也为定值， 所以是常数函数的一组的值； 当为奇数时，可以拆分成与组的和， 每一组为定值时，也为定值， 所以是常数函数的一组的值为 ， 综上所述， 当为偶数时，是常数函数的一组的值为 ， 当为奇数时，是常数函数的一组的值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $